Berechnung der Standardabweichung σ einer normalverteilten Zufallsvariablen 147 Im Internet findet man viele Tabellen mit den ungefähren Kleidergrößen für Babys. Diese werden aufgrund der verschiedenen Körpermaße ermittelt. Nimm an, dass die angegebenen Werte für 90 % der Säuglinge in Österreich gelten, die Werte normalverteilt sind und die Intervalle symmetrisch um den Erwartungswert liegen. Ermittle die gesuchte Standardabweichung. 1) Brustumfang bei 7– 9 Monate alten Kindern σ = 2) Hüftumfang bei 1 – 2 Monate alten Kindern σ = 6.4 Annäherung der Binomialverteilung durch die Normalverteilung 148 In einem Gymnasium hat jede Schülerin bzw. jeder Schüler die Möglichkeit einen Spind zu bekommen. Dazu muss man nur am Anfang des Schuljahres die Kaution von 21 € im Sekretariat hinterlegen und bekommt dann einen Schlüssel zu einem Spind im jeweiligen Klassenraum. Im Juni werden dann die Schlüssel wieder abgesammelt und die Kautionen wieder ausbezahlt. Erfahrungsgemäß haben aber 10 % der Schülerinnen und Schüler im Laufe des Schuljahres ihre Schlüssel verloren und erhalten daher ihre Kautionen nicht zurück. Ein Mädchen ermittelt die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 420 € nicht zurückgezahlt werden, wenn von 660 Schülerinnen und Schülern 50 % einen Spind hatten. In der Abbildung ist der Rechenweg dargestellt: Kreuze die beiden sicher zutreffenden Aussagen an. [2 aus 5] A Die Schülerin hat die Aufgabe korrekt gelöst. B Bei der Anzahl der Schlüssel, die verloren gingen, handelt es sich um eine normalverteilte Zufallsvariable. C Die Annäherung durch eine Normalverteilung in dieser Aufgabe ist zulässig. D Die Schülerin hat die Aufgabe nicht korrekt gelöst. E Bei der Anzahl der Schlüssel, die verloren gingen, handelt es sich um eine binomialverteilte Zufallsvariable. Babygrößentabelle Körpergröße in cm Brustumfang in cm Taillenumfang in cm Hüftumfang in cm Größe Cirka Alter 40 – 50 41 – 43 41 – 43 41 – 43 50 Frühchen und bis 1 Monat 51 – 56 43 – 45 43 – 45 43 – 45 56 1 – 2 Monate 57 – 62 45 – 47 45 – 47 45 – 47 62 2 – 3 Monate 63 – 68 47 – 49 46 – 48 47 – 49 68 4 – 6 Monate 69 – 74 49 – 51 47 – 49 49 – 51 74 7 – 9 Monate 75 – 80 51 – 53 48 – 50 51 – 53 80 10 – 12 Monate Quelle: www.vorname.com/ratgeber 420 € : 21 € = 20 P(X º 20) 660 · 0,5 = 330 von 330 Schlüsseln mindestens 20 verloren μ = 330 · 0,1 = 33 σ = 9 _______ 330 · 0,1 · 0,9 ≈ 5,45 z = x – μ _ σ = 20 – 33 _ 5,45 = ‒ 2,39 Φ(‒ 2,39) = 0,99158 P(X º 20) = 0,99158 50 Normalverteilte Zufallsvariablen 6 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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