Maturatraining Lösungswege Freiler | Marsik | Olf Steininger | Wittberger
Lösungswege Mathematik Oberstufe, Maturatraining Schulbuchnummer: 185174 Mit Bescheid des Bundesministeriums für Bildung und Frauen vom 24. Mai 2017, BMB GZ 5.018/0140-IT/3/2016, gemäß § 14 Absatz 2 und 5 des Schulunterrichtsgesetzes, BGBl. 472/86, und gemäß den derzeit geltenden Lehrplänen als für den Unterrichtsgebrauch für die 8. Klasse an allgemein bildenden höheren Schulen – Oberstufe im Unterrichtsgegenstand Mathematik geeignet erklärt. Mit Bescheid vom 31. Oktober 2024, BMBWF-GZ: 2024-0.457.723 teilt das Bundesministerium für Bildung, Wissenschaft und Forschung mit, dass gegen die aktualisierte Fassung des Werkes Lösungswege Mathematik Oberstufe, Maturatraining, kein Einwand besteht. Dieses Werk wurde auf der Grundlage eines zielorientierten Lehrplans verfasst. Konkretisierung, Gewichtung und Umsetzung der Inhalte erfolgen durch die Lehrerinnen und Lehrer. Liebe Schülerin, lieber Schüler, du bekommst dieses Schulbuch von der Republik Österreich für deine Ausbildung. Bücher helfen nicht nur beim Lernen, sondern sind auch Freunde fürs Leben. Kopierverbot Wir weisen darauf hin, dass das Kopieren zum Schulgebrauch aus diesem Buch verboten ist – § 42 Abs. 6 Urheberrechtsgesetz: „Die Befugnis zur Vervielfältigung zum eigenen Schulgebrauch gilt nicht für Werke, die ihrer Beschaffenheit und Bezeichnung nach zum Schul- oder Unterrichtsgebrauch bestimmt sind.“ Umschlagbild: Altrendo Images / Shutterstock; DashikiPo_Art / Shutterstock Technische Zeichnungen: Da-TeX Gerd Blumenstein, Leipzig Bildnachweis S. 4: gradt / Fotolia; S. 8: bluedesign / Fotolia; S. 19.1: Mike Watson Images / Thinkstock; S. 19.2: Apple Tree House / Thinkstock; S. 20: Creatas RF / Thinkstock; S. 23: Ingo Bartussek / Fotolia; S. 24: Highwaystarz-Photography / Thinkstock; S. 25: stevezmina1 / Getty Images; S. 26: Lisa-Blue / iStockphoto.com; S. 27: Eugene_Onischenko / Thinkstock; S. 35: Antonio_Diaz / Thinkstock; S. 36: Martijnvandernat / Thinkstock; S. 37.1: Pi-Lens / Thinkstock; S. 37.2: Mauvries / Thinkstock; S. 40: RobertSchneider / Thinkstock; S. 42: thanaphiphat / Thinkstock; S. 43: seen / Fotolia; S. 46: chris-m / Fotolia; S. 47: dd / Fotolia; S. 48: Johannes Gerhardus Swanepoel / Thinkstock; S. 51: Angel Gruber / Thinkstock; S. 52: TekKavlin / Thinkstock; S. 53: SigridKlop / Thinkstock; S. 55: Friedberg / Fotolia; S. 63: cifotart / Thinkstock; S. 69: DigtialStorm / Thinkstock; S. 74: Hung_Chung_Chih / Getty Images - iStockphoto; S. 75: Photodisc / Thinkstock; S. 80.2: Ridofranz / iStockphoto.com; S. 84: AntonioGuillem / Thinkstock; S. 89: LukaTDB / Getty Images - iStockphoto; S. 90: SyB / Fotolia; S. 92: majorosl / iStockphoto.com; S. 98.1: WendellandCarolyn / Thinkstock; S. 98.2: bristenaaa / Thinkstock 1. Auflage (Druck 0001) © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2025 www.oebv.at Alle Rechte vorbehalten. Jede Art der Vervielfältigung, auch auszugsweise, gesetzlich verboten. Redaktion: Brigitte Jug, Graz Herstellung: Raphael Hamann, Wien; Oleksandra Toropenko, Wien Umschlaggestaltung: Petra Michel, Gestaltung und Typografie, Amberg Layout: Petra Michel, Gestaltung und Typografie, Amberg Satz: Da-TeX Gerd Blumenstein, Leipzig Druck: hs Druck GmbH, Hohenzell ISBN 978-3-209-11513-3 (Lösungswege OS MT) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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2 Zum Maturatraining Liebe Schülerinnen und Schüler, dieses Heft bietet eine umfassende Vorbereitung auf die Matura in Mathematik. Multiple-Choice-Formate Das Multiple-Choice-Format, bei dem die Richtigkeit von Aussagen beurteilt und die entsprechenden Aussagen angekreuzt werden müssen, kommt in zwei verschiedenen Varianten vor: 2 aus 5 und 1 aus 6. – Die Art des Multiple-Choice-Formats erkennen Sie an der Formulierung der Aufgabenstellung („Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an.“ – 2 aus 5, „Kreuzen Sie die zutreffende Aussage an.“ – 1 aus 6). Außerdem steht nach der Handlunganweisung jeweils [2 aus 5] oder [1 aus 6] dabei. – Notizen und Bemerkungen werden bei der Beurteilung nicht berücksichtigt. Es zählen nur die angekreuzten Aussagen. – Bei „2 aus 5“ und „1 aus 6“ sollten Sie in jedem Fall zwei Aussagen bzw. eine Aussage ankreuzen. Wenn Sie die richtigen Antworten nicht erkennen, versuchen Sie sie „nach Gefühl“ zu erraten, sonst haben Sie den Punkt sicher verloren. „Nach Gefühl“ bedeutet, dass Sie nicht blind raten, sondern nach gewissen intuitiven Plausibilitätskriterien vorgehen („Das wird es wahrscheinlich nicht sein, das schon…“), ohne diese aber sachlich begründen zu können. – Eine Strategie besteht darin, die Aussagen durchzugehen und die richtige(n) zu identifizieren. Eine andere wäre es, sich darauf zu konzentrieren, welche Aussagen falsch sind und ausgeschlossen werden können. In der Praxis ist eine Kombination aus beiden Strategien zu empfehlen, wobei Sie damit beginnen sollten, nach den richtigen Aussagen zu suchen. – Wenn Sie Aussagen sicher ausschließen können, markieren Sie sie auch als ausgeschlossen (siehe rechts). Sie verbringen sonst viel Zeit damit, immer wieder Sätze zu lesen, die Sie bereits als inhaltlich falsch eingestuft haben. – Auch wenn zur richtigen Lösung der Aufgabenstellung nur ein oder zwei Kreuze nötig sind, scheuen Sie sich nicht, Berechnungen durchzuführen und umfangreiche Notizen oder Skizzen zu erstellen. Tipp: Für das Training der Multiple-Choice-Formate eignen sich in diesem Buch die Aufgaben 1, 2, 3, 4, 9, 15, 25, 37, 39, 43, 51, 54, 55, 59, 61, 64, 66, 67, 74, 81, 82, 87, 92, 97, 98, 101, 106, 115, 122, 126, 134, 136, 137, 143, 147, 149, 165, 166, 168, 173, 174, 177, 178, 181, 182, 185, 188, 189, 191, 200, 203, 205, 206, 208, 213, 221, 232, 238, 239, 240, 244 Die beiden Strategien des Findens der richtigen und des Ausschließens der falschen Aussagen bieten auch eine Möglichkeit zur Kontrolle. Haben Sie beispielsweise in einer „2 aus 5“-Aufgabe die erste und die dritte Aussage als richtig identifiziert, müssten Sie eigentlich die vierte und fünfte gar nicht mehr lesen. Es empfiehlt sich aber, in jedem Fall alle Aussagen zu lesen und ihre Korrektheit zu beurteilen, um die angekreuzten Aussagen abzusichern. Im idealen Fall haben Sie am Ende der Bearbeitung eine bestimmte Anzahl an Aussagen angekreuzt und den Rest als falsch markiert. Modellierung durch lineare Funktionen Im Folgenden sind einige Zusammenhänge angeführt, die mathematisch durch unterschiedliche Funktionen beschrieben werden können. Aufgabenstellung: Kreuzen Sie jene beiden Zusammenhänge an, die mathematisch durch lineare Funktionen beschrieben werden können. [2 aus 5] Das Gehalt von Angestellten einer Firma, welches jährlich um einen Prozentsatz von 0,5 % zunimmt. . Die Kosten für die Entlehnung eines Leihfahrzeugs, wenn pro Stunde 12 Euro bezahlt werden müssen. Der Inhalt einer Trinkflasche, der durch eine undichte Stelle pro Minute um etwa 6 ml abnimmt. Der Luftdruck, der mit der Höhe alle 5 500 Meter um etwa die Hälfte vom jeweiligen Ausgangswert abnimmt. Die Auslenkung eines Pendels, das mit einer Frequenz von 0,5 Hz gleichmäßig hin- und herschwingt. . 