A B C 2 Mathematik verstehen SALZGER | GERM | RIEDLER | SINGER | ULOVEC QuickMedia App für digitale Zusatzmaterialien
Mathematik verstehen 2, Schülerbuch und E-Book Schulbuchnummer 215952 Mathematik verstehen 2, Schülerbuch mit E-BOOK+ Schulbuchnummer 215954 Mathematik verstehen 2, Schülerbuch E-Book Solo Schulbuchnummer 215955 Mathematik verstehen 2, Schülerbuch E-BOOK+ Solo Schulbuchnummer 215956 Liebe Schülerin, lieber Schüler, du bekommst dieses Schulbuch von der Republik Österreich für deine Ausbildung. Bücher helfen nicht nur beim Lernen, sondern sind auch Freunde fürs Leben. Kopierverbot Wir weisen darauf hin, dass das Kopieren zum Schulgebrauch aus diesem Buch verboten ist – § 42 Abs. 6 Urheberrechtsgesetz: „Die Befugnis zur Vervielfältigung zum eigenen Schulgebrauch gilt nicht für Werke, die ihrer Beschaffenheit und Bezeichnung nach zum Schul- oder Unterrichtsgebrauch bestimmt sind.“ Umschlagfoto: nazar_ab / Getty Images - iStockphoto 1. Auflage (Druck 0001) © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2024 www.oebv.at Alle Rechte vorbehalten. Jede Art der Vervielfältigung, auch auszugsweise, gesetzlich verboten. Redaktion: Dipl.-Ing. Dr. techn. Frederic Brünner, Wien Herstellung: Ing. Bianca Mannsberger, Wien Umschlaggestaltung: Jens-Peter Becker, normaldesign GbR, Schwäbisch Gmünd Layout: Jens-Peter Becker, normaldesign GbR, Schwäbisch Gmünd Illustrationen: Mag. Adam Silye, Wien Technische Zeichnungen: Ing. Mag. Dr. Herbert Löffler, Wien; Da-TeX Gerd Blumenstein, Leipzig Karten: Freytag-Berndt u. Artaria KG, Wien Satz: Da-TeX Gerd Blumenstein, Leipzig Druck: Ferdinand Berger & Söhne Ges.m.b.H., Horn ISBN 978-3-209-11900-1 (Mathematik verstehen SB 2 und E-Book) ISBN 978-3-209-11912-4 (Mathematik verstehen SB 2 mit E-BOOK+) ISBN 978-3-209-13094-5 (Mathematik verstehen SB 2 E-Book Solo) ISBN 978-3-209-13098-3 (Mathematik verstehen SB 2 E-BOOK+ Solo) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
www.oebv.at 2 Mathematik verstehen Prof. Mag. Dr. Bernhard Salzger Prof.in Mag.a Andrea Germ Prof.in Mag.a Barbara Riedler HS-Prof.in Mag.a Dr.in Klaudia Singer MMag. Dr. Andreas Ulovec Unter Mitarbeit von: Prof.in Mag.a Judith Bachmann, MPOS Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Erklärungen zum Buch Wichtige Inhalte sind durch einen orangefarbenen Hintergrund hervorgehoben. Wichtige Begriffe sind zusätzlich fett geschrieben. 1.01 Musteraufgaben sind durch eine grüne Hinterlegung hervorgehoben. Lösung: Hier ist die gesamte Bearbeitung der Aufgabe ersichtlich. Aufgaben Die Farbe neben der Aufgabennummer gibt die Art der Aufgabe an. 1.02 … grundlegende Aufgaben 1.03 … weiterführende Aufgaben 1.04 … anspruchsvolle Aufgaben Die Kompetenzbereiche sind im Farbbalken ersichtlich. 1.05 … Modellieren und Problemlösen 1.06 … Rechnen und Konstruieren 1.07 … Darstellen und Interpretieren 1.08 … Vermuten und Begründen 1.09 Schraffierte Aufgabenbalken kennzeichnen jene Aufgaben, die laut Lehrplan nicht verbindlich sind, sondern geeignete Möglichkeiten zur Schwerpunktsetzung im Unterricht bieten. Diese Aufgaben können in Gruppenarbeit gelöst werden. Diese Aufgaben können in Partnerarbeit gelöst werden. Dieses Symbol bedeutet, dass hier die Verwendung des Computers empfohlen wird. Wenn zusätzlich ein Online-Code angeführt sind, gibt es dazu eine entsprechende OnlineErgänzung. Der Online-Code ist im Suchfeld auf www.oebv.at einzugeben. Ein QR-Code am Kapitelanfang führt ebenso zu den Zusatzmaterialien. Für diese Aufgaben ist der Einsatz von Technologie sinnvoll. Aufgaben zu fächerübergreifenden Themen werden mit einem Stern neben der Aufgabennummer ausgezeichnet. In der Fußzeile kann das Thema abgelesen werden. Über die Herkunft vieler mathematischer Begriffe informiert das Glossar auf Seite 284. MP RK DI VB C B Ó Hier siehst du, in welchem zentral fachlichen Konzept du dich gerade befindest. 1. Scanne den QR-Code (unten) und lade die App auf dein Smartphone oder dein Tablet. 2. Scanne deinen Buchumschlag oder wähle dein Schulbuch in der App-Medienliste aus. 3. Scanne eine mit gekennzeichnete Buchseite oder wähle ein digitales Zusatzmaterial aus der App-Medienliste aus. 4. Öffne das digitale Zusatzmaterial. öbv QuickMedia Android iOS 2 K1 Zentral fachliches Konzept Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Inhaltsverzeichnis Wiederholen und Festigen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 K1: Zahlen und Maẞe 1 Teiler und Teilbarkeit 14 1.1 Teiler und Vielfache . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2 Teilbarkeit natürlicher Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3 Gemeinsame Teiler und Vielfache . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.4 Primzahlen ........................................................................... 29 1.5 EXTRABLATT Die Welt der Primzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.6 Kompetenzcheck 34 2 Zahlen in Bruch- und Dezimaldarstellung 36 2.1 Teile des Ganzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.2 Erweitern und kürzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.3 Bruch- und Dezimaldarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.4 Zahlen vergleichen und ordnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.5 Zahlen in Bruchdarstellung addieren und subtrahieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.6 Zahlen in Bruchdarstellung multiplizieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.7 Zahlen in Bruchdarstellung dividieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.8 Alle vier Grundrechenarten verbinden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.9 EXTRABLATT Aufteilen – damals und heute . