2 Zum Maturatraining Liebe Schülerinnen und Schüler, dieses Heft bietet eine umfassende Vorbereitung auf die Matura in Mathematik. Multiple-Choice-Formate Das Multiple-Choice-Format, bei dem die Richtigkeit von Aussagen beurteilt und die entsprechenden Aussagen angekreuzt werden müssen, kommt in zwei verschiedenen Varianten vor: 2 aus 5 und 1 aus 6. – Die Art des Multiple-Choice-Formats erkennen Sie an der Formulierung der Aufgabenstellung („Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an.“ – 2 aus 5, „Kreuzen Sie die zutreffende Aussage an.“ – 1 aus 6). Außerdem steht nach der Handlunganweisung jeweils [2 aus 5] oder [1 aus 6] dabei. – Notizen und Bemerkungen werden bei der Beurteilung nicht berücksichtigt. Es zählen nur die angekreuzten Aussagen. – Bei „2 aus 5“ und „1 aus 6“ sollten Sie in jedem Fall zwei Aussagen bzw. eine Aussage ankreuzen. Wenn Sie die richtigen Antworten nicht erkennen, versuchen Sie sie „nach Gefühl“ zu erraten, sonst haben Sie den Punkt sicher verloren. „Nach Gefühl“ bedeutet, dass Sie nicht blind raten, sondern nach gewissen intuitiven Plausibilitätskriterien vorgehen („Das wird es wahrscheinlich nicht sein, das schon…“), ohne diese aber sachlich begründen zu können. – Eine Strategie besteht darin, die Aussagen durchzugehen und die richtige(n) zu identifizieren. Eine andere wäre es, sich darauf zu konzentrieren, welche Aussagen falsch sind und ausgeschlossen werden können. In der Praxis ist eine Kombination aus beiden Strategien zu empfehlen, wobei Sie damit beginnen sollten, nach den richtigen Aussagen zu suchen. – Wenn Sie Aussagen sicher ausschließen können, markieren Sie sie auch als ausgeschlossen (siehe rechts). Sie verbringen sonst viel Zeit damit, immer wieder Sätze zu lesen, die Sie bereits als inhaltlich falsch eingestuft haben. – Auch wenn zur richtigen Lösung der Aufgabenstellung nur ein oder zwei Kreuze nötig sind, scheuen Sie sich nicht, Berechnungen durchzuführen und umfangreiche Notizen oder Skizzen zu erstellen. Tipp: Für das Training der Multiple-Choice-Formate eignen sich in diesem Buch die Aufgaben 1, 2, 3, 4, 9, 15, 25, 37, 39, 43, 51, 54, 55, 59, 61, 64, 66, 67, 74, 81, 82, 87, 92, 97, 98, 101, 106, 115, 122, 126, 134, 136, 137, 143, 147, 149, 165, 166, 168, 173, 174, 177, 178, 181, 182, 185, 188, 189, 191, 200, 203, 205, 206, 208, 213, 221, 232, 238, 239, 240, 244 Die beiden Strategien des Findens der richtigen und des Ausschließens der falschen Aussagen bieten auch eine Möglichkeit zur Kontrolle. Haben Sie beispielsweise in einer „2 aus 5“-Aufgabe die erste und die dritte Aussage als richtig identifiziert, müssten Sie eigentlich die vierte und fünfte gar nicht mehr lesen. Es empfiehlt sich aber, in jedem Fall alle Aussagen zu lesen und ihre Korrektheit zu beurteilen, um die angekreuzten Aussagen abzusichern. Im idealen Fall haben Sie am Ende der Bearbeitung eine bestimmte Anzahl an Aussagen angekreuzt und den Rest als falsch markiert. Modellierung durch lineare Funktionen Im Folgenden sind einige Zusammenhänge angeführt, die mathematisch durch unterschiedliche Funktionen beschrieben werden können. Aufgabenstellung: Kreuzen Sie jene beiden Zusammenhänge an, die mathematisch durch lineare Funktionen