8 Strategien beim Lösen von Aufgaben FA 1.4 Aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Funktionen Werte(paare) ermitteln und im Kontext deuten können FA 1.5 Eigenschaften von Funktionen erkennen, nennen, im Kontext deuten und zum Erstellen von Funktionsgraphen einsetzen können: Monotonie(wechsel), lokale Extrema, Wendepunkte, Periodizität, Achsensymmetrie, asymptotisches Verhalten, Schnittpunkte mit den Achsen FA 1.6 Schnittpunkte zweier Funktionsgraphen graphisch und rechnerisch ermitteln und im Kontext interpretieren können FA 1.7 Funktionen als mathematische Modelle verstehen und damit verständig arbeiten können FA 1.8 Durch Gleichungen (Formeln) gegebene Funktionen mit mehreren Veränderlichen im Kontext deuten können, Funktionswerte ermitteln können FA 1.9 Einen Überblick über die wichtigsten (unten angeführten) Typen mathematischer Funktionen geben, ihre Eigenschaften vergleichen können 2.2 Lineare Funktion [f(x) = k · x + d] FA 2.1 Verbal, tabellarisch, graphisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene lineare Zusammenhänge als lineare Funktionen erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können FA 2.2 Aus Tabellen, Graphen und Gleichungen linearer Funktionen Werte(paare) sowie die Parameter k und d ermitteln und im Kontext deuten können FA 2.3 Die Wirkung der Parameter k und d kennen und die Parameter in unterschiedlichen Kontexten deuten können FA 2.4 Wichtige Eigenschaften kennen und im Kontext deuten können: f(x + 1) = f(x) + k; f( x 2 ) – f(x 1 ) __ x 2 – x1 = k = [f’(x)] FA 2.5 Die Angemessenheit einer Beschreibung mittels linearer Funktion bewerten können FA 2.6 Direkte Proportionalität als lineare Funktion vom Typ f(x) = k·x beschreiben können 2.3 Potenzfunktion mit f(x) = a · x2 und Funktionen vom Typ f(x) = a · xz + b mit z * ℤ \ {0} oder z = 1 _ 2 FA 3.1 Verbal, tabellarisch, graphisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene Zusammenhänge dieser Art als entsprechende Funktionen erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können FA 3.2 Aus Tabellen, Graphen und Gleichungen dieser Funktion Werte(paare) sowie die Parameter a und b ermitteln und im Kontext deuten können FA 3.3 Die Wirkung der Parameter a und b kennen und die Parameter im Kontext deuten können FA 3.4 Indirekte Proportionalität als Potenzfunktion vom Typ f(x) = a _ x (bzw. f(x) = a · x ‒ 1 ) beschreiben können 2.4 Polynomfunktion 4 f(x) = ; i = 0 n ai · x i mit n * ℕ 5 FA 4.1 Typische Verläufe von Graphen in Abhängigkeit vom Grad der Polynomfunktion (er)kennen FA 4.2 Zwischen tabellarischen und graphischen Zusammenhängen dieser Art wechseln können FA 4.3 Aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Polynomfunktionen Funktionswerte, aus Tabellen und Graphen sowie aus einer quadratischen Funktionsgleichung Argumentwerte ermitteln können FA 4.4 Den Zusammenhang zwischen dem Grad der Polynomfunktion und der Anzahl der (möglichen) Null-, Extrem- und Wendestellen wissen 2.5 Exponentialfunktion [f(x) = a · bx bzw. f(x) = a · e λ · x , mit a, b * ℝ+, λ * ℝ \ {0}] FA 5.1 Verbal, tabellarisch, graphisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene exponentielle Zusammenhänge als Exponentialfunktion erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können FA 5.2 Aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Exponentialfunktionen Werte(paare) ermitteln und im Kontext deuten können geübt geübt geübt geübt 13 Checkliste Grundkompetenzen | Funktionale Abhängigkeiten Im Kapitel Strategien zum Lösen von Aufgaben werden wertvolle Hinweise gegeben, wie man zielgerichtet an die einzelnen Aufgabenformate herangehen kann. Auf vier Seiten finden Sie alle Grundkompetenzen im Überblick. Wenn Sie eine Grundkompetenz gut geübt haben, haken Sie diese an! Zu den vier großen Bereichen > Algebra und Geometrie, > Funktionale Abhängigkeiten, > Analysis, > Wahrscheinlichkeit und Statistik werden eine Vielzahl von Aufgaben – wie sie in Teil 1 der schriftlichen Reifeprüfung gestellt werden – angeboten. 2.1 Funktionsbegriff, reelle Funktionen, Darstellungsformen und Eigenschaften FA 1.1 Für gegebene Zusammenhänge entscheiden können, ob man sie als Funktionen betrachten kann Verbale Beschreibung einer Funktion In nachstehender Tabelle sind Zuordnungen beschrieben. Aufgabenstellung: Kreuzen Sie jene beiden Zuordnungen an, welche eine Funktion beschreiben. [2 aus 5] A Jedem verkauften Polster in einem Möbelhaus wird ein Verkaufspreis zugeordnet. B Jeder Wohnung wird der Name des Bewohners bzw. der Bewohnerin zugeordnet. C Jedem Baum wird die Anzahl seiner Blätter zugeordnet. D Jedem Haus in Bregenz wird das Alter seiner Bewohner/innen zugeordnet. E Jedem Menschen werden seine Telefonnummern zugeordnet. Tabellarische Beschreibung einer Funktion Eine Zuordnung z ist durch nebenstehende Wertetabelle gegeben. e, f, g, und h sind voneinander verschieden. Aufgabenstellung: Ergänzen Sie die Textlücken im nachstehenden Satz durch Ankreuzen des jeweils zutreffenden Satzteils so, dass eine richtige Aussage entsteht. Die Wertetabelle ist genau dann eine Wertetabelle einer Funktion, wenn (1) (2) auftritt. (1) (2) jeder Wert der Definitionsmenge genau einmal jeder Wert der Wertemenge höchstens zweimal jede reelle Zahl mindestens einmal Verbal gegebene Zusammenhänge als Funktion erkennen FA 1.1 M1 59 FA 1.1 M1 60 Tabellarisch gegebene Zusammenhänge als Funktion erkennen x z(x) a e b f c g d h 2 Funktionale Abhängigkeiten 2 Funktionale Abhängigkeiten Funktionale Abhängigkeiten Funktionsbegriff, reelle Funktionen, Darstellungsformen und Eigenschaften durchgerechnete Lösungen fs5nb9 31 Umsatz mit Fairtrade-Produkten in