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 2.10 Kompetenzcheck 72 3 Ganze Zahlen 74 3.1 Zahlen gegensätzlich deuten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.2 Die Zahlengerade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3.3 Ganze Zahlen ordnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 3.4 Änderungen darstellen und beschreiben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.5 EXTRABLATT Weniger als null? Ganz normal! .................................... 85 3.6 Kompetenzcheck 85 4 Relative Anteile 88 4.1 Absolute und relative Anteile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 4.2 Zahlen in Prozentdarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 4.3 Mit relativen Anteilen rechnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 4.4 Veranschaulichungen relativer Anteile ............................................. 98 4.5 Vermehrung und Verminderung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 4.6 Zahlen in Promilledarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 4.7 EXTRABLATT Hundertprozentig! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 4.8 Kompetenzcheck 112 3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
K2: Variablen und Funktionen 5 Gleichungen 114 5.1 Mit Variablen Sachverhalte beschreiben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 5.2 Gleichungen aufstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 5.3 Gleichungen lösen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 5.4 Terme und Formeln interpretieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 5.5 Textaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 5.6 EXTRABLATT Achtung, Formeln! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 5.7 Kompetenzcheck 130 6 Proportionalitäten 132 6.1 Direkte Proportionalität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 6.2 Indirekte Proportionalität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 6.3 Textaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 6.4 EXTRABLATT Einfache Verhältnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 6.5 Kompetenzcheck 152 K3: Figuren und Körper 7 Weitere Einblicke in die Geometrie 154 7.1 Das kartesische Koordinatensystem ............................................... 154 7.2 Symmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 7.3 Kongruente Figuren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 7.4 Besondere Winkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 7.5 Streckensymmetrale und Winkelsymmetrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 7.6 EXTRABLATT Der Jakobsstab und die Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 7.7 Kompetenzcheck 178 8 Dreiecke 180 8.1 Grundlegende Begriffe und Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 8.2 Arten von Dreiecken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 8.3 Dreiecke konstruieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 8.4 Besondere Punkte bei Dreiecken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 8.5 Der Umfang eines Dreiecks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 8.6 Der Flächeninhalt eines Dreiecks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 8.7 Sätze über Dreiecke ................................................................. 215 8.8 EXTRABLATT Die Euler‘sche Gerade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 8.9 Kompetenzcheck 218 4 Inhaltsverzeichnis Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
9 Vierecke 220 9.1 Grundlegende Begriffe und Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 9.2 Rechteck und Quadrat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 9.3 Parallelogramm und Rhombus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 9.4 Das Trapez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 9.5 Das Deltoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 9.6 Konvexe und nicht konvexe Vierecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 9.7 EXTRABLATT Das Haus der Vierecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 9.8 Kompetenzcheck 252 K4: Daten und Zufall 10 Häufigkeiten 254 10.1 Daten grafisch darstellen und interpretieren ..................................... 254 10.2 Arithmetisches Mittel und Median von Daten .................................... 257 10.3 Absolute und relative Häufigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 10.4 Mehrstufige Situationen ............................................................ 264 10.5 eXTRABLATT Vorhersagen 267 10.6 Kompetenzcheck 268 Kompetenzen anwenden ................................................................ 270 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 Mathematische Zeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 Glossar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 Stichwortregister .................................................................... 285 5 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Zahlen und Maẞe 01 Welche Bruchteile des Ziffernblattes umschließen Sekundenzeiger und Minutenzeiger in der nebenstehenden Abbildung? 02 Familie Klug möchte online Theaterkarten kaufen. Die Abbildung zeigt die ersten drei Reihen des Theaters. 1) Gib die abgebildeten Anteile in Bruchdarstellung an! In der 1. Reihe sind der Plätze besetzt, in der 2. Reihe sind der Plätze frei. 2) Kennzeichne in der 3. Reihe 3 _ 4 der Plätze als besetzt! 03 Ist die Aussage 3 _ 5 > 2 _ 3 wahr oder falsch? Begründe die Entscheidung! 04 In einem Artikel über die Bestenliste österreichischer Triathleten auf der Ironman-Distanz steht, dass seit Oktober 1982 dort Zeiten unter 8.35 Stunden berücksichtigt werden. Claus behauptet, dass 8.35 Stunden 8,35 Stunden sind. Warum ist die Behauptung von Claus falsch? Begründe! 05 Kreuze alle richtigen Umformungen an! a) 2,04 t 204 kg 2 040 kg 2 t 40 kg b) 5,3 cm3 5 300 mm3 0,053 ø 53 mm3 c) 8 cm2 80 mm2 0,08 m2 0,08 dm2 d) 3 dag 5 g 0,35 kg 0,035 kg 3,5 dag 06 Ergänze die fehlende Zahl! a) 5,5 + = 8,44 b) 20,6 – = 0,02 c) 350,3 = 0,03503 07 Welche der folgenden Begründungen sind richtig? Kreuze an! Die Zahl 7,5 ist größer als 3,4, da 5 Zehntel größer als 4 Zehntel sind. Ein Flächeninhalt von 12,4 ha entspricht einem Flächeninhalt von 1 240 m2, da 1 ha gleich groß wie 100 m2 ist. 5 _ 4 = 54, da man den Bruchstrich als Divisionszeichen deuten kann. 08 Schreibe die Zahl in zwei verschiedenen Bruchdarstellungen an! a) 1,5 = = b) 0,4 = = 09 Setze das Komma im Ergebnis an die richtige Stelle! Streiche überflüssige Nuller durch! a) 0,05 ·1000 = 005000 b) 581,3100 = 058130 c) 300,410 = 30040 DI DI 1. Reihe 2. Reihe ... Sitzplatz besetzt ... Sitzplatz frei 3. Reihe BÜHNE VB VB DI RK VB DI DI Wiederholen und Festigen 6 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
