Halboffenes Format Beim halboffenen Aufgabenformat gilt es meist, einen Term aufzustellen bzw. zu ergänzen oder vorgegebene Parameter anzugeben. Beim halboffenen Format ist ein Teil der Lösung oder die Art und Weise, wie die Lösung angeschrieben werden soll, schon vorgegeben. Für das Berechnen einer Zahl und das Aufstellen eines Terms gelten dabei dieselben Hinweise wie bei den offenen Aufgaben. Quadratische Gleichung Gegeben ist die Gleichung a · x2 + 12 · x + c = 0 mit a, c * ℝ und a, c > 0. Aufgabenstellung: Geben Sie eine Bedingung für c an, sodass die Gleichung genau eine reelle Lösung hat. c = Eine quadratische Gleichung besitzt genau eine reelle Lösung, wenn die Diskriminante null ist. Somit muss gelten: b2 – 4 · a · c = 144 – 4 · a · c = 0. Dies ist bereits eine Bedingung dafür, dass die Gleichung nur eine reelle Lösung hat. Die Aufgabenstellung verlangt aber eine explizite Bedingung für den Parameter c. Diese erhält man durch Umformen der Gleichung 144 – 4 · a · c = 0. Es ergibt sich c = 36 _ a . Um das Ergebnis einer Berechnung zu überprüfen, bieten sich verschiedene Verfahren an. –– Eine Abschätzung, ob das Ergebnis größenordnungsmäßig richtig sein kann. –– Eine (näherungsweise) graphische Kontrolle bei Funktionen oder geometrischen Objekten. –– Eine beispielhafte Überprüfung mit Zahlen, wenn das Aufstellen eines Terms gefragt ist. Das Ergebnis der Berechnung mit konkreten Zahlen kann Aufschluss darüber geben, ob der Term richtig sein kann. Sie sollten bei einer solchen Überprüfung allerdings nicht gerade die Zahlen 0, 1 oder 2 wählen, da diese oft dazu führen, dass sich bestimmte Ausdrücke kürzen oder wegfallen. Ein prinzipiell falscher Term kann so in Spezialfällen richtig aussehen. –– Eine Kontrollrechnung, wenn es möglich ist, auf eine andere Art auf das Ergebnis zu kommen oder wenn man aus dem Ergebnis Werte, die in der Angabe vorkommen, berechnen kann. Beispielsweise lassen sich in einem rechtwinkeligen Dreieck Seiten und Winkel auf mehrere Arten bestimmen. Die Winkelsumme muss zum Beispiel immer 180° sein. Bei Funktionen kann man mithilfe des gefundenen Funktionsterms weitere Funktionswerte bestimmen, die man mit einer gegebenen Wertetabelle oder einem Graphen kontrollieren kann. Graph einer Exponentialfunktion Gegeben ist eine Exponentialfunktion f mit f(x) = a · bx mit a, b * R+. In der nebenstehenden Abbildung ist der Graph von f dargestellt. Aufgabenstellung: Geben Sie a und b an. a = b = Durch Ablesen aus dem Graphen erkennt man für die Stelle 0 den Funktionswert 2 und für die Stelle 1 den Funktionswert 2,4. Bei Erhöhung des Arguments um 1 erhöht sich also der Funktionswert auf das 1,2-fache 2 2,4 _ 2 = 1,2 3. Es ist also a = 2 und b = 1,2. Um dieses Ergebnis zu überprüfen, lassen sich nun weitere Funktionswerte mithilfe der Funktionsgleichung f(x) = 2 ·1,2x berechnen und das jeweilige Ergebnis mit dem Graphen vergleichen, z.B. f(2) = 2,88 oder f(2,5) = 3,15. Diese stimmen mit dem Graphen im Rahmen der Ablesemöglichkeiten überein. Tipp: Für das Training des halboffenen Formats eignen sich in diesem Buch die Aufgaben 6, 7, 11, 12, 13, 24, 28, 29, 30, 32, 65, 89, 105, 108, 110, 117, 118, 119, 127, 132, 145, 156, 228 Muster 4 Muster 5 x f(x) 0,5 1 1,5 2 2,5 –0,5 0,8 1,6 2,4 3,2 0 f 7 Strategien beim Lösen von Aufgaben | Halboffenes Format Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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