Österreich Im nachstehenden Säulendiagramm ist der Umsatz, der in Österreich durch den Verkauf von FairtradeProdukten in den Jahren 2002 bis 2022 erzielt wurde, dargestellt. Quelle: Fairtrade Österreich. (14. April,2023). Gesamtumsatz mit Fairtrade-Produkten in Österreich von 2022 bis 2022 (in Mio. Euro). In Statista. Zugriff am 12. April 2024, von https://de.statista.com/statistik/daten/studie/435432/umfrage/ umsatz-mit-fairtrade-produkten-in-oesterreich/ Aufgabenstellung: a) Die zeitliche Entwicklung des Umsatzes durch den Verkauf von Fairtrade-Produkten in den Jahren 2002 bis 2022 lässt sich durch die Exponentialfunktion f modellieren. t … Zeit in Jahren mit t = 0 für das Jahr 2002 f(t) … Umsatz durch den Verkauf von Fairtrade-Produkten zur Zeit t in Mio. Euro 1) Stellen Sie mithilfe der Daten aus den Jahren 2002 und 2022 eine Funktionsgleichung von f auf. Luis behauptet: „Laut diesem Modell wird der Umsatz durch den Verkauf von Fairtrade-Produkten im Jahr 2025 um mehr als 100 % größer sein als im Jahr 2020.“ 2) Überprüfen Sie rechnerisch, ob die Behauptung von Luis stimmt. In der nebenstehenden Abbildung ist die Umsatzverteilung nach Produktkategorien im Jahr 2020 dargestellt. 3) Berechnen Sie mithilfe der Funktion f, welcher Umsatz durch den Verkauf von Schokolade & Süßwaren und Bananen im Jahr 2020 erzielt wurde. b) Laut einer Studie vom Jahr 2023 kennen 95 % der Österreicherinnen bzw. Österreicher das sogenannte Fairtrade-Siegel. 49 % aller Österreicherinnen bzw. Österreicher, die das FairtradeSiegel kennen, gaben dabei an, regelmäßig Fairtrade-Produkte zu kaufen. Für eine Umfrage werden 150 Österreicherinnen bzw. Österreicher nach dem Zufallsprinzip ausgewählt. 1) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 80 dieser 150 Österreicherinnen bzw. Österreicher das Fairtrade-Siegel kennen und regelmäßig Fairtrade-Produkte kaufen. M2 253 K Technologie Anleitung Technologie- einsatz bei dieser Aufgabe fy8p8z 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 Gesamtumsatz mit Fairtrade-Produkten in Österreich von 2002 bis 2022 (in Mio. Euro) Umsatz in Millionen Euro FA 5.2 WS 1.1 AN 1.1 FA 5.2 Umsatzverteilung nach Produktkategorien 48 % 18 % 14 % 5 % 2 % 4 % VERTEILUNG in Prozent des Gesamtumsatzes (geschätzt) Convenience-Produkte Grundnahrungsmittel Baumwolle Alkoholfreie Getränke Fruchtsäfte Rosen Kaffee & Heißgetränke Schokolade & Süßwaren Bananen 5 % 2 % 2 % WS 1.1 AG 2.1 WS 2.3 Quelle: https://www.fairtrade.at/fileadmin/AT/Jahresrueckblick/2020_Jahresbericht_Zahlen_Web.pdf 96 5 Teil-2-Aufgaben Zu jeder Grundkompetenz gibt es ein stimmiges Angebot an Aufgaben. Neben jeder einzelnen Aufgabe ist ausgewiesen, welche Teilkompetenz besonders zum Zuge kommt – dies sorgt für optimale Transparenz! Zur perfekten Vorbereitung auf die Teil-2-Aufgaben werden in einem eigenen Kapitel Aufgaben angeboten. Anwendungen in vielfältigen Kontexten illustrieren die Breite des Spektrums. Die Aufgaben entsprechen in den Formaten und im Niveau denen der echten Matura! Ó Hier gibt es eine Online-Ergänzung. Der Code führt direkt zu den Inhalten. Zusätzlich befinden sich im Lehrwerk-Online durchgerechnete Lösungen vieler Aufgaben. Alle Teil-2-Aufgaben werden durch eine Technologieanleitung ergänzt. Wir wünschen Ihnen eine gute Vorbereitung auf die Matura in Mathematik – und vor allem: viel Erfolg! Autoren und Verlag Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
3 Strategien beim Lösen von Aufgaben 4 Checkliste Grundkompetenzen 12 Algebra und Geometrie 1.1 Grundbegriffe der Algebra 16 1.2 (Un-)Gleichungen und Gleichungssysteme 17 1.3 Vektoren 25 1.4 Trigonometrie 30 Funktionale Abhängigkeiten 2.1 Funktionsbegriff, reelle Funktionen, Darstellungsformen und Eigenschaften 31 2.2 Lineare Funktion [f(x) = k · x + d] 39 2.3 Potenzfunktion mit f(x) = a · x2 und Funktionen vom Typ f(x) = a · xz + b mit z * ℤ\{0} oder z = 1 _ 2 44 2.4 Polynomfunktion 4 f(x) = ; i = 0 n ai · x i mit n * N 5 49 2.5 Exponentialfunktion [f(x) = a · bx bzw. f(x) = a · eλ · x, mit a, b * ℝ+, λ * ℝ\{0}] 52 2.6 Sinusfunktion, Cosinusfunktion 58 Analysis 3.1 Änderungsmaße 62 3.2 Regeln für das Differenzieren 66 3.3 Ableitungsfunktion/Stammfunktion 67 3.4 Summation und Integral 71 Wahrscheinlichkeit und Statistik 4.1 Beschreibende Statistik 74 4.2 Wahrscheinlichkeitsrechnung – Grundbegriffe 80 4.3 Wahrscheinlichkeitsverteilung(en) 85 Teil-2-Aufgaben Teil-2-Aufgaben mit reduziertem Kontext 89 Teil-2-Aufgaben 92 Technologie-Hinweise 102 Lösungen 106 1 2 3 4 5 Anhang Inhalt Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Bei der schriftlichen standardisierten Reifeprüfung in Mathematik werden die Aufgaben in insgesamt acht verschiedenen Aufgabenformaten gestellt. Nach einigen allgemeinen Tipps werden in diesem Kapitel die Formate noch einmal übersichtlich vorgestellt und zahlreiche Hinweise angeführt, die bei der Lösung der Aufgaben helfen können. Allgemeine Tipps Für die Bearbeitung aller Aufgaben haben Sie 270 Minuten Zeit. Dabei sind 24 Teil-1 Aufgaben und 4 Teil-2 Aufgaben zu lösen. Ihre Vorgangsweise bei der Bearbeitung sollte sich immer an dem Schema „Lesen, Lösen, Überprüfen“ orientieren. Dem ersten Punkt „Lesen“ kommt eine ganz besondere Bedeutung zu. Das Lesen des Textes einer Prüfungsangabe in Mathematik ist nicht mit dem Lesen eines Romans oder einer Zeitschrift vergleichbar. Jeder Satz kann wichtig sein. Einzelne Zeichen entscheiden möglicherweise darüber, ob ein Problem überhaupt eine Lösung hat (z.B. die Zeichen für die Zahlenmengen). Sie sollten daher dem Lesen der Angabe besondere Aufmerksamkeit zukommen lassen und sich den Leseprozess als Grundlage für die erfolgreiche Lösung einer Aufgabe bewusstmachen. Eine einfache, aber hilfreiche Strategie ist es, den gesamten Angabetext mehrmals zu lesen. In vielen Aufgaben stecken neue Informationen. Oft werden Begriffe aus bestimmten Sachbereichen erklärt, mit denen man in weiterer Folge umgehen muss (insbesondere bei den Teil-2 Aufgaben). Auch über Zusammenhänge und Prozesse aus der Wirtschaft oder den Naturwissenschaften wird man zuweilen am Beginn einer Aufgabe informiert. Dabei ist durchaus zu erwarten, dass man nach dem ersten Lesen nicht alle Hinweise und Ausführungen verstanden oder ihre Bedeutsamkeit für die Aufgabenstellung erkannt hat. Mehrmaliges und genaues Lesen erhöhen die Erfolgschancen beim Lösen einer Aufgabe mitunter beträchtlich. Außerdem kann die