10 Aufgrund der gestiegenen Gaspreise will Familie Wagner ihren Kamin im Wohnzimmer stärker nutzen. Annika, Alex und ihre Eltern überlegen gemeinsam, wie sie das Kaminholz unterbringen können. Es wird beschlossen, einen Metallschrank für den Garten zu kaufen, in den die Holzscheite geschichtet werden sollen. Der Innenraum des Schrankes ist 2 Meter hoch, 150 cm breit und 70 cm tief. Die Eltern wollen das gekaufte Holz in den Schrank einschichten und sind ratlos, ob sich das ausgeht. Annika und Alex wollen ihren Eltern helfen. 1) Alex berechnet zuerst das Volumen des Schrankes und erhält als Ergebnis 2,1 m3. Welche Formel hat er verwendet? Rechne nach! 2) Annika findet über eine Suche im Internet heraus, dass die Holzmenge, die sie haben, schön geschichtet einen Raum von 2,5 · 0,7m3 einnimmt. Wie viele m3 sind das? 3) Die beiden Kinder vergleichen ihre beiden Ergebnisse. Hat das Holz im Schrank Platz? Begründe die Antwort! 11 Pia und Claus scannen ihren Einkauf an einer Selbstbedienungskassa. In ihrem Einkaufskorb liegen Waren im Wert von 2,98 €, 4,20 €, 1,15 € und 0,45 €. 1) Wie können Pia und Claus möglichst schnell abschätzen wie viel sie bezahlen müssen? 2) Die Kassa verlangt 5,80 €. Kann der Betrag stimmen? Begründe! 12 Die Tabelle zeigt, wie viele Passagierflugzeuge und Fluggäste die österreichischen Flughäfen von 2018 bis 2022 jährlich genutzt haben. 1) Runde die Fluggastzahlen auf Hunderttausender und berechne damit die Unterschiede aufeinanderfolgender Jahre! 2) Berechne die durchschnittlichen Passagierzahlen eines Fluges! Verwende dabei einen Taschenrechner oder Computerprogramm! 3) Übertrage die Tabelle in ein Tabellenkalkulationsprogramm (zB Excel, Calc), stelle die Anzahl a) der Flüge, b) der Fluggäste in einem Balkendiagramm dar und interpretiere die Flug- und Fluggastzahlen mithilfe der Tabelle bzw. des Diagramms! 4) Kreuze die richtigen Aussagen an! 2020 gab es weniger als halb so viele Flüge wie 2018. 2021 lag die Fluggastzahl über einem Drittel von 2019. 2019 zählte man hundertmal mehr Fluggäste als Flüge. 2022 gab es mehr als doppelt so viele Fluggäste wie 2021. 13 Auf einer Seite des Bundesministeriums findet man Informationen zum durchschnittlichen Pro- Kopf-Wasserverbrauch in österreichischen Haushalten (siehe Tabelle): Wie viel Liter Wasser im Jahr (365 Tage) verbraucht demnach durchschnittlich eine Person? Wie viel m3 sind das? In Österreich lebten am 1. Jänner 2022 8 979 894 Personen. Ungefähr wie viel m3 Wasser wurden an diesem Tag in Haushalten verbraucht? MP RK PM VB RK DI VB Jahr Flüge Fluggäste 2022 221 708 26 484 941 2021 124 691 11 155 802 2020 114 428 9 271 181 2019 319 945 36 206 642 2018 296 852 31 725 019 https://www.statistik.at/statistiken/tourismus-und-verkehr/ personenverkehr/personenverkehr-luftfahrt DI RK Wasserverbrauch in Haushalten Liter / EinwohnerIn / Tag Wasserhahn in Bad, WC, Küche, etc. 35 WC 33 Dusche 25 Waschmaschine 13 Außenbereich Pflanzen, etc. 12 Außenbereich Pool 7 Badewanne 4 Geschirrspüler 3 Gesamt 130 Werte gerundet Online verfügbar unter https://info.bml.gv.at/service/zahlen-fakten/ Wasser/Wasserverbrauch.html Wirtschafts-, Finanz- und Verbraucher/innenbildung Sprachliche Bildung und Lesen Informatische Bildung, Verkehrs- und Mobilitätsbildung Umweltbildung 7 Wiederholen und Festigen: Zahlen und Maẞe Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Variablen und Funktionen 14 Ordne den Termen für b = 3 die jeweils entsprechenden Werte zu! b + b – b – b 2 · b · b (b + 2)·(11 – b) b : b 8+2·b+10 18 0 24 1 40 15 Anastasia behauptet, dass es keine Zahl x gebe, für welche die Terme 100 · x und 250 · x denselben Wert haben. Daria meint, dass das nicht stimme. Wer hat Recht? Begründe die Entscheidung! 16 Sven kauft sich täglich eine Jause. Am Montag gibt er a Euro aus. Schreibe den folgenden Geldbetrag als Term an! 1) Am Dienstag gibt er um 3€ weniger aus als am Montag. 2) Am Mittwoch gibt er das Doppelte von dem aus, was er am Dienstag ausgegeben hat. 17 In welche der folgenden Terme darf man für z nicht 3,5 einsetzen? Kreuze an und begründe die Entscheidung! 2z – 3,5 3,5(z – 3,5) 5(3,5 – z) 18 Frau Burger ging in den letzten sechs Tagen täglich spazieren. In den ersten fünf Tagen legte sie täglich dieselbe Strecke x zurück. Am sechsten Tag hatte ihr Spazierweg eine Länge von 1,8 km. Insgesamt legte Frau Burger an den sechs Tagen eine Strecke von 14,3 km zurück. Wie lang war ihr täglicher Weg in den ersten fünf Tagen? Schreibe diesen Text als Gleichung an und löse diese! 19 Löse die Gleichung und mache die Probe! 183 –7·v = 36 20 Monika will im nächsten Monat einen Geldbetrag u sparen. Schreibe unter Verwendung passender Zeichen (<, ª, > oder º) in der Sprache der Mathematik an: Monika will mindestens 45 € sparen und kann höchstens 130 € sparen. 21 Klara, Anneliese und Friedrich erledigen ihre Mathematik-Hausübung. Sie sollen eine Formel für das Volumen des abgebildeten Würfels angeben. Klaras Bruder David überprüft die Lösungen und sagt, dass zwei Lösungen richtig seien. Stimmt das? Begründe die Entscheidung! Klaras Lösung: V = 3 · a Annelieses Lösung: V = a · a · a Friedrichs Lösung: V = a + a + a + a 22 1) Welche Zahlen sind durch Markierungen und Variablen auf dem Zahlenstrahl dargestellt? 2) Gib drei Zahlen an, die aufgerundet die Zahl e ergeben! , , 3) Gib drei Zahlen an, die abgerundet die Zahl c ergeben! , , 23 Auf dem Handy von Lukas sind s Nachrichten seines Vaters und t Nachrichten seiner Mutter. Sein Vater hat ihm um fünf Nachrichten weniger geschrieben als seine Mutter. Stelle dies durch eine Gleichung dar! DI VB DI VB DI RK RK DI VB a DI 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 a b c d e f g h DI 8 Wiederholen und Festigen: Variablen und Funktionen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