beschrieben werden können. [2 aus 5] Das Gehalt von Angestellten einer Firma, welches jährlich um einen Prozentsatz von 0,5 % zunimmt. . Die Kosten für die Entlehnung eines Leihfahrzeugs, wenn pro Stunde 12 Euro bezahlt werden müssen. Der Inhalt einer Trinkflasche, der durch eine undichte Stelle pro Minute um etwa 6 ml abnimmt. Der Luftdruck, der mit der Höhe alle 5 500 Meter um etwa die Hälfte vom jeweiligen Ausgangswert abnimmt. Die Auslenkung eines Pendels, das mit einer Frequenz von 0,5 Hz gleichmäßig hin- und herschwingt. . 8 Strategien beim Lösen von Aufgaben FA 1.4 Aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Funktionen Werte(paare) ermitteln und im Kontext deuten können FA 1.5 Eigenschaften von Funktionen erkennen, nennen, im Kontext deuten und zum Erstellen von Funktionsgraphen einsetzen können: Monotonie(wechsel), lokale Extrema, Wendepunkte, Periodizität, Achsensymmetrie, asymptotisches Verhalten, Schnittpunkte mit den Achsen FA 1.6 Schnittpunkte zweier Funktionsgraphen graphisch und rechnerisch ermitteln und im Kontext interpretieren können FA 1.7 Funktionen als mathematische Modelle verstehen und damit verständig arbeiten können FA 1.8 Durch Gleichungen (Formeln) gegebene Funktionen mit mehreren Veränderlichen im Kontext deuten können, Funktionswerte ermitteln können FA 1.9 Einen Überblick über die wichtigsten (unten angeführten) Typen mathematischer Funktionen geben, ihre Eigenschaften vergleichen können 2.2 Lineare Funktion [f(x) = k · x + d] FA 2.1 Verbal, tabellarisch, graphisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene lineare Zusammenhänge als lineare Funktionen erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können FA 2.2 Aus Tabellen, Graphen und Gleichungen linearer Funktionen Werte(paare) sowie die Parameter k und d ermitteln und im Kontext deuten können FA 2.3 Die Wirkung der Parameter k und d kennen und die Parameter in unterschiedlichen Kontexten deuten können FA 2.4 Wichtige Eigenschaften kennen und im Kontext deuten können: f(x + 1) = f(x) + k; f( x 2 ) – f(x 1 ) __ x 2 – x1 = k = [f’(x)] FA 2.5 Die Angemessenheit einer Beschreibung mittels linearer Funktion bewerten können FA 2.6 Direkte Proportionalität als lineare Funktion vom Typ f(x) = k·x beschreiben können 2.3 Potenzfunktion mit f(x) = a · x2 und Funktionen vom Typ f(x) = a · xz + b mit z * ℤ \ {0} oder z = 1 _ 2 FA 3.1 Verbal, tabellarisch, graphisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene Zusammenhänge dieser Art als entsprechende Funktionen erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können FA 3.2 Aus Tabellen, Graphen und Gleichungen dieser Funktion Werte(paare) sowie die Parameter a und b ermitteln und im Kontext deuten können FA 3.3 Die Wirkung der Parameter a und b kennen und die Parameter im Kontext deuten können FA 3.4 Indirekte Proportionalität als Potenzfunktion vom Typ f(x) = a _ x (bzw. f(x) = a · x ‒ 1 ) beschreiben können 2.4 Polynomfunktion 4 f(x) = ; i = 0 n ai · x i mit n * ℕ 5 FA 4.1 Typische Verläufe von Graphen in Abhängigkeit vom Grad der Polynomfunktion (er)kennen FA 4.2 Zwischen tabellarischen und graphischen Zusammenhängen dieser Art wechseln können FA 4.3 Aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Polynomfunktionen