Formelsammlung eine große Hilfe sein, da wichtige fachmathematische Begriffe oftmals in der Formelsammlung erklärt sind. Es zeigt sich, dass viele Aufgaben auch lösbar sind, wenn man über das darin vorkommende Thema nicht umfassend informiert ist. Wichtige Begriffe werden nämlich manchmal in der Angabe erklärt, wie das folgende Beispiel zeigt. Zeit in der Küche In einer Umfrage wurden 240 Personen gefragt, wie viel Zeit Z (in Stunden h) sie pro Woche mit dem Kochen verbringen. Die Antworten sind in der nachstehenden Tabelle zusammengefasst. Zeit Z für’s Kochen Z<1h 1hªZ<5h 5hªZ<8h Anzahl der Personen 40 140 60 Aufgabenstellung: Stellen Sie die Daten der obigen Tabelle durch ein Histogramm dar. Dabei sollen die absoluten Häufigkeiten als Flächeninhalte von Rechtecken abgebildet werden. Muster 1 Zeit (in Stunden) 2 4 6 8 10 10 20 30 40 0 Strategien beim Lösen von Aufgaben 4 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Im Angabetext steht, dass 240 Personen befragt wurden. Ein Blick in die Tabelle zeigt, dass die Summe der hier eingetragenen Personen tatsächlich 240 ist. Die Aufgabenstellung verlangt, dass man die Daten der Tabelle durch ein Histogramm darstellt. Auch wenn man den Ausdruck „Histogramm“ nicht kennt, lässt sich die Aufgabe lösen, weil zusätzlich angeführt ist, dass die absoluten Häufigkeiten als Flächeninhalte erscheinen sollen. Von 0 bis 1 soll der Flächeninhalt 40, von 1 bis 5 soll er 140 und von 5 bis 8 soll er 60 Flächeneinheiten betragen. Eine Lösung kann daher nur so aussehen, wie in der Abbildung: Für den Bereich von 0 bis 1 muss man als Höhe 40 wählen (40 ·1 = 40), für den Bereich von 1 bis 5 muss die Höhe 35 sein (35 · 4 = 140) und für den Bereich von 5 bis 8 ist eine Höhe von 20 (20 · 3 = 60) erforderlich, damit die absoluten Häufigkeiten als Flächeninhalte erscheinen. Das „Lösen“ und „Überprüfen“ wird im Folgenden für jedes Aufgabenformat einzeln behandelt. Offenes Format Beim offenen Aufgabenformat ist entweder eine mathematische Größe zu berechnen, eine mathematische Aussage zu formulieren oder eine Interpretation in einem inhaltlichen Sachzusammenhang zu geben. Berechnungen –– Wenn ein konkreter Zahlenwert berechnet werden soll, wird dies meist durch die Aufforderungen „Berechnen Sie“ oder „Ermitteln Sie“ angezeigt. –– Für die Lösung der Aufgabe ist ein bestimmter mathematischer Ansatz erforderlich, der in den meisten Fällen aus einer Gleichung besteht, die dann gelöst werden muss. –– Auch wenn Sie bei der Berechnung auf eine Lösung kommen, von der Sie annehmen können, dass sie nicht stimmt, sollten Sie Ihre Arbeit nicht durchstreichen. Es kommt vor, dass ein Punkt bzw. ein halber Punkt für einen korrekten Ansatz vergeben wird, auch wenn das Endergebis nicht stimmt. –– Wenn Sie mehrere Berechnungsarten ausprobiert haben, sollten Sie darauf achten, dass am Ende nur eine Variante stehen bleibt und die anderen durchgestrichen sind. Bei einem Angebot von mehreren alternativen Berechnungsarten, von denen auch eine falsch sein kann, wird Ihnen der Punkt auf keinen Fall zugesprochen. –– Für die korrekte Lösung ist im Korrekturheft, mit dem die Lehrerinnen und Lehrer die Matura korrigieren (müssen), manchmal ein Toleranzintervall angegeben. Dies ist vor allem dann der Fall, wenn aus einer Abbildung Werte abgelesen werden müssen. –– Die richtige Einheit eines berechneten Zahlenwerts sollte immer angegeben werden. Manchmal wird dies in der Handlungsanweisung explizit gefordert. An diesen Ausführungen sieht man, dass der Formulierung des mathematischen Ansatzes eine große Bedeutung zukommt. Deshalb sollten Sie nach Zusammenhängen zwischen den Größen suchen, die in der Aufgabe vorkommen, und sie durch eine Gleichung miteinander verknüpfen. Beispiele wären die Verknüpfung von Seiten und Winkeln in einem rechtwinkeligen Dreieck mithilfe von Winkelfunktionen oder die Verknüpfung von vorhandenen und in einer bestimmten Zeit zerfallenen Mengen unter Verwendung einer Exponentialfunktion. (in Stunden) 2 4 6 8 10 10 20 30 40 0 Zeit 5 Strategien beim Lösen von Aufgaben | Offenes Format Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Höhe eines Baums Die Höhe eines Baums, der sich auf einem unzugänglichen Felsen befindet, soll gemessen werden. Dazu werden die Entfernung e = 85 m und die beiden Winkel α = 28° und β = 35° gemessen. Der Sachverhalt ist der nebenstehenden, nicht maßstabgetreuen Abbildung dargestellt. Aufgabenstellung: Berechnen Sie die Höhe h des Baums. Die Höhe des Felsens wird mit x bezeichnet. Nachdem Winkel und Seitenlängen gegeben sind, ist der Einsatz von Winkelfunktionen in den rechtwinkeligen Dreiecken, die man dank der Skizze ausfindig machen kann, naheliegend. Der Ansatz besteht hier aus der zweimaligen Anwendung des Tangens auf die beiden rechtwinkeligen Dreiecke: tan(β) = x + h _ e und tan(α) = x _ e . Durch Umformung erhält man aus der ersten Gleichung x + h = e · tan(β) und aus der zweiten Gleichung x = e · tan(α). Die Höhe h ergibt sich damit durch h = e · tan(β) – e·tan(α) = 14,32 m. Wenn hier z.B. ein Tippfehler auftritt, aber die Formeln richtig angegeben sind, ist es gut möglich, dass man den Punkt zugesprochen bekommt. Interpretationen –– Wenn Sie eine Aussage über eine Zahl oder einen mathematischen Ausdruck machen sollen, wird dies meist durch die Aufforderungen „Interpretieren Sie“ oder „Deuten Sie“ angezeigt. –– Die Lösung der Aufgabe sollte durch einen ganzen Satz erfolgen, in dem die Zahl oder der Ausdruck erklärt wird. Dabei gibt es immer mehrere Möglichkeiten, von denen alle sinngemäß richtigen Varianten als richtig gewertet werden. –– In vielen Fällen findet sich in der Aufgabenstellung der Zusatz, man solle „im gegebenen Sachzusammenhang“ deuten/interpretieren. Damit ist gemeint, dass die Antwort sich auf den konkreten Inhalt beziehen soll und nicht nur allgemeine mathematische Erklärungen enthalten soll. Füllen eines Schwimmbeckens Ein Schwimmbecken wird mit Wasser gefüllt. Die Menge des sich im Becken befindenden Wassers kann während des Füllvorgangs in Abhängigkeit von der Zeit t durch die Funktion W mit W(t) = 1,5 · t + 78 beschrieben werden (t in s, W(t) in L). Aufgabenstellung: Interpretieren Sie die Zahlen 1,5 und 78, die im Funktionsterm vorkommen, im gegebenen Sachzusammenhang. Keine Interpredation im Sachzusammenhang: 1,5 ist die Steigung und 78 ist der Funktionswert an der Stelle 0. Interpretation im Sachzusammenhang: Die Zahl 1,5 bedeutet, dass 1,5 Liter Wasser pro Sekunde ins Becken fließen. Die Zahl 78 bedeutet, dass zu Beginn des Füllvorgangs bereits 78 Liter im Becken waren. Bei der Interpretation einer Zahl oder eines mathematischen Ausdrucks sollten Sie sich einen aussagekräftigen Satz überlegen. Ob Sie eine Interpretation im Sachzusammenhang vorgenommen haben, können Sie daran erkennen, dass Ihr Satz inhaltliche Begriffe, die mit der Angabe zusammenhängen, enthält. Finden sich darin nur allgemeine, mathematische Begriffe, ist das keine Interpretation im Sachzusammenhang. Tipp: Für das Training des offenen Formats eignen sich in diesem Buch die Aufgaben 17, 18, 19, 22, 23, 28, 31, 33, 34, 38, 40, 41, 42, 44, 46, 47, 48, 49, 50, 52, 53, 56, 58, 62, 71, 72, 76, 77, 78, 79, 80, 86, 88, 90, 91, 94, 96, 99, 100, 102, 104, 109, 114, 120, 121, 124, 125, 128, 130, 131, 133, 138, 139, 140, 142, 148, 155, 156, 157, 158, 159, 160, 162, 163, 169, 170, 171, 172, 183, 190, 192, 193, 194, 195, 196, 197, 204, 207, 209, 210, 211, 212, 214, 215, 216, 217, 218, 219, 222, 223, 225, 226, 227, 229, 230, 231, 233, 234, 235, 236, 237, 241, 243 Muster 2 e x h β α Muster 3 6 Strategien beim Lösen von Aufgaben Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Halboffenes Format Beim halboffenen Aufgabenformat gilt es meist, einen Term aufzustellen bzw. zu ergänzen oder vorgegebene Parameter anzugeben. Beim halboffenen Format ist ein Teil der Lösung oder die Art und Weise, wie die Lösung angeschrieben werden soll, schon vorgegeben. Für das Berechnen einer Zahl und das Aufstellen eines Terms gelten dabei dieselben Hinweise wie bei den offenen Aufgaben. Quadratische Gleichung Gegeben ist die Gleichung a · x2 + 12 · x + c = 0 mit a, c * ℝ und a, c > 0. Aufgabenstellung: Geben Sie eine Bedingung für c an, sodass die Gleichung genau eine reelle Lösung hat. c = Eine quadratische Gleichung besitzt genau eine reelle Lösung, wenn die Diskriminante null ist. Somit muss gelten: b2 – 4 · a · c = 144 – 4 · a · c = 0. Dies ist bereits eine Bedingung dafür, dass die Gleichung nur eine reelle Lösung hat. Die Aufgabenstellung verlangt aber eine explizite Bedingung für den Parameter c. Diese erhält man durch Umformen der Gleichung 144 – 4 · a · c = 0. Es ergibt sich c = 36 _ a . Um das Ergebnis einer Berechnung zu überprüfen, bieten sich verschiedene Verfahren an. –– Eine Abschätzung, ob das Ergebnis größenordnungsmäßig richtig sein kann. –– Eine (näherungsweise) graphische Kontrolle bei Funktionen oder geometrischen Objekten. –– Eine beispielhafte Überprüfung mit Zahlen, wenn das Aufstellen eines Terms gefragt ist. Das Ergebnis der Berechnung mit konkreten Zahlen kann Aufschluss darüber geben, ob der Term richtig sein kann. Sie sollten bei einer solchen Überprüfung allerdings nicht gerade die Zahlen 0, 1 oder 2 wählen, da diese oft dazu führen, dass sich bestimmte Ausdrücke kürzen oder wegfallen. Ein prinzipiell falscher Term kann so in Spezialfällen richtig aussehen. –– Eine Kontrollrechnung, wenn es möglich ist, auf eine andere Art auf das Ergebnis zu kommen oder wenn man aus dem Ergebnis Werte, die in der Angabe vorkommen, berechnen kann. Beispielsweise lassen sich in einem rechtwinkeligen Dreieck Seiten und Winkel auf mehrere Arten bestimmen. Die Winkelsumme muss zum Beispiel immer 180° sein. Bei Funktionen kann man mithilfe des gefundenen Funktionsterms weitere Funktionswerte bestimmen, die man mit einer gegebenen Wertetabelle oder einem Graphen kontrollieren kann. Graph einer Exponentialfunktion Gegeben ist eine Exponentialfunktion f mit f(x) = a · bx mit a, b * R+. In der nebenstehenden Abbildung ist der Graph von f dargestellt. Aufgabenstellung: Geben Sie a und b an. a = b = Durch Ablesen aus dem Graphen erkennt man für die Stelle 0 den Funktionswert 2 und für die Stelle 1 den Funktionswert 2,4. Bei Erhöhung des Arguments um 1 erhöht sich also der Funktionswert auf das 1,2-fache 2 2,4 _ 2 = 1,2 3. Es ist also a = 2 und b = 1,2. Um dieses Ergebnis zu überprüfen, lassen sich nun weitere Funktionswerte mithilfe der Funktionsgleichung f(x) = 2 ·1,2x berechnen und das jeweilige Ergebnis mit dem Graphen vergleichen, z.B. f(2) = 2,88 oder f(2,5) = 3,15. Diese stimmen mit dem Graphen im Rahmen der Ablesemöglichkeiten überein. Tipp: Für das Training des halboffenen Formats eignen sich in diesem Buch die Aufgaben 6, 7, 11, 12, 13, 24, 28, 29, 30, 32, 65, 89, 105, 108, 110, 117, 118, 119, 127, 132, 145, 156, 228 Muster 4 Muster 5 x f(x) 0,5 1 1,5 2 2,5 –0,5 0,8 1,6 2,4 3,2 0 f 7 Strategien beim Lösen von Aufgaben | Halboffenes Format Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Multiple-Choice-Formate Das Multiple-Choice-Format, bei dem die Richtigkeit von Aussagen beurteilt und die entsprechenden Aussagen angekreuzt werden müssen, kommt in zwei verschiedenen Varianten vor: 2 aus 5 und 1 aus 6. –– Die Art des Multiple-Choice-Formats erkennen Sie an der Formulierung der Aufgabenstellung („Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an.“ – 2 aus 5, „Kreuzen Sie die zutreffende Aussage an.“ – 1 aus 6). Außerdem steht nach der Handlunganweisung jeweils [2 aus 5] oder [1 aus 6] dabei. –– Notizen und Bemerkungen werden bei der Beurteilung nicht berücksichtigt. Es zählen nur die angekreuzten Aussagen. –– Bei „2 aus 5“ und „1 aus 6“ sollten Sie in jedem Fall zwei Aussagen bzw. eine Aussage ankreuzen. Wenn Sie die richtigen Antworten nicht erkennen, versuchen Sie sie „nach Gefühl“ zu erraten, sonst haben Sie den Punkt sicher verloren. „Nach Gefühl“ bedeutet, dass Sie nicht blind raten, sondern nach gewissen intuitiven Plausibilitätskriterien vorgehen („Das wird es wahrscheinlich nicht sein, das schon…“), ohne diese aber sachlich begründen zu können. –– Eine Strategie besteht darin, die Aussagen durchzugehen und die richtige(n) zu identifizieren. Eine andere wäre es, sich darauf zu konzentrieren, welche Aussagen falsch sind und ausgeschlossen werden können. In der Praxis ist eine Kombination aus beiden Strategien zu empfehlen, wobei Sie damit beginnen sollten, nach den richtigen Aussagen zu suchen. –– Wenn Sie Aussagen sicher ausschließen können, markieren Sie sie auch als ausgeschlossen (siehe rechts). Sie verbringen sonst viel Zeit damit, immer wieder Sätze zu lesen, die Sie bereits als inhaltlich falsch eingestuft haben. –– Auch wenn zur richtigen Lösung der Aufgabenstellung nur ein oder zwei Kreuze nötig sind, scheuen Sie sich