24 Athina steht mit ihrem Auto im Stau. Sie sieht vor und hinter sich Autos, Wohnwägen und LKWs. Es sei a Meter die Länge, die ein durchschnittliches Auto hat. Die Länge eines Wohnwagens b ist ca. 1,5-mal die eines Autos und die durchschnittliche LKW-Länge c ist ungefähr die doppelte Wohnwagenlänge. Welche der folgenden Gleichungen passen zum Sachverhalt? Kreuze an! b = 1,5 · a c = 2·a a = b2 c = 6 · a 25 Tatjana und Sven fahren mit ihrer Familie auf Urlaub und stehen mit dem Auto im Stau. Über den Verkehrsfunk erfahren sie, dass der Stau 12 km lang sei. Plötzlich fragt Sven: „Wie viele Fahrzeuge sind eigentlich in diesem Stau?“ Tatjana meint, dass bei der Beantwortung dieser Frage die Mathematik helfen könnte. Dabei sei a Meter die Länge, die ein durchschnittliches Auto hat, die durchschnittliche Länge eines Wohnwagens sei b Meter und die eines LKWs c Meter. Die Anzahl der Autos im Stau sei x, die der Wohnwägen y und die der Lastautos z. Welche der folgenden Gleichungen passt zum Sachverhalt? Kreuze an! 12 = x + y + z 12 000 = x · a + y · b + z · c 12000=a+b+c 12 = a·x + b·y + c·z 26 Der Anfangsbestand A einer Ware im Lager einer Firma für Elektronik hat den Wert 100 000 €. Im Lauf eines Jahres kommt Ware im Wert von 250000€ dazu. Eine Bestandsaufnahme am Ende des Jahres ermittelt einen Schlussbestand S der Ware von 200 000 €. 1) Berechne den Wert der Ware, die dem Lager entnommen worden ist! 2) Gib eine Formel für den Wert der entnommenen Ware E an, wenn A der Anfangsbestand, Z die Zugänge und S der Schlussbestand sind! 27 In einer österreichischen Tageszeitung findet man im Herbst 2022 in einem Bericht „Brot in Zahlen“ folgenden Textabschnitt: „210 000 Tonnen Brot landen in Österreich jedes Jahr im Müll. Damit ist Brot das Lebensmittel, das am häufigsten weggeworfen wird: Es macht rund ein Fünftel des gesamten Lebensmittelmülls aus. Der größte Teil kommt übrigens von den Privathaushalten: Rund 146 000 Tonnen Brot werfen die Konsumenten jedes Jahr weg.“ 1) In einem beliebigen Land sei A die Menge Brot, die in den Privathaushalten weggeworfen wird, und B die Gesamtmenge an Brot, die weggeworfen wird (alle Angaben in Tonnen). Welche Bedeutung hat die Variable C in der Formel A = B – C? 2) Berechne C aufgrund der Angaben im Zeitungsbericht! 3) Die folgende Kreisfläche soll den gesamten Lebensmittelmüll LM in Tonnen in Österreich darstellen. Zeichne jenen Anteil ein, der laut Zeitungsbericht davon 2022 auf Brot entfällt und benenne diesen Anteil in der Grafik mit B! 4) Gib drei Ratschläge, wie man nicht mehr frisches Brot sinnvoll verwerten kann! MP MP RK DI DI MP LM Verkehrs- und Mobilitätsbildung Wirtschafts-, Finanz und Verbraucher/innenbildung Entrepreneurship Education Medien- bildung Umwelt- bildung 9 Wiederholen und Festigen: Variablen und Funktionen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Figuren und Körper 28 Gegeben sind drei Punkte A, B und C. Verbinde die Punkte A und B durch eine Strecke a. Zeichne einen Strahl s, der im Punkt A seinen Anfangspunkt hat und durch den Punkt C geht. Lege durch die Punkte B und C eine Gerade g! Kreuze die zutreffenden Aussagen an! A * g g ° s = {C} ¼BCA = 90° _ AB > _ BC > _ AC a © g 29 Gegeben sind die Geraden g und h sowie die Punkte P und Q. a) Zeichne eine Parallele zur Geraden g durch den Punkt P und eine Normale zur Geraden h durch den Punkt Q! b) Ermittle die Normalabstände der Punkte von den Geraden! 30 Ermittle das Maß des abgebildeten Winkels α, konstruiere einen Winkel β für den gilt: β = α2 und gib die Art der Winkel α und β an! 31 Konstruiere eine Kreislinie k mit dem Durchmesser d = 5,2 cm und zeichne eine Kreissekante, eine Kreistangente sowie eine Kreispassante! 32 Konstruiere in einem Kreis mit r = 35 mm einen Kreissektor, der einen Zentriwinkel mit dem Maß α = 105° hat, und gib die Länge der zugehörigen Kreissehne an! 33 Zeichne ein Quadrat ABCD, dessen Seite AD parallel zur Gerade g ist und dessen Eckpunkt A auf der Geraden h liegt! 34 Berechne den Umfang u und den Flächeninhalt A eines Quadrats mit einer Seitenlänge von 8,3 m! 35 Ein Rechteck mit der Länge a = 54 mm hat den Flächeninhalt A = 20,52cm2. Berechne die Breite des Rechtecks! 36 Das abgebildete Rechteck hat den gleichen Umfang wie ein Quadrat. Miss die Länge und Breite des Rechtecks und berechne die Seitenlänge des Quadrats! 37 Wie lang ist die in der Abbildung im Maßstab 1500 dargestellte Strecke AB in Wirklichkeit? Gib die wirkliche Länge in Meter an! RK DI B A C RK DI P Q g h RK α DI RK RK DI DI D g h DI DI RK DI DI B A RK 10 Wiederholen und Festigen: Figuren und Körper Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