Funktionswerte, aus Tabellen und Graphen sowie aus einer quadratischen Funktionsgleichung Argumentwerte ermitteln können FA 4.4 Den Zusammenhang zwischen dem Grad der Polynomfunktion und der Anzahl der (möglichen) Null-, Extrem- und Wendestellen wissen 2.5 Exponentialfunktion [f(x) = a · bx bzw. f(x) = a · e λ · x , mit a, b * ℝ+, λ * ℝ \ {0}] FA 5.1 Verbal, tabellarisch, graphisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene exponentielle Zusammenhänge als Exponentialfunktion erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können FA 5.2 Aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Exponentialfunktionen Werte(paare) ermitteln und im Kontext deuten können geübt geübt geübt geübt 13 Checkliste Grundkompetenzen | Funktionale Abhängigkeiten Im Kapitel Strategien zum Lösen von Aufgaben werden wertvolle Hinweise gegeben, wie man zielgerichtet an die einzelnen Aufgabenformate herangehen kann. Auf vier Seiten finden Sie alle Grundkompetenzen im Überblick. Wenn Sie eine Grundkompetenz gut geübt haben, haken Sie diese an! Zu den vier großen Bereichen > Algebra und Geometrie, > Funktionale Abhängigkeiten, > Analysis, > Wahrscheinlichkeit und Statistik werden eine Vielzahl von Aufgaben – wie sie in Teil 1 der schriftlichen Reifeprüfung gestellt werden – angeboten. 2.1 Funktionsbegriff, reelle Funktionen, Darstellungsformen und Eigenschaften FA 1.1 Für gegebene Zusammenhänge entscheiden können, ob man sie als Funktionen betrachten kann Verbale Beschreibung einer Funktion In nachstehender Tabelle sind Zuordnungen beschrieben. Aufgabenstellung: Kreuzen Sie jene beiden Zuordnungen an, welche eine Funktion beschreiben. [2 aus 5] A Jedem verkauften Polster in einem Möbelhaus wird ein Verkaufspreis zugeordnet. B Jeder Wohnung wird der Name des Bewohners bzw. der Bewohnerin zugeordnet. C Jedem Baum wird die Anzahl seiner Blätter zugeordnet. D Jedem Haus in Bregenz wird das Alter seiner Bewohner/innen zugeordnet. E Jedem Menschen werden seine Telefonnummern zugeordnet. Tabellarische Beschreibung einer Funktion Eine Zuordnung z ist durch nebenstehende Wertetabelle gegeben. e, f, g, und h sind voneinander verschieden. Aufgabenstellung: Ergänzen Sie die Textlücken im nachstehenden Satz durch Ankreuzen des jeweils zutreffenden Satzteils so, dass eine richtige Aussage entsteht. Die Wertetabelle ist genau dann eine Wertetabelle einer Funktion, wenn (1) (2) auftritt. (1) (2) jeder Wert der Definitionsmenge genau einmal jeder Wert der Wertemenge höchstens zweimal jede reelle Zahl mindestens einmal Verbal gegebene Zusammenhänge als Funktion erkennen FA 1.1 M1 59 FA 1.1 M1 60 Tabellarisch gegebene Zusammenhänge als Funktion erkennen x z(x) a e b f c g d h 2 Funktionale Abhängigkeiten 2 Funktionale Abhängigkeiten Funktionale Abhängigkeiten Funktionsbegriff, reelle Funktionen, Darstellungsformen und Eigenschaften durchgerechnete Lösungen fs5nb9 31 Umsatz mit Fairtrade-Produkten in Österreich Im nachstehenden Säulendiagramm ist der Umsatz, der in Österreich durch den Verkauf von FairtradeProdukten in den Jahren 2002 bis 2022 erzielt wurde, dargestellt. Quelle: Fairtrade Österreich. (14. April,2023). Gesamtumsatz mit Fairtrade-Produkten