230 Proportionaler Satz von Schmalenbach Der sogenannte proportionale Satz von Schmalenbach beschreibt in der Wirtschaftsmathematik den mittleren Kostenzuwachs pro Mengeneinheit für die Produktion einer bestimmten Ware. Seine Berechnung lässt Rückschlüsse auf den Verkaufspreis der Ware zu. Ein Betrieb arbeitet mit der Kostenfunktion K, die durch die Funktionsgleichung K(x) = ‒ 0,0006 · x3 + 0,07 · x2 + 0,9 · x + 50 gegeben ist. Dabei bedeutet x die Menge der produzierten Stückzahl der Ware. Die nachstehende Abbildung zeigt den Graphen der Funktion K im Intervall [0; 75]. Aufgabenstellung: a) Ermitteln Sie den proportionalen Satz von Schmalenbach für die Kostenfunktion K im Intervall [20; 70]. b) Die Kostenfunktion verläuft im Intervall [0; 75] annähernd linear. 1) Geben Sie die Funktionsgleichung für ein lineares Modell an, das die Kosten dieses Betriebes im Intervall [0; 75] näherungsweise beschreibt. Verwenden Sie dafür die Punkte P1 und P2 in der obigen Graphik. c) Der proportionale Satz von Schmalenbach kann auch für eine bestimmte Stückzahl der Produktion angewandt werden. Geometrisch gesehen verwendet man dann statt der Steigung der Sekante der Kostenfunktion in einem Intervall die Steigung der Tangente in einem Punkt. Der proportionale Satz von Schmalenbach beträgt im Intervall [30; 60] etwa 3,42. 1) Stellen Sie eine Gleichung auf, mit der man in diesem Intervall jene Stückzahl x berechnen kann, für die der proportionale Satz von Schmalenbach auch den Wert 3,42 hat. d) Man spricht von einer Kostendegression, wenn der Kostenzuwachs bei einer Erhöhung der produzierten Stückzahl immer kleiner wird. Man spricht von einer Kostenprogression, wenn der Kostenzuwachs bei einer Erhöhung der produzierten Stückzahl immer größer wird. Bei der vorliegenden Kostenfunktion gibt es eine Stelle x, an der das Wachstum der Kostenfunktion von einem progressiven in einen degressiven Verlauf umschlägt. 1) Verwenden Sie die Differentialrechnung, um diese Stelle zu berechnen. M2 x K(x) 10 20 30 40 50 60 70 80 50 100 150 200 250 300 0 K P1 P2 AN-R 1.3 FA-R 2.1 AN-R 3.3 AN-R 3.3 85 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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