1 Stammfunktionen 1. A, C 2. A, B, C, D, G, H 3. (1) f(x) = 1 _ 4 · (x 2 – x + 7) (2) F(x) = 1 _ 24 · (2· x 3 – 3· x2 + 42 · x) 4. a) x + c b) x π + 1 _ π + 1 + c c) x 1 000 001 __ 1 000 001 + c d) x ‒ 2 _ ‒ 2 + c = ‒ 1 _ x2 + c e) 417 _ 656 · x 656 _ 417 + c f) 1 000 _ 239 · x 239 _ 1 000 + c g) xn + 3 _ n + 3 + c h) xn – 2 _ n – 2 + c 5. a) k · x + c b) s · x + t · x + c = x · (s + t) + c c) π · x + c d) 3 x _ ln(3) + c e) 1,2x _ ln(1,2) + c f) 2 5 _ 8 3 x _ ln2 5 _ 8 3 + c 6. a) F(x) = x 4 _ 4 + 2 · x3 _ 3 – 5 · x2 _ 2 +7·x + c b) F(x) = 5 · x 8 _ 8 + 3 · x5 _ 5 – x 2 + c c) F(x) = c 7. A K, M F, B I, E S, C Q, J P, G O, T H, D R 8. z. B. F(x) = 7 · x m + 1 __ m + 1 – 5 · xn – 2 _ n – 2 + 2 · xj + 2 _ j + 2 + px + 1 F(x) = 7 · x m + 1 __ m + 1 – 5 · xn – 2 _ n – 2 + 2 · xj + 2 _ j + 2 + px + 2 F(x) = 7 · x m + 1 __ m + 1 – 5 · xn – 2 _ n – 2 + 2 · xj + 2 _ j + 2 + px + 3 9. : (f(x) – g(x))dx = : (3 · xn + 3 – 5· xn) dx = 3 · x n + 4 _ n + 4 – 5 · xn + 1 _ n + 1 + c : f(x)dx – : g(x)dx = : (5 · xn + 3 – 4· xn)dx – : (2 · xn + 3 + xn) dx = 5 · x n + 4 _ n + 4 – 4 · xn + 1 _ n + 1 – 2 2 · xn + 4 _ n + 4 + xn + 1 _ n + 1 3 = 3 · xn + 4 _ n + 4 – 5 · xn + 1 _ n + 1 + c 10. f(x) = x3 – 27·x + 54 11. f(x) = 0,125 (x3 – 15 · x2 + 63 · x – 49) 12. 1) s 1(t) = 4· t 2 + c; Diese Funktion gibt den zurückgelegten Weg im gegebenen Intervall an. 2) s(t) = 4· t2 + 2 3) 96 w I n diesem Intervall wurden 96 m zurückgelegt. 13. 1) A(t) = 50 · e0,3465 · t + c 2) A(t) = 50 · 1,41t 3) A m Beginn der Beobachtung waren 50 Bakterien vorhanden. Diese vermehren sich um ca. 41 % pro Stunde. 4) 212,03 I n dieser Zeitspanne kamen ca. 212 Bakterien dazu. 14. C, E 15. A, D 16. A, C 17. a) : (2 · x – 4)11 dx = (2 · x – 4)12 __ 24 + c u = 2 · x – 4 u’ = 2 dx = du _ 2 b) : (5 · x – 1)3 dx = (5 · x – 1)4 __ 20 + c u = 5 · x – 1 u’ = 5 dx = du _ 5 c) : 1 __ (4 · x – 5)2 dx = ‒ 1 __ 16 · x – 20 + c u = 4 · x – 5 u’ = 4 dx = du _ 4 18. 1) x 2 _ 2 · e x – : x 2 _ 2 · e x dx + c Diese Methode könnte man immer weiter fortsetzen und würde nie ein integralfreies Ergebnis erhalten, da das Integral von f nie wegfällt. 2) ex · x – ex + c 19. (1) F’(x) = f(x) (2) G’(x) = F’(x) = f(x) 20. a) b) 21. A, D 22. A, C 23. a) 1) C, D b) 1) T = 9 ___ ‒ 2,5 _ A(T) 2) V(T) = 2,5 _ T 3) 0,417 Liter 24. a) 1) T(t) = 17 + 75 · e‒ 0,4 · t b) 1) b + 75 2) Es ist die Temperatur gleich nach der Herstellung des Kaffees. c) 1) D, E 2 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 25. a) 1) 2) x y 1 2 3 4 5 –4 –2 1 2 3 4 –4 –5 –3 –2 –1 0 f x y 2 4 6 –6 –4 –2 2 4 6 8 –2 –4 0 f x f(x) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 –1 0 f x f(x) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 –1 0 f 87 Lösungen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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