nicht, Berechnungen durchzuführen und umfangreiche Notizen oder Skizzen zu erstellen. Tipp: Für das Training der Multiple-Choice-Formate eignen sich in diesem Buch die Aufgaben 1, 2, 3, 4, 9, 15, 25, 37, 39, 43, 51, 54, 55, 59, 61, 64, 66, 67, 74, 81, 82, 87, 92, 97, 98, 101, 106, 115, 122, 126, 134, 136, 137, 143, 147, 149, 165, 166, 168, 173, 174, 177, 178, 181, 182, 185, 188, 189, 191, 200, 203, 205, 206, 208, 213, 221, 232, 238, 239, 240, 244 Die beiden Strategien des Findens der richtigen und des Ausschließens der falschen Aussagen bieten auch eine Möglichkeit zur Kontrolle. Haben Sie beispielsweise in einer „2 aus 5“-Aufgabe die erste und die dritte Aussage als richtig identifiziert, müssten Sie eigentlich die vierte und fünfte gar nicht mehr lesen. Es empfiehlt sich aber, in jedem Fall alle Aussagen zu lesen und ihre Korrektheit zu beurteilen, um die angekreuzten Aussagen abzusichern. Im idealen Fall haben Sie am Ende der Bearbeitung eine bestimmte Anzahl an Aussagen angekreuzt und den Rest als falsch markiert. Modellierung durch lineare Funktionen Im Folgenden sind einige Zusammenhänge angeführt, die mathematisch durch unterschiedliche Funktionen beschrieben werden können. Aufgabenstellung: Kreuzen Sie jene beiden Zusammenhänge an, die mathematisch durch lineare Funktionen beschrieben werden können. [2 aus 5] Das Gehalt von Angestellten einer Firma, welches jährlich um einen Prozentsatz von 0,5 % zunimmt. . Die Kosten für die Entlehnung eines Leihfahrzeugs, wenn pro Stunde 12 Euro bezahlt werden müssen. Der Inhalt einer Trinkflasche, der durch eine undichte Stelle pro Minute um etwa 6 ml abnimmt. Der Luftdruck, der mit der Höhe alle 5 500 Meter um etwa die Hälfte vom jeweiligen Ausgangswert abnimmt. Die Auslenkung eines Pendels, das mit einer Frequenz von 0,5 Hz gleichmäßig hin- und herschwingt. . 8 Strategien beim Lösen von Aufgaben Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Lückentext Beim Format „Lückentext“ muss ein Satz so vervollständigt werden, dass er eine mathematisch korrekte Aussage ergibt. Dazu kann an zwei Stellen im Satz durch ein Kreuz aus jeweils drei Möglichkeiten gewählt werden. –– Notizen und Bemerkungen werden bei der Beurteilung nicht berücksichtigt. Es zählen nur die angekreuzten Aussagen. –– Es können zwei voneinander unabhängige Aussagen miteinander verknüpft werden. Dies erkennen Sie daran, dass zwischen den Lücken ein „und“ steht oder überhaupt zwei Sätze formuliert werden. In diesem Fall können die Aussagen getrennt voneinander behandelt werden und es gelten dieselben Strategien wie bei den Multiple-Choice-Aufgaben. –– Es kann auch vorkommen, dass eine Aussage und ihre Begründung durch den Satz verknüpft werden. Dann finden Sie vor einer der beiden Lücken „weil“, „daher“, „deswegen“ oder andere Wörter, die einen Nachweis für eine Aussage ankündigen. Es empfiehlt sich, zunächst die Begründungen zu bewerten, da sich unter ihnen in vielen Fällen Aussagen befinden, die für den gegebenen Sachverhalt als Begründungen gar nicht in Frage kommen. Diese können Sie dann sofort ausschließen. Dadurch engt sich oft auch der Kreis der möglichen Antworten für die zweite Lücke ein. –– Eine dritte Möglichkeit ist, dass eine Aussage, die nur unter einer bestimmten Bedingung gilt, mit dieser Bedingung verknüpft wird. Sie erkennen es daran, dass vor einer der Lücken „wenn“ oder „falls“ und vor der anderen „dann“ oder „so“ steht. Auch hier können Sie sich von den Bedingungen zu den Aussagen vorarbeiten, weil sich viele Bedingungen leicht ausschließen lassen, wodurch sich die Anzahl der möglichen richtigen Aussagen reduziert. –– Denken Sie daran, dass sich auch moderne, mathematische Technologiesysteme oft sehr gut eignen, um die Korrektheit von Lückentexten zu beurteilen. Monotonie einer Polynomfunktion Gegeben ist die reelle Funktion f mit f(x) = x2 – 2 · x + 3. Aufgabenstellung: Ergänzen Sie die Textlücken im nachstehenden Satz durch Ankreuzen des jeweils zutreffenden Satzteils so, dass eine richtige Aussage entsteht. Die Funktion f ist im Intervall [2; 3] (1) , weil (2) . (1) (2) streng monoton fallend für alle x * [2; 3] f’’(x) > 0 gilt konstant für alle x * [2; 3] f’(x) > 0 gilt streng monoton steigend es ein x * [2; 3] mit f’(x) > 0 gibt Um die Lücke (1) zu füllen, könnte man die Monotonie der gegebenen Funktion im Intervall [2; 3] untersuchen, z.B. durch eine Skizze, das Ermitteln von Funktionswerten oder Einsatz der Ableitungsfunktion. Besser ist aber, zunächst die Lücke (2) für die Begründung anzusehen. Da das Vorzeichen der zweiten Ableitung kein Kriterium für die Monotonie liefert, lässt sich die erste Möglichkeit für die Lücke (2) von Beginn an ausschließen. Nachdem es um die Monotonie eines ganzen Intervalls geht, kann es nicht ausreichen, nur eine Stelle x des Intervalls zu betrachten. Auch die dritte Möglichkeit für die Lücke (2) lässt sich also ausschließen. Es ist also die zweite Möglichkeit richtig, hier ist bereits f’(x) > 0 für alle Stellen x des Intervalls angegeben, also kann man auf ein streng monoton steigendes Verhalten der Funktion schließen. In Lücke (1) ist also die dritte Möglichkeit korrekt. Zu dieser Schlussfolgerung gelangt man, ohne die Monotonie der Funktion konkret untersucht zu haben. Tipp: Für das Training des Lückentext-Formats eignen sich in diesem Buch die Aufgaben 5, 8, 14, 21, 36, 60, 73, 84, 95, 107, 113, 123, 135, 153, 161, 164, 167, 176, 184, 187, 242 Mit dem Lückentext-Format wird überprüft, ob Sie den Zusammenhang zwischen mathematischen Definitionen und Folgerungen, Aussagen und Bedingungen verstanden haben. Als Kontrolle können Sie möglicherweise bei Aussagen über Terme in diese Zahlen einsetzen und bei Aussagen über Funktionen anhand von Skizzen die Plausibilität des fertigen Satzes testen. Muster 6 9 Strategien beim Lösen von Aufgaben | Lückentext Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Zuordnungsformat Beim Zuordnungsformat müssen einer bestimmten Anzahl von mathematischen Ausdrücken (oder Graphen, Tabellen, …) andere mathematische Ausdrücke (oder Graphen, Tabellen, Parameter, …) zugeordnet werden, die aus sechs Möglichkeiten (A bis F) zu wählen sind. –– Notizen und Bemerkungen werden bei der Beurteilung nicht berücksichtigt. Es zählen ausschließlich die zugeordneten Buchstaben. –– Beim Zuordnungsformat gibt es für vier richtige Zuordnungen einen Punkt, für zwei oder drei richtige Zuordnungen immer einen