38 Die kürzeste Entfernung (Luftlinie) zwischen der westlichsten Landeshauptstadt Österreichs (Bregenz) und der östlichsten Landeshauptstadt (Eisenstadt) beträgt rund 508 km. Berechne die Länge dieser Strecke (in Millimeter) auf einer Landkarte im Maßstab 1800 000! 39 Wie lang ist die Flächendiagonale eines rechteckigen Fußballfeldes mit einer Länge von 106m und eine Breite von 68m? 40 Mit welchem Maßstab müsste der abgebildete Lastwagen verkleinert werden, damit er als Modellauto auf einem A4-Blatt Platz hat? Kreuze an! 51 15 1001 1100 41 Jährlich werden tausende Tonnen Stahl durch die Verwendung von Einmal-Schiffscontainern verschwendet. Stellt man daraus „Tiny-Houses“ her, schenkt man ihnen ein zweites Leben. Aus einem Container mit einer Länge von 6 m, einer Breite von 2,5 m und einer Höhe von 2,6 m wird ein Tiny-House hergestellt. Berechne den Grundflächeninhalt und den Rauminhalt des Hauses und vergleiche diese Werte mit eurem Klassenraum bzw. deinem Zimmer! 42 Verpackungsmüll soll möglichst platzsparend entsorgt werden. An wie vielen Kanten muss eine quaderförmige Schachtel aufgeschnitten werden, damit man sie als Netz in der Ebene und somit in der Mülltonne ausbreiten kann? 43 Hat ein Quader mit einer Länge von 3 cm, einer Breite von 4 cm und einer Höhe von 6 cm dasselbe Volumen wie ein gleich langer, halb so breiter und doppelt so hoher Quader? Begründe! 44 Wie viel Quadratmeter Karton benötigt man mindestens, um die dargestellte Umzugskiste mit einem Fassungsvermögen von 75 Litern herzustellen? Berechne zunächst die Höhe h! 45 Die Kantenlängen eines Würfelzuckers sind 1,8 cm, 1,6 cm und 1,2 cm. Seine Masse beträgt 3,88 g. 1) Begründe, dass der Begriff Würfel hier mathematisch falsch ist! 2) Die Weltgesundheitsorganisation (WHO) empfiehlt 10-jährigen Kindern, pro Tag eine Menge von 42 g zugesetztem Zucker nicht zu überschreiten. Berechne, wie viele Zuckerwürfel das sind! 46 Beschreibe die gegenseitige Lage der im Bild dargestellten 1) Stromleitungen, 2) Kondensstreifen, 3) Stromleitungen und Kondensstreifen zueinander! RK MP RK MP DI RK DI DI RK VB DI 50 cm 50 cm h RK RK VB DI Umweltbildung Gesundheitsförderung 11 Wiederholen und Festigen: Figuren und Körper Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Daten und Zufall 47 Eine Schule führt eine Befragung zum Thema Ernährung durch. Das Säulendiagramm zeigt die Angaben von 24 Schülerinnen und Schülern einer zweiten Klasse zu ihrer Schuljause. 1) Kreuze die zutreffenden Aussagen an! Alle Kinder haben ein Getränk. Brot/Gebäck wird genauso oft gegessen wie Obst und Gemüse zusammen. Es essen weniger Kinder Obst als Gemüse. Mehr als ein Drittel der Kinder konsumieren Süßigkeiten. Vier Kinder essen keine Jause. 2) Überlege, woraus eine gesunde Schuljause bestehen soll! Wie sieht deine heutige Jause aus? 48 Wie lang können 11-jährige Kinder auf einem Bein stehen? Die Urliste zeigt die bei einem Experiment gemessenen Daten: 1 min; 10 s; 45 s; 73 s; 1 1 _ 2 min; 59 s; 1 min 10 s; 25 s; 1,1 min; 1 _ 4 min. Stelle die Daten als geordnete Liste dar! 49 Valerie und Sophie nehmen an einem Wettkampf im Schlagballwurf teil. Dabei gelten folgende Regeln: Jede Teilnehmerin hat fünf Versuche. Der kürzeste und der weiteste Wurf werden gestrichen. Das arithmetische Mittel der verbleibenden drei Würfe zählt als Ergebnis des Wettkampfes. Berechne nach diesen Regeln das Wettkampfergebnis beider Mädchen und gib an, wer mit wie viel Vorsprung gewonnen hat! Valerie: 46,5 m; 24,8 m; 19,0 m; 39,7m; 34,2 m, Sophie: 37,0 m; 32,7m; 35,3 m; 30,4 m; 38,5 m. 50 Ermittle zur Urliste 13; 4; 2; 8; 12; 17; 22; 7; 5 das arithmetische Mittel, den Median, das Minimum, das Maximum und die Spannweite! Ordne Wert und Erklärung passend zu! Arithm. Mittel 22 Differenz zwischen Maximum und Minimum Median 20 kleinster Wert einer Datenliste Minimum 10 Wert in der Mitte einer aufsteigend geordneten Datenliste Maximum 8 Summe aller Daten geteilt durch die Anzahl der Daten einer Liste Spannweite 3 größter Wert einer Datenliste 51 Das Frühstücksbuffet eines Hotels bietet verschiedene Zutaten für einen Frühstücksbrei an. Cerealien: Haferflocken, Cornflakes, Müsli; Milchprodukte: Joghurt, Milch; Extras: Nüsse, Rosinen, Obst. Viktor wählt aus der Gruppe der Cerealien, der Milchprodukte und der Extras jeweils ein Produkt aus. 1) Erstelle dazu ein Kombinationsdiagramm! 2) Berechne, auf wie viele Arten Viktor damit seinen Frühstücksbrei zubereiten kann! DI 0 Obst Gemüse Brot/Gebäck Süßigkeit 2 4 6 8 10 12 Anzahl der Nennungen Nennungen Getränk keine Jause DI RK DI RK DI RK DI Gesundheitsförderung 12 Wiederholen und Festigen: Daten und Zufall Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
52 Noe befragt seine Mitschülerinnen und Mitschüler, in welcher Jahreszeit sie geboren wurden, und sammelt die Ergebnisse in einer Liste: Frühling, Frühling, Winter, Sommer, Sommer, Frühling, Herbst, Herbst, Frühling, Sommer, Sommer, Sommer, Herbst, Frühling, Winter, Winter, Herbst, Sommer, Frühling, Sommer, Frühling, Sommer, Sommer, Herbst. 1) Lege eine Strichliste an und trage die Häufigkeiten in die Tabelle ein! Jahreszeit Frühling Sommer Herbst Winter Häufigkeit 2) Ergänze im Diagramm die Höhen der Säulen! 3) Erstelle mittels Tabellenkalkulation ein Säulendiagramm! 4) Bei der Datenerhebung waren zwei Kinder abwesend. Noe meint, dass in einem mittels Tabellenkalkulation erstellten Diagramm fehlende Daten sehr einfach ergänzt werden können. Hat Noe Recht? Begründe! 53 Eine Bürgerinitiative möchte für einen stark befahrenen Straßenabschnitt eine Verkehrsberuhigung erwirken. Das Balkendiagramm zeigt die bei einer Verkehrszählung in 15 Minuten erhoben Daten. Fünf Baufahrzeuge wurden versehentlich im Diagramm nicht dargestellt. 1) Ergänze den fehlenden Balken! 2) Wie viele motorisierte Verkehrsteilnehmer wurden gezählt? 3) Hältst du diese Bürgerinitiative für gerechtfertigt? Liegen genügend Informationen vor? Wie kann eine Verkehrsberuhigung aussehen? Begründe deine Überlegungen! 54 Das Säulendiagramm stellt die Anzahl der in den Sommerferien von Schülerinnen und Schülern gelesenen Bücher dar. Die waagrechte rote Linie zeigt das arithmetische Mittel. 1) Gib das Minimum, das Maximum, die Spannweite sowie den Median an und interpretiere diese Ergebnisse! 2) Überprüfe die Richtigkeit des arithmetischen Mittels und gib auch dafür eine zur Aufgabe passende Interpretation! 3) Wie viele Bücher hast du in den Sommerferien gelesen? Passt du mit deinem Wert in diese Statistik? Begründe! DI VB 0 Frühling Sommer Herbst Winter 5 Anzahl der Kinder Jahreszeit DI VB 0 PKW LKW Fahrrad Motorrad Baufahrzeug 2 4 6 8 1012141618202224262830323436384042 RK DI VB 0 1 1 2 3 4 5 6 7 Häufigkeit 2 3 4 5 6 7 Anzahl der gelesenen Bücher Informatische Bildung Politische Bildung Verkehrsbildung Sprachliche Bildung und Lesen, Medienbildung 13 Wiederholen und Festigen: Daten und Zufall Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