in Österreich von 2022 bis 2022 (in Mio. Euro). In Statista. Zugriff am 12. April 2024, von https://de.statista.com/statistik/daten/studie/435432/umfrage/ umsatz-mit-fairtrade-produkten-in-oesterreich/ Aufgabenstellung: a) Die zeitliche Entwicklung des Umsatzes durch den Verkauf von Fairtrade-Produkten in den Jahren 2002 bis 2022 lässt sich durch die Exponentialfunktion f modellieren. t … Zeit in Jahren mit t = 0 für das Jahr 2002 f(t) … Umsatz durch den Verkauf von Fairtrade-Produkten zur Zeit t in Mio. Euro 1) Stellen Sie mithilfe der Daten aus den Jahren 2002 und 2022 eine Funktionsgleichung von f auf. Luis behauptet: „Laut diesem Modell wird der Umsatz durch den Verkauf von Fairtrade-Produkten im Jahr 2025 um mehr als 100 % größer sein als im Jahr 2020.“ 2) Überprüfen Sie rechnerisch, ob die Behauptung von Luis stimmt. In der nebenstehenden Abbildung ist die Umsatzverteilung nach Produktkategorien im Jahr 2020 dargestellt. 3) Berechnen Sie mithilfe der Funktion f, welcher Umsatz durch den Verkauf von Schokolade & Süßwaren und Bananen im Jahr 2020 erzielt wurde. b) Laut einer Studie vom Jahr 2023 kennen 95 % der Österreicherinnen bzw. Österreicher das sogenannte Fairtrade-Siegel. 49 % aller Österreicherinnen bzw. Österreicher, die das FairtradeSiegel kennen, gaben dabei an, regelmäßig Fairtrade-Produkte zu kaufen. Für eine Umfrage werden 150 Österreicherinnen bzw. Österreicher nach dem Zufallsprinzip ausgewählt. 1) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 80 dieser 150 Österreicherinnen bzw. Österreicher das Fairtrade-Siegel kennen und regelmäßig Fairtrade-Produkte kaufen. M2 253 K Technologie Anleitung Technologie- einsatz bei dieser Aufgabe fy8p8z 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 Gesamtumsatz mit Fairtrade-Produkten in Österreich von 2002 bis 2022 (in Mio. Euro) Umsatz in Millionen Euro FA 5.2 WS 1.1 AN 1.1 FA 5.2 Umsatzverteilung nach Produktkategorien 48 % 18 % 14 % 5 % 2 % 4 % VERTEILUNG in Prozent des Gesamtumsatzes (geschätzt) Convenience-Produkte Grundnahrungsmittel Baumwolle Alkoholfreie Getränke Fruchtsäfte Rosen Kaffee & Heißgetränke Schokolade & Süßwaren Bananen 5 % 2 % 2 % WS 1.1 AG 2.1 WS 2.3 Quelle: https://www.fairtrade.at/fileadmin/AT/Jahresrueckblick/2020_Jahresbericht_Zahlen_Web.pdf 96 5 Teil-2-Aufgaben Zu jeder Grundkompetenz gibt es ein stimmiges Angebot an Aufgaben. Neben jeder einzelnen Aufgabe ist ausgewiesen, welche Teilkompetenz besonders zum Zuge kommt – dies sorgt für optimale Transparenz! Zur perfekten Vorbereitung auf die Teil-2-Aufgaben werden in einem eigenen Kapitel Aufgaben angeboten. Anwendungen in vielfältigen Kontexten illustrieren die Breite des Spektrums. Die Aufgaben entsprechen in den Formaten und im Niveau denen der echten Matura! Ó Hier gibt es eine Online-Ergänzung. Der Code führt direkt zu den Inhalten. Zusätzlich befinden sich im Lehrwerk-Online durchgerechnete Lösungen vieler Aufgaben. Alle Teil-2-Aufgaben werden durch eine Technologieanleitung ergänzt. Wir wünschen Ihnen eine gute Vorbereitung auf die Matura in Mathematik – und vor allem: viel Erfolg! Autoren und Verlag Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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