halben Punkt. –– Sie sollten in jedem Fall eine komplette Zuordnung vornehmen. Falls Sie die richtige Zuordnung nicht erkennen, versuchen Sie, einzelne Buchstaben „nach Gefühl“ zu erraten, da Sie bereits für zwei richtige Zuordnungen einen halben Punkt erhalten. „Nach Gefühl“ bedeutet, dass Sie nicht blind raten, sondern nach gewissen intuitiven Plausibilitätskriterien vorgehen („Das wird es wahrscheinlich nicht sein …“), ohne diese aber vsachlich begründen zu können. –– Bei der Lösung einer Zuordnungsaufgabe können Sie eine Kombination von Strategien verwenden, die auch bei anderen Aufgabentypen zum Einsatz kommen. Es empfiehlt sich, zunächst jene Zuordnungen zu machen, bei denen Sie sich sicher sind. Dann bleiben noch einige Buchstaben übrig, von denen sich möglicherweise einer oder sogar zwei ausschließen lassen. Der Rest der Zuordnungen lässt sich dann möglicherweise durch die vorgenommenen Ausschlüsse herstellen. –– Um inhaltlich korrekte Zuordnungen zu erstellen, können Sie mit Skizzen und kleinen Rechnungen vorgehen. Wenn Terme vorkommen, lassen sich einige konkrete Zahlen einsetzen und die Ergebnisse mit den Antwortmöglichkeiten vergleichen. Sind Funktionen beteiligt, können Sie versuchen, Skizzen zu erstellen, um so auf die richtige Antwort zu kommen. Es ist auch denkbar, ein einfaches Beispiel mit konkreten Zahlen zu erfinden, damit die Antwortmöglichkeiten besser voneinander zu unterscheiden sind. –– Denken Sie daran, dass sich auch moderne, mathematische Technologiesysteme oft sehr gut eignen, um die Korrektheit von Zuordnungen zu beurteilen. Tipp: Für das Training des Zuordnungsformats eignen sich in diesem Buch die Aufgaben 10, 16, 20, 45, 68, 83, 85, 103, 111, 116, 141, 146, 151, 152, 154, 175, 186, 198, 220, 224 Aufgaben im Zuordnungsformat richtig zu lösen ist mitunter schwierig, weil vier korrekte Antworten gegeben werden müssen, um einen Punkt zu bekommen. Eine Kontrollmöglichkeit besteht darin, bei fertiger Zuordnung jede der gegebenen Aussagen noch einmal mit allen alternativen Antwortmöglichkeiten zu kombinieren und jeweils einen Grund zu suchen, warum diese Zuordnung nicht stimmen kann. So überprüfen Sie alle Möglichkeiten und Ihre Zuordnung wird möglicherweise abgesichert. Konstruktionsformat Beim Konstruktionsformat ist die graphische Darstellung eines mathematischen Objekts in ein dafür vorgesehenes Abbildungsfeld zu zeichnen. –– In den allermeisten Fällen betreffen Konstruktionsaufgaben den Graphen einer Funktion oder die graphische Darstellung eines Vektors. –– Die Kriterien für die Richtigkeit der Konstruktion eines Funktionsgraphen sind die prinzipielle Form des Graphen und seine Schnittpunkte mit charakteristischen Punkten (z.B. Nullstellen, Hoch- und Tiefpunkte, …) oder den Koordinatenachsen. –– Für die Richtigkeit der graphischen Darstellung eines Vektors zählen seine Länge, seine Richtung und seine Orientierung. In einigen Fällen muss der Vektor von einem bestimmten Punkt aus gezeichnet werden. –– Es empfiehlt sich, bei allen Konstruktionen möglichst sauber zu arbeiten, damit z.B. die entsprechenden Schnittpunkte oder die Endpunkte von Linien deutlich erkennbar sind und es zu keinen Missverständnissen kommen kann. Für gerade Linien ist ein Lineal zu empfehlen. Bei gekrümmten Linien sollten Sie diese zuerst mit einem Bleistift dünn vorzeichnen und dann nachziehen. 10 Strategien beim Lösen von Aufgaben Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Graph der Ableitungsfunktion In der nebenstehenden Abbildung ist der Graph der Funktion f gegeben. Aufgabenstellung: Skizzieren Sie in der Abbildung den Graphen der zugehörigen Ableitungsfunktion fq. Die Lösung ist rechts abgebildet. Man sieht, dass die Lage der Nullstellen und des Scheitels der Parabel für die korrekte Lösung wesentlich sind. Eine ungenaue Zeichnung könnte zu einer Aberkennung des Punktes führen, weil das Verständnis der Zusammenhänge zwischen der Funktion und ihrer Ableitung als nicht erwiesen angesehen wird. Beim Zeichnen der Ableitungsfunktion kann es auch hilfreich sein, auf die Symmetrie der Funktion f zu achten. Durch die Punktsymmetrie von f bezüglich ihres Wendepunkts ergibt sich bei der Ableitungsfunktion eine Symmetrie bezüglich der Geraden x = 1. Tipp: Für das Training des Konstruktionsformats eignen sich in diesem Buch die Aufgaben 26, 27, 35, 57, 63, 69, 70, 75, 93, 112, 129, 144, 150, 180, 201, 202 Allgemeine Richtlinien zur Selbstkontrolle sind beim Konstruktionsformat kaum vorhanden. Wenn Sie die graphische Darstellung gezeichnet haben, sollten Sie noch einmal überprüfen, ob alle Bedingungen, die in der Angabe verbal formuliert sind, auch erfüllt sind. Teil-2-Aufgaben Ab dem Haupttermin 2020 werden in den Teil-2-Aufgaben selbst zwei Arten von Aufgaben vorkommen. Insgesamt gibt es vier Teil-2-Aufgaben mit jeweils vier Handlungsanweisungen. Die Aufgabe 25 ist dabei stets eine Aufgabe mit „reduziertem Kontext“. Die vier Aufgaben sind dabei immer unabhängig. Die Aufgaben 26, 27 und 28 sind (etwas aufwendigere) Teil-2-Aufgaben, bei denen manche Aufgaben auch abhängig sein können. Beispielsweise kann es vorkommen, dass man für die Bearbeitung von a) 2) das Ergebnis von a) 1) benötigt. Bei diesen drei Aufgaben gilt das „Best-of-Prinzip“. Nur die zwei Aufgaben, mit denen die meisten Punkte erzielt wurden, werden gewertet. Teil 1 und Teil 2 werden gleichwertig verrechnet. Von den 36 Punkten gesamt können daher 12 Punkte mit Teil-2-Aufgaben erreicht werden. In manchen Fällen sind die Aufgaben an sich nicht schwieriger als solche in Teil 1. Die Schwierigkeit besteht eher darin, die benötigten Informationen aus der Angabe (Text, Graphiken, Tabellen) herauszulesen und für die Lösung der Aufgabe richtig zu verwenden. Die zu Beginn angeführten Tipps für das Lesen der Angabe können Ihnen hier also in verstärktem Ausmaß helfen, auf eine richtige Antwort zu kommen. Einsatz von Technologie Seit dem Haupttermin 2018 kommen in Teil 2 auch Aufgaben vor, zu deren Lösung die Fähigkeiten von herkömmlichen Taschenrechnern nicht mehr ausreichen. Es sollen dann technologische Hilfsmittel (graphikfähige Taschenrechner, Computer) benutzt werden, die das Darstellen von Funktionsgraphen, das Lösen von Gleichungen und Gleichungssystemen, das Ermitteln von Ableitungs- und Stammfunktionen, das numerische Integrieren sowie stochastische Grundfunktionen beherrschen. Die Übersicht aller wichtigsten Technologiehinweise befinden sich im Lehrwerk-Online und sind mit dem Code a8jp6z erreichbar. Muster 7 x f(x) 2 4 6 –4 –2 4 8 –8 –4 0 f x f(x), f’(x) 2 4 6 –4 –2 4 8 –8 –4 0 f f’ 11 Strategien beim Lösen von Aufgaben | Teil-2-Aufgaben Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