k1 zAhlEn unD MAẞE 1.1 Teiler und Vielfache Echte und unechte Teiler 1.01 Konrad möchte 20 Erdnüsse so in Papiersackerl einpacken, dass in jedem Sackerl gleich viele Erdnüsse sind. Welche Möglichkeiten hat er dafür? Lösung: Da 20 = 20·1, kann er 20 Erdnüsse in ein Sackerl geben. Da 20 = 10·2, kann er je zehn Erdnüsse in zwei Sackerl geben. Da 20 = 5·4, kann er je fünf Erdnüsse in vier Sackerl geben. Da 20 = 4·5, kann er je vier Erdnüsse in fünf Sackerl geben. Da 20 = 2·10, kann er je zwei Erdnüsse in zehn Sackerl geben. Da 20 = 1·20, kann er je eine Erdnuss in 20 Sackerl geben. In Aufgabe 1.01 kann man erkennen, dass die Zahl 20 durch 20, 10, 5, 4, 2 und 1 teilbar ist. Diese Zahlen sind Teiler der Zahl 20. 4 ist ein Teiler von 20 bzw. 4 teilt 20, da bei der Division 204 kein Rest bleibt. Dies schreibt man so an: 4 ! 20 Es gilt ebenso: 1 ! 20, 2 ! 20, 5 ! 20, 10 ! 20 und 20 ! 20 Die Menge aller Teiler der Zahl 20 nennt man die Teilermenge von 20: T20 = {1, 2, 4, 5, 10, 20} O Arbeitsheft s . 3 MP Deine ziele in diesem kapitel • Mit Vielfachen und Teilern natürlicher Zahlen arbeiten können. • Mit Aussagen über Teilbarkeit arbeiten können. • Primzahlen kennen und anwenden können. 1 TeiLer und TeiLBArkeit 14 Wie teilt man etwas ohne Rest auf? Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
1.02 In einer Sportgruppe befinden sich 17 Mädchen. Ist es möglich, dass sich diese Kinder in einer 1) Zweierreihe, 2) Dreierreihe, 3) Fünferreihe aufstellen, ohne dass jemand übrig bleibt? Begründe die Antworten! Lösung: 1) Nein, da 17 nicht durch 2 teilbar ist. 2) Nein, da 17 nicht durch 3 teilbar ist. 3) Nein, da 17 nicht durch 5 teilbar ist. In Aufgabe 1.02 kann man erkennen, dass die Zahl 17 nicht durch 2, 3 und 5 teilbar ist. Diese Zahlen sind keine Teiler der Zahl 17. 2 ist kein Teiler von 17 bzw. 2 teilt 17 nicht, da bei der Division 172 ein Rest bleibt. Dies schreibt man so an: 2 ~ 1 7 Es gilt ebenso: 3 ~ 17 und 5 ~ 17 Die einzigen beiden Teiler von 17 sind die Zahlen 1 und 17. Die Teilermenge von 17 sieht daher so aus: T17 = {1, 17} Sind t und z natürliche Zahlen mit t ≠ 0 und z ≠ 0, dann gilt: Die Zahl t ist ein Teiler der Zahl z, wenn bei der Division zt kein Rest bleibt; daher t ! z. Die Zahl 1 teilt jede natürliche Zahl z. Es gilt: 1 ! z. Jede natürliche Zahl z (außer 0) hat sich selbst als Teiler. Es gilt: z ! z. Die Zahlen 1 und z sind unechte Teiler der Zahl z. Alle weiteren Teiler sind echte Teiler der Zahl z. Bemerkungen: Jede natürliche Zahl z > 1 hat mindestens zwei (unechte) Teiler. – Ist die Zahl z = 1, gilt nur 1 ! 1. Die Teilermenge der Zahl 1 ist daher T1 = {1}. – Die natürliche Zahl 0 ist durch jede andere Zahl (außer 0) teilbar. Daher kann die Teilermenge der Zahl 0 mit T0 = N* angegeben werden. 1.03 Legt 24 Cent-Münzen vor euch auf den Tisch! In der Abbildung seht ihr diese in drei Zeilen und acht Spalten angeordnet. Welche weiteren Möglichkeiten habt ihr, die 24 Münzen in Form eines Rechtecks aufzulegen? Lasst dabei auch die einfachsten Varianten nicht aus! 1.04 Wählt acht Schülerinnen und Schüler eurer Klasse aus, die sich geordnet (zB in einer Zweier- oder Dreierreihe) aufstellen sollen! Welche Möglichkeiten ergeben sich? Probiert dies auch mit neun, zehn, elf und zwölf Schülerinnen und Schülern! MP C MP C MP 15 teIler Und teIlBarKeIt 1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
AufgAbEn 1.05 Es sollen 15 Spielkarten in gleich langen Reihen aufgelegt werden. Wie viele Möglichkeiten gibt es? Zeichne diese auf! 1.06 Es sollen 34 Blumen in einem Beet in gleich langen Reihen so eingepflanzt werden, dass sich jeweils vier Blumen in einer Reihe befinden. Ist das möglich? Begründe die Antwort! 1.07 Kann sich eine Gruppe von 84 Personen in einem Kinosaal so hinsetzen, dass in jeder der zwölf Sitzreihen gleich viele Personen sitzen? Begründe die Antwort! 1.08 Schreibe die Teilermenge der Zahl a) 5, b) 14, c) 18, d) 29, e) 36 an! 1.09 Schreibe fünf Zahlen an, die keine Teiler von a) 18, b) 26, c) 37, d) 40, e) 52 sind! 1.10 Schreibe fünf Zahlen an, die durch a) 3, b) 5, c) 8, d) 12, e) 100 teilbar sind! 1.11 Schreibe fünf Zahlen an, die nicht durch a) 2, b) 5, c) 10, d) 15, e) 50 teilbar sind! 1.12 Setze das Zeichen „ ! “ oder „ ~ “ richtig ein! a) 8 24 d) 6 26 g) 5 50 j) 4 52 m) 15 150 b) 9 19 e) 7 42 h) 11 111 k) 12 60 n) 20 220 c) 3 27 f) 2 42 i) 19 38 l) 16 116 o) 75 175 1.13 Sind die Aussagen richtig oder falsch? Kreuze an! richtig falsch richtig falsch 7 ! 47 23 ! 92 30 ! 130 51 ~ 251 41 ~ 123 101 ~ 707 1 ! 19 4 ! 34 8 ~ 58 79 ! 79 1.14 Es sind x und y natürliche Zahlen mit x ≠ 0 und y ≠ 0. Gib an, ob y ein Teiler von x ist, wenn bei der Division x : y 1) Rest bleibt, 2) kein Rest bleibt. 1.15 Zeige anhand von fünf natürlichen Zahlen z > 1, dass jede dieser Zahlen die unechten Teiler 1 und z besitzt! Hinweis: Dividiere die Zahl z einerseits durch 1, andererseits durch z und stelle fest, ob bei den Divisionen Rest bleibt oder nicht! 1.16 Zeige anhand von fünf natürlichen Teilern t > 0, dass jeder dieser Teiler t die Zahl 0 teilt! Hinweis: Dividiere die Zahl 0 durch t und stelle fest, ob bei der Division Rest bleibt oder nicht! 