Diskretes exponentielles Modell – yn + 1 = a · yn , a > 0 99 Die Population einer vom Aussterben bedrohten Spezies zählt aktuell noch 900 Individuen, deren Anzahl jedoch jährlich um zwei Drittel abnimmt. yn gibt die Anzahl der Individuen nach n Jahren an. a) Gib für yn eine lineare Differenzengleichung der Form yn + 1 = a · yn + b an. b) Gib eine explizite Darstellung für yn an und berechne yn für n = 2. 100 Die Anzahl der Rehe hat sich in einem Waldgebiet innerhalb eines Jahres von 50 auf 70 Tiere erhöht. Beschreibe die Entwicklung der Rehpopulation für die kommenden Jahre durch eine lineare Differenzengleichung, wenn der Entwicklung des Tierbestands ein diskretes exponentielles Wachstumsmodell zugrunde gelegt wird. Dabei gibt yn den Rehbestand nach n Jahren an. y0 = 50 yn + 1 – yn = yn + 1 = 101 Kreuze jene beiden zutreffenden Differenzengleichungen an, die mit gegebenem Anfangswert y0 = 5 eine exponentielle Zunahme beschreiben. [2 aus 5] A B C D E yn + 1 = 3 · yn yn + 1 = yn + 5 yn + 1 = 0,1 · yn yn + 1 = 1,1 · yn yn + 1 = yn – 5 102 Es sei A(t) die Anzahl der Bakterien in einem Kühlschrank zum Zeitpunkt t (in Sekunden). Die mittlere Änderungsrate der Bakterienanzahl im Zeitintervall [t; t + 1] ist direkt proportional zu A(t) mit dem Proportionalitätsfaktor k. Beschreibe diesen Sachverhalt mithilfe einer Differenzengleichung. Weitere diskrete Modelle – yn + 1 = a · yn + b, a > 0, b ≠ 0 103 Die Populationsentwicklung einer ausgewählten Wasserschweinherde kann mit folgender Differenzengleichung beschrieben werden: yn + 1 = yn + k · (W – yn), k ist konstant mit 0 < k < 1, W – yn ist der Freiraum zum Zeitpunkt n, n * ℕ. Kreuze die beiden sicher zutreffenden Aussagen an. [2 aus 5] A Der Zuwachs des Bestandes ist direkt proportional zur momentanen Tieranzahl. B Die Tieranzahl lässt sich mit dieser Formel zu jedem Zeitpunkt t * ℝ + ermitteln. C Mit zunehmender Zeit wird der jährliche Zuwachs bei den Wasserschweinen immer geringer. D Der jährliche Zuwachs ist direkt proportional zum Freiraum. E Die Gleichung beschreibt ein exponentielles Wachstumsmodell. 33 Dynamische Systeme > Diskrete Wachstumsmodelle und Abnahmemodelle Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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