1 Algebra und Geometrie 1.1 Grundbegriffe der Algebra AG 1.1 Wissen über die Zahlenmengen/‑bereiche N, Z, Q, R, C verständig einsetzen können AG 1.2 Wissen über algebraische Begriffe angemessen einsetzen können: Variablen, Terme, Formeln, (Un-)Gleichungen, Gleichungssysteme; Äquivalenz, Umformungen, Lösbarkeit 1.2 (Un-) Gleichungen und Gleichungssysteme AG 2.1 Einfache Terme und Formeln aufstellen, umformen und im Kontext deuten können AG 2.2 Lineare Gleichungen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen und die Lösung im Kontext deuten können AG 2.3 Quadratische Gleichungen in einer Variablen umformen/lösen, über Lösungsfälle Bescheid wissen; Lösungen und Lösungsfälle (auch geometrisch) deuten können AG 2.4 Lineare Ungleichungen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen, Lösungen (auch geometrisch) deuten können AG 2.5 Lineare Gleichungssysteme in zwei Variablen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen können, über Lösungsfälle Bescheid wissen, Lösungen und Lösungsfälle (auch geometrisch) deuten können 1.3 Vektoren AG 3.1 Vektoren als Zahlentupel verständig einsetzen und im Kontext deuten können AG 3.2 Vektoren geometrisch (als Punkte bzw. Pfeile) deuten und verständig einsetzen können AG 3.3 Definition der Rechenoperationen mit Vektoren (Addition, Multiplikation mit einem Skalar, Skalarprodukt) kennen; Rechenoperationen verständig einsetzen und (auch geometrisch) deuten können AG 3.4 Geraden in ℝ2 durch Parameterdarstellungen und Gleichungen, in ℝ3 durch Parameterdarstellungen angeben und diese Darstellungen interpretieren können; Lagebeziehungen (zwischen Geraden und zwischen Punkt und Gerade) analysieren, Schnittpunkte ermitteln können AG 3.5 Normalvektoren in ℝ2 aufstellen, verständig einsetzen und interpretieren können 1.4 Trigonometrie AG 4.1 Definitionen von Sinus, Cosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck kennen und zur Auflösung rechtwinkeliger Dreiecke einsetzen können AG 4.2 Definitionen von Sinus und Cosinus für Winkel größer als 90° kennen und einsetzen können 2 Funktionale Abhängigkeiten 2.1 Funktionsbegriff, reelle Funktionen, Darstellungsformen und Eigenschaften FA 1.1 Für gegebene Zusammenhänge entscheiden können, ob man sie als Funktionen betrachten kann FA 1.2 Formeln als Darstellung von Funktionen interpretieren und dem Funktionstyp zuordnen können FA 1.3 Zwischen tabellarischen und graphischen Darstellungen funktionaler Zusammenhänge wechseln können geübt geübt geübt geübt geübt Checkliste Grundkompetenzen 12 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
FA 1.4 Aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Funktionen Werte(paare) ermitteln und im Kontext deuten können FA 1.5 Eigenschaften von Funktionen erkennen, nennen, im Kontext deuten und zum Erstellen von Funktionsgraphen einsetzen können: Monotonie(wechsel), lokale Extrema, Wendepunkte, Periodizität, Achsensymmetrie, asymptotisches Verhalten, Schnittpunkte mit den Achsen FA 1.6 Schnittpunkte zweier Funktionsgraphen graphisch und rechnerisch ermitteln und im Kontext interpretieren können FA 1.7 Funktionen als mathematische Modelle verstehen und damit verständig arbeiten können FA 1.8 Durch Gleichungen (Formeln) gegebene Funktionen mit mehreren Veränderlichen im Kontext deuten können, Funktionswerte ermitteln können FA 1.9 Einen Überblick über die wichtigsten (unten angeführten) Typen mathematischer Funktionen geben, ihre Eigenschaften vergleichen können 2.2 Lineare Funktion [f(x) = k · x + d] FA 2.1 Verbal, tabellarisch, graphisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene lineare Zusammenhänge als lineare Funktionen erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können FA 2.2 Aus Tabellen, Graphen und Gleichungen linearer Funktionen Werte(paare) sowie die Parameter k und d ermitteln und im Kontext deuten können FA 2.3 Die Wirkung der Parameter k und d kennen und die Parameter in unterschiedlichen Kontexten deuten können FA 2.4 Wichtige Eigenschaften kennen und im Kontext deuten können: f(x + 1) = f(x) + k; f(x2) – f(x1) __ x 2 – x1 = k = [f’(x)] FA 2.5 Die Angemessenheit einer Beschreibung mittels linearer Funktion bewerten können FA 2.6 Direkte Proportionalität als lineare Funktion vom Typ f(x) = k·x beschreiben können 2.3 Potenzfunktion mit f(x) = a · x2 und Funktionen vom Typ f(x) = a · xz + b mit z * ℤ \ {0} oder z = 1 _ 2 FA 3.1 Verbal, tabellarisch, graphisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene Zusammenhänge dieser Art als entsprechende Funktionen erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können FA 3.2 Aus Tabellen, Graphen und Gleichungen dieser Funktion Werte(paare) sowie die Parameter a und b ermitteln und im Kontext deuten können FA 3.3 Die Wirkung der Parameter a und b kennen und die Parameter im Kontext deuten können FA 3.4 Indirekte Proportionalität als Potenzfunktion vom Typ f(x) = a _ x (bzw. f(x) = a · x ‒ 1 ) beschreiben können 2.4 Polynomfunktion 4 f(x) = ; i = 0 n ai · x i mit n * ℕ 5 FA 4.1 Typische Verläufe von Graphen in Abhängigkeit vom Grad der Polynomfunktion (er)kennen FA 4.2 Zwischen tabellarischen und graphischen Zusammenhängen dieser Art wechseln können FA 4.3 Aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Polynomfunktionen Funktionswerte, aus Tabellen und Graphen sowie aus einer quadratischen Funktionsgleichung Argumentwerte ermitteln können FA 4.4 Den Zusammenhang zwischen dem Grad der Polynomfunktion und der Anzahl der (möglichen) Null-, Extrem- und Wendestellen wissen 2.5 Exponentialfunktion [f(x) = a · bx bzw. f(x) = a · eλ · x, mit a, b * ℝ+, λ * ℝ \ {0}] FA 5.1 Verbal, tabellarisch, graphisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene exponentielle Zusammenhänge als Exponentialfunktion erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können FA 5.2 Aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Exponentialfunktionen Werte(paare) ermitteln und im Kontext deuten können geübt geübt geübt geübt 13 Checkliste Grundkompetenzen | Funktionale Abhängigkeiten Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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