1.17 Die Gleichung z = 0·t kann niemals erfüllt werden, wenn z ≠ 0. Was erkennst du? VB VB VB DI DI DI DI RK Ó Übung w4q2ej RK DI MP DI MP DI VB 16 k1 Zahlen Und Maẞe Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Vielfache einer zahl Alle geraden Zahlen mit Ausnahme der Zahl 0 sind Vielfache von 2. Vielfache von 2 sind somit: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, … Die Menge aller Vielfachen der Zahl 2 nennt man Vielfachenmenge von 2: V2 = {2, 4, 6, 8, …} Jede weitere natürliche Zahl (außer 0) hat Vielfache, beispielsweise: Vielfache von 5 sind: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, … V5 = {5, 10, 15, 20, …} Vielfache von 9 sind: 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, … V9 = {9, 18, 27, 36, …} 1.18 Eine Tafel dunkler Schokolade besteht aus Rippen zu je drei Stückchen. Wie viele Stückchen kann die ganze Tafel dunkler Schokolade haben? Lösung: Da die Zahl 3 ein Teiler der Gesamtzahl der Stückchen sein muss, kann die ganze Tafel dunkler Schokolade nur 6, 9, 12, 15, 18, … Stückchen haben, dh. ein Vielfaches von 3. Ist t ein Teiler von z, dann ist z ein Vielfaches von t. AufgAbEn 1.19 Schreibe die Vielfachenmenge der Zahl a) 4, b) 11, c) 15, d) 23, e) 40 an! Gib dabei zumindest die ersten zehn Elemente an! 1.20 Ergänze die folgende Aussage so, wie es in a) und b) vorgezeigt ist! a) Die Zahl 5 ist ein Teiler von 45, da 45 ein vielfaches von 5 ist. b) Die Zahl 8 ist kein Teiler von 62, da 62 kein vielfaches von 8 ist. c) Die Zahl 9 ist Teiler von 109, da . d) Die Zahl 12 ist Teiler von 156, da . e) Die Zahl 35 ist Teiler von 215, da . f) Die Zahl 56 ist Teiler von 168, da . 1.21 Unterstreiche alle Vielfachen von 8 und ringle alle Vielfachen von 12 ein! Welche Eigenschaft haben jene Zahlen, die sowohl unterstrichen als auch eingeringelt sind? 38 48 84 16 24 62 72 156 128 192 216 1.22 Unterstreiche alle Vielfachen von 10 und ringle alle Vielfachen von 15 ein! Welche Eigenschaft haben jene Zahlen, die sowohl unterstrichen als auch eingeringelt sind? 20 45 30 40 25 35 70 100 120 130 225 1.23 Gibt es eine natürliche Zahl n, sodass n·t = z, dann ist z ein Vielfaches von t. In diesem Fall ist z durch t teilbar. Zeige für t = 3 anhand von fünf natürlichen Zahlen n > 1, dass jede Zahl z ein Vielfaches von 3 ist! Hinweis: Wähle zB n = 5! Dann ergibt sich 5·3 = 15. Da bei der Division 153 = 5 kein Rest bleibt, ist 15 ein Vielfaches von 3. Wähle weitere Zahlen für n und verfahre ebenso! 1.24 Wie viele Vielfache hat eine natürliche Zahl n? Begründe die Antwort! VB DI DI DI VB DI VB MP VB 17 teIler Und teIlBarKeIt 1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
1.2 Teilbarkeit natürlicher zahlen Grundlegende Regeln zur Teilbarkeit 1.25 Stapelt einen Turm mit acht Büchern und einen mit zwölf Büchern! Lassen sich mit allen Büchern Stapel zu je vier Büchern bilden? 1.26 Magdalena stapelt einen Turm mit zehn Münzen und einen mit 15 Münzen. Kann sie alle 25 Münzen zusammen in Türmen zu je fünf Münzen stapeln? Begründe die Antwort! Lösung: Ja. Da 5 ! 10 und 5 ! 15, kann man erkennen, dass 5 ! (10 + 15), also 5 ! 25. Dies lässt sich in der summenregel zur Teilbarkeit verallgemeinern: Ist t ein Teiler von z1 und auch von z 2, so ist t auch Teiler der summe (z 1 + z 2). Die Summenregel zur Teilbarkeit gilt auch für Summen aus mehr als zwei Zahlen. Bemerkungen: –– Teilt t die Summe (z1 + z2), so muss t nicht unbedingt Teiler von z1 und z2 sein. ZB: 6 ! 42, aber 6 ~ 32 und 6 ~ 10. –– Teilt t die Zahl z1, aber nicht die Zahl z2, so ist t kein Teiler der Summe (z1 + z2). ZB: 3 ! 18, aber 3 ~ 25, dann gilt: 3 ~ (18 + 25), also 3 ~ 43. 1.27 Elli möchte 70 € gleichmäßig auf sieben Sparschweine aufteilen. Sie kauft sich von dem Geld aber zuvor noch um 14 € ein T-Shirt. Kann sie den Rest immer noch gleichmäßig auf die Sparschweine aufteilen? Begründe die Antwort! Lösung: Ja. Da 7 ! 70 und 7 ! 14, kann man erkennen, dass 7 ! (70 – 14), also 7 ! 56. Dies lässt sich in der Differenzregel zur Teilbarkeit verallgemeinern: Ist t ein Teiler von z1 und auch von z 2 (mit z1 > z2), so ist t auch Teiler der Differenz (z 1 – z 2). 1.28 Sörens Vater möchte seine 60 DVDs in Regalfächer zu je fünf DVDs einordnen. Ist das möglich? Begründe die Antwort! Lösung: Ja. Da 60 = 10·6 und 5 ! 10, also auch 5 ! (10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10), gilt 5 ! 60. Dies lässt sich in der Vielfachenregel zur Teilbarkeit verallgemeinern: Ist t ein Teiler von z, so ist t auch Teiler eines jeden Vielfachen von z. C VB VB VB 18 k1 Zahlen Und Maẞe Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
AufgAbEn 1.29 Wende die Teilbarkeitsregel richtig an! a) 5 ist ein Teiler von 35 und auch von 60. Was gilt für diese Zahlen nach der Summenregel? b) 8 ist ein Teiler von 64 und auch von 96. Was gilt für diese Zahlen nach der Summenregel? c) 12 ist ein Teiler von 156 und auch von 84. Was gilt für diese Zahlen nach der Differenzregel? d) 6 ist ein Teiler von 108 und auch von 78. Was gilt für diese Zahlen nach der Differenzregel? 1.30 Kim hat in einem Sackerl 42 Glückslose und in einem anderen 18. Kann sie alle Lose so an ihre sechs Freundinnen verteilen, dass jede gleich viele bekommt? Begründe die Antwort! 1.31 Eugen hat in einer Jausenbox sieben Müsliriegel, in einer anderen neun. Kann er alle Müsliriegel so an seine vier Freunde verteilen, dass jeder gleich viele bekommt? Begründe die Antwort! 1.32 Eine Firma hat in einer Halle zehn Baumaschinen gelagert, in einer anderen zwölf. Kann sie an fünf Unternehmen jeweils gleich viele Baumaschinen verleihen? Begründe die Antwort! 1.33 Im Sportverein Bewegung sind 21 Kinder, im Sportverein Pfiff sind 23 Kinder. 1) Können im Sportverein Bewegung Dreiergruppen gebildet werden, ohne dass ein Kind übrig bleibt? Begründe die Antwort! 