FA-R 1.3 Teil-2-ähnliche-Aufgaben 121 Baumhöhen Es werden Jungbäume einer bestimmten Baumart mit 0,2 m Höhe eingepflanzt. Diese Baumart wird höchstens 30 m hoch. Die Wachstumsgeschwindigkeit zum Zeitpunkt des Einpflanzens beträgt 1 m/Jahr. a) Die momentane Änderungsrate der Baumhöhe ist zu jedem Zeitpunkt (t in Jahren) direkt proportional zum noch vorhandenen Freiraum des Baumes. 1) Ermittle den Proportionalitätsfaktor m. m = 2) Stelle eine Differentialgleichung für die Änderung der Baumhöhe zum Zeitpunkt t auf, wenn der Proportionalitätsfaktor 0,034 beträgt. b) Bei einer anderen Baumart ist die Differentialgleichung für die Änderung der Baumhöhe mit y’(t) = 5 _ 150 ·(28 – y(t)) gegeben. 1) Ermittle die Lösung der Differentialgleichung. y(t) = c) Die Differentialgleichung für die Änderung der Baumhöhe bei einer weiteren Baumart ist y’(t) = 5 _ 150 ·(30 – y(t)). 1) Berechne, nach wie vielen Jahren ein Baum dieser Baumart eine Höhe von 20 m erreicht hat. 122 Harmonische Schwingung Wirkt auf einen Körper eine Kraft, welche proportional zur Auslenkung aus seiner Ruhelage ist, entsteht eine harmonische Bewegung. Gegeben sind die Elongation s (beschreibt die Auslenkung der Schwingung zum Zeitpunkt t) einer harmonischen Schwingung mit s(t) = r · sin(ω · t + φ) sowie die Differentialgleichung s’’(t) = ‒ ω2 · s(t) gegeben, wobei r (Amplitude) die maximale Auslenkung der Schwingung aus der Ruhelage, ω die Winkelgeschwindigkeit und φ den Winkel angibt. a) 1) Kreuze die beiden sicher zutreffenden Aussagen an. [2 aus 5] A Die Differentialgleichung enthält eine Ableitung der Funktion s(t). B Eine Differentialgleichung kann auch komplexe Lösungen haben. C Die Funktion s(t) erfüllt die Differentialgleichung f’’(x) = ‒ f(x). D Ist s’’(t) = 0, so ist die Lösung eine nichtlineare Funktion. E Die Differentialgleichung beschreibt ein lineares Wachstum. b) 1) Zeige, dass die Funktion s(t) eine Lösung der angegebenen Differentialgleichung ist. 2) Zeige, dass auch die Funktionen g(t) = r · cos(ω · t + φ1 ) und k(t) = r1 · sin(ω · t + φ2 ) + r2 · cos(ω · t + φ) Lösungen der Differentialgleichung sind. c) 1) Löse folgende Differentialgleichung: s’’(t) = ‒16 · π2 · s(t) mit s’(t) = 0 und s(0) = 2 · π. KM2 M2 AN-R 1.3 t = Zeit s(t) = Elongation T = Schwingungsdauer y0 = Amplitude 39 Dynamische Systeme > Weg zur Matura > Tei®-2-ähnliche-Aufgaben Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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