WS 3.5 WS 3.3 WS 3.3 WS 3.4 157 Filzstifte Eine Maschine der Firma Tolly erzeugt Filzstifte, von denen erfahrungsgemäß 10 % defekt sind. Die Firma verwendet die Normalverteilung zur Qualitätssicherung, indem für eine zufällig entnommene Stichprobe von 500 Stück die Anzahl der defekten Stifte als Zufallsvariable X betrachtet wird. a) Für die Beurteilung der Produktionsqualität wird ein bestimmter Wert t festgelegt, für den P(X ª t) = 0,95 gelten soll, d.h. die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl an defekten Stiften in der Stichprobe kleiner als t ist, soll 95 % sein. 1) Ermittle den Wert t für die angegebene Stichprobe. b) Bei Qualitätssicherungen wird in anderen Fällen auch mit symmetrischen Intervallen um den Erwartungswert μ gearbeitet. Der Abstand ε vom Erwartungswert μ wird dabei oft in Vielfachen der Standardabweichung σ angegeben, also ε = k · σ, wobei k * ℕ. Man sucht nun ein Intervall [μ – ε; μ + ε], sodass beispielsweise P(μ – ε ª μ ª μ + ε) = 0,95 ist. 1) Zeige mithilfe der Standardisierungsformel, dass Φ(k) – Φ(‒ k) = 0,95, wobei Φ die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung ist. c) Falls die Standardabweichung σ der binomialverteilten Zufallsvariablen verhältnismäßig klein ist, so kann die Näherung der Binomialverteilung durch die Normalverteilung mithilfe einer Maßnahme verbessert werden, die man „Stetigkeitskorrektur“ nennt. Will man beispielsweise die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass die binomialverteilte Zufallsvariable X im Intervall [x1 ; x3 ] liegt, so verwendet man bei einer Näherung mit der Normalverteilung das Intervall [x1 – 0,5; x3 + 0,5]. Man zählt also zur oberen Intervallgrenze 0,5 dazu und zieht von der unteren 0,5 ab. In der obigen Abbildung sind die verschiedenen Wahrscheinlichkeiten, die sich aufgrund der Binomialverteilung sowie der Normalverteilung ergeben, als Flächeninhalte unter den jeweiligen Dichtefunktionen dargestellt. 1) Erkläre mithilfe der Abbildung, warum sich die Näherung der Binomialverteilung durch die Normalverteilung mit der Stetigkeitskorrektur verbessert. 2) Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass sich in der oben genannten Stichprobe zwischen 48 und 56 defekte Stifte befinden. Verwende die Stetigkeitskorrektur. M2 x f(x) x1 0,5 x3 x3 + 0,5 x1 – 0,5 x 2 0,1 0,2 0,3 0 54 Normalverteilte Zufallsvariablen 6 Normalverteilte Zufallsvariablen > Weg zur Matura > Tei®-2-Aufgaben Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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