2) Wie verhält es sich im Sportverein Pfiff? 3) Können Dreiergruppen gebildet werden, ohne dass ein Kind übrig bleibt, wenn beide Vereine gemeinsam in einer Halle sind? Begründe die Antwort! 1.34 Zum Aufhängen eines Plakats benötigt Andrea genau vier Reißnägel. In der ersten Schachtel befinden sich 27 Reißnägel, in der zweiten 13 Reißnägel. Kann Andrea einige Plakate vollständig mit den Reißnägeln 1) aus der ersten Schachtel, 2) aus der zweiten Schachtel, 3) aus beiden Schachteln aufhängen, ohne dass Reißnägel überbleiben? Begründe die Antworten! 1.35 Setze das Zeichen „ ! “ oder „ ~ “ jeweils richtig ein! Überprüfe mit Technologie! a) 4 12, 4 20, also 4 32 e) 9 27, 9 49, also 9 76 b) 3 8, 3 7, aber 3 15 f) 2 62, 2 18, also 2 80 c) 7 56, 7 14, also 7 42 g) 12 24, also 12 2 400 d) 10 73, 10 27, aber 10 100 h) 25 100, also 25 1 000 000 1.36 Sind die Aussagen richtig oder falsch? Kreuze an! Überprüfe mit Technologie! richtig falsch 6 teilt 60, daher teilt 6 auch jedes Vielfache von 60. 15 teilt 35 nicht, 15 teilt 100 auch nicht, daher teilt 15 die Summe (35 + 100) auch nicht. 4 teilt 14 nicht, aber 4 teilt 80, daher teilt 4 die Summe (14 + 80). 8 teilt 88, 8 teilt 32, daher teilt 8 die Differenz (88 – 32). 9 teilt 63, 9 teilt 99, daher teilt 9 die Summe (63 + 99). VB RK VB RK VB RK VB RK VB RK MP VB RK DI 19 teIler Und teIlBarKeIt 1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Teilbarkeit durch 2 1.37 Axel möchte seine 14 T-Shirts zu gleichen Teilen in zwei Schubladen legen. 1) Ist das möglich? Begründe die Antwort! 2) Wie viele T-Shirts kann er in jede der beiden Laden legen? Lösung: 1) Ja, denn die gerade Zahl 14 ist ein Vielfaches von 2. Es gilt die Vielfachenregel. 2) Er kann in jede Lade sieben T-Shirts legen, denn 142 = 7. Nur jede gerade zahl ist durch 2 teilbar. Teilbarkeit durch 5 1.38 Selma sammelt Sticker. Sie bekommt jede Woche eine Packung mit fünf Stickern und schreibt auf, wie viele Sticker sie hat: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, … Was fällt ihr auf? Lösung: Alle Vielfachen von 5 haben entweder die Einerziffer 5 oder die Einerziffer 0. Nur jede zahl mit der Einerziffer 5 oder der Einerziffer 0 ist durch 5 teilbar. Teilbarkeit durch 10 1.39 Herr Antos wechselt auf der Bank einen 50 €-Schein und einen 100 €-Schein. Er hätte dafür gerne lauter 10 €-Scheine. Ist dies möglich? Begründe die Antwort! Lösung: Ja, da 10 ! 50 und 10 ! 100. Jedes Vielfache von 10 hat die Einerziffer 0. Nur jede zahl mit der Einerziffer 0 ist durch 10 teilbar. AufgAbEn 1.40 Kreuze nur richtige Aussagen an und begründe die Entscheidung! Überprüfe mit Technologie! a) 2 ! 68 5 ! 68 10 ! 68 e) 2 ! 394 5 ! 394 10 ! 394 b) 2 ! 77 5 ! 77 10 ! 77 f) 2 ! 412 5 ! 412 10 ! 412 c) 2 ! 105 5 ! 105 10 ! 105 g) 2 ! 1 615 5 ! 1 615 10 ! 1 615 d) 2 ! 320 5 ! 320 10 ! 320 h) 2 ! 1 900 5 ! 1 900 10 ! 1 900 1.41 Kann ein 40 cm langes Baguettebrot in lauter 1) 2 cm, 2) 5 cm, 3) 10 cm lange Brotschnitten geteilt werden, ohne dass etwas übrig bleibt? Begründe die Antwort! 1.42 Gib alle Zahlen von 80 bis 100 an, die a) durch 2, b) durch 5, c) durch 10 teilbar sind! 1.43 Setze für passende Ziffern ein, damit die Aussage stimmt! a) 2 ! 5 b) 2 ! 69 c) 2 ! 9 12 d) 5 ! 8 e) 5 ! 23 f) 5 ! 1 03 g) 10 ! 74 h) 10 ! 2 89 RK VB DI VB RK VB VB DI Ó Übung jd3yj8 DI Wirtschafts-, Finanz- und verbraucher/innenbildung 20 k1 Zahlen Und Maẞe Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Teilbarkeit durch 3 und durch 9 1.44 Boris und Gracia wollen eine Teilbarkeitsregel für 3 und für 9 herausfinden. Dazu legen sie 45 Münzen auf. Was können die beiden erkennen? Lösung: Die Münzen werden so aufgelegt, dass in vier Reihen jeweils zehn Münzen liegen, die restlichen fünf Münzen liegen darunter. In jeder Reihe liegen 9 blau markierte Münzen. Jedes Vielfache von 9 ist durch 9 teilbar. Jedes Vielfache von 9 ist auch durch 3 teilbar. Also kommt es nur auf die Anzahl der grün und orange markierten Münzen an. Die Zehnerziffer 4 ist an den jeweils letzten Münzen jeder Reihe erkennbar, die Einerziffer 5 an der letzten Reihe. Ist die Summe der beiden Ziffern auch durch 3 bzw. 9 teilbar, so ist auch die Zahl durch 3 bzw. 9 teilbar: Die ziffernsumme ist 4 + 5 = 9. Da die Ziffernsumme durch 3 und durch 9 teilbar ist, ist die Zahl 45 durch 3 und durch 9 teilbar. 1.45 Fortsetzung von Aufgabe 1.44: Boris und Gracia wissen, dass die Zahl 153 durch 3 und durch 9 teilbar ist. Sie wollen nun herausfinden, ob auch bei dreistelligen Zahlen die Ziffernsumme eine Information zur Teilbarkeit durch 3 und 9 enthält. Was können die beiden erkennen? Lösung: Es werden 153 Münzen folgendermaßen aufgelegt: Die Zahl 99 ist durch 9 und somit auch durch 3 teilbar. Also ist in der 100er-Anordnung nur eine Münze markiert. Da jedes Vielfache von 9 (blaue Münzen) durch 9 und somit auch durch 3 teilbar ist, kommt es wieder nur auf die Anzahl der nicht blau markierten Münzen an. Die Hunderterziffer 1 ist an der einen Münze in der 100er-Anordnung erkennbar, die Zehnerziffer 5 an den jeweils letzten Münzen der 50er-Anordnung, die Einerziffer 3 an den verbleibenden drei Münzen. Ist die Summe dieser drei Ziffern auch durch 3 bzw. 9 teilbar, so ist auch die Zahl durch 3 bzw. 9 teilbar: Die ziffernsumme ist 1 + 5 + 3 = 9. Da die Ziffernsumme durch 3 und durch 9 teilbar ist, ist die Zahl 153 durch 3 und durch 9 teilbar. Nur jede zahl, deren ziffernsumme durch 3 teilbar ist, ist durch 3 teilbar. Nur jede zahl, deren ziffernsumme durch 9 teilbar ist, ist durch 9 teilbar. Bemerkung: Diese Regel gilt für natürliche Zahlen mit beliebig vielen Ziffern, dh. für einstellige, zweistellige, dreistellige, vierstellige, … Zahlen. MP Ó Demo i94rx2 MP 100 50 3 21 teIler Und teIlBarKeIt 1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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