1 0 2 1 2 QuickMedia App für digitale Zusatzmaterialien 3 Mathematik verstehen SALZGER | GERM | RIEDLER | SINGER | ULOVEC
Mathematik verstehen 3, Schülerbuch und E-Book Schulbuchnummer 220279 Mathematik verstehen 3, Schülerbuch mit E-BOOK+ Schulbuchnummer 220281 Mathematik verstehen 3, Schülerbuch E-Book Solo Schulbuchnummer 220283 Mathematik verstehen 3, Schülerbuch E-BOOK+ Solo Schulbuchnummer 220282 Mit Bescheid des Bundesministeriums Bildung vom 23. Mai 2025, GZ 2023-0.757.217, gemäß § 14 Absatz 2 und 5 des Schulunterrichtsgesetzes, BGBl. Nr. 472/86, und gemäß den derzeit geltenden Lehrplänen als für den Unterrichtsgebrauch an allgemein bildenden höheren Schulen - Unterstufe und Mittelschulen für die 3. Klasse im Unterrichtsgegenstand Mathematik (Lehrplan 2023) geeignet erklärt. Dieses Werk wurde auf der Grundlage eines zielorientierten Lehrplans verfasst. Konkretisierung, Gewichtung und Umsetzung der Inhalte erfolgen durch die Lehrerinnen und Lehrer. Liebe Schülerin, lieber Schüler, du bekommst dieses Schulbuch von der Republik Österreich für deine Ausbildung. Bücher helfen nicht nur beim Lernen, sondern sind auch Freunde fürs Leben. Kopierverbot Wir weisen darauf hin, dass das Kopieren zum Schulgebrauch aus diesem Buch verboten ist – § 42 Abs. 6 Urheberrechtsgesetz: „Die Befugnis zur Vervielfältigung zum eigenen Schulgebrauch gilt nicht für Werke, die ihrer Beschaffenheit und Bezeichnung nach zum Schul- oder Unterrichtsgebrauch bestimmt sind.“ Umschlagfoto: plainpicture / Cavan Images; olaser / Getty Images - iStockphoto; öbv, Wien; 1. Auflage (Druck 0001) © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2025 www.oebv.at Alle Rechte vorbehalten. Jede Art der Vervielfältigung, auch auszugsweise, gesetzlich verboten. Redaktion: Dipl.-Ing. Dr. techn. Frederic Brünner, Wien Herstellung: Ing. Bianca Mannsberger, Wien Umschlaggestaltung: Jens-Peter Becker, normaldesign GbR, Schwäbisch Gmünd Layout: Jens-Peter Becker, normaldesign GbR, Schwäbisch Gmünd Illustrationen: Mag. Adam Silye, Wien Technische Zeichnungen: Ing. Mag. Dr. Herbert Löffler, Wien; Da-TeX Gerd Blumenstein, Leipzig Karten: Freytag-Berndt u. Artaria KG, Wien Satz: Da-TeX Gerd Blumenstein, Leipzig Druck: Ferdinand Berger & Söhne Ges.m.b.H., Horn ISBN 978-3-209-11901-8 (Mathematik verstehen SB 3 und E-Book) ISBN 978-3-209-11913-1 (Mathematik verstehen SB 3 mit E-BOOK+) ISBN 978-3-209-13095-2 (Mathematik verstehen SB 3 E-Book Solo) ISBN 978-3-209-13099-0 (Mathematik verstehen SB 3 E-BOOK+ Solo) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
www.oebv.at 3 Mathematik verstehen OStR Prof. Mag. Dr. Bernhard Salzger Prof.in Mag.a Andrea Germ Prof.in Mag.a Barbara Riedler HS-Prof.in Mag.a Dr.in Klaudia Singer MMag. Dr. Andreas Ulovec Unter Mitarbeit von: Prof.in Mag.a Judith Bachmann, MPOS Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Erklärungen zum Buch Wichtige Inhalte sind durch einen orangefarbenen Hintergrund hervorgehoben. Wichtige Begriffe sind zusätzlich fett geschrieben. 1.01 Musteraufgaben sind durch eine grüne Hinterlegung hervorgehoben. Lösung: Hier ist die gesamte Bearbeitung der Aufgabe ersichtlich. Aufgaben Die Farbe neben der Aufgabennummer gibt die Art der Aufgabe an. 1.02 … grundlegende Aufgaben 1.03 … weiterführende Aufgaben 1.04 … anspruchsvolle Aufgaben Die Kompetenzbereiche sind im Farbbalken ersichtlich. 1.05 … Modellieren und Problemlösen 1.06 … Rechnen und Konstruieren 1.07 … Darstellen und Interpretieren 1.08 … Vermuten und Begründen 1.09 Schraffierte Aufgabenbalken kennzeichnen jene Aufgaben, die laut Lehrplan nicht verbindlich sind, sondern geeignete Möglichkeiten zur Schwerpunktsetzung im Unterricht bieten. Diese Aufgaben können in Gruppenarbeit gelöst werden. Diese Aufgaben können in Partnerarbeit gelöst werden. Dieses Symbol bedeutet, dass hier die Verwendung des Computers empfohlen wird. Wenn zusätzlich ein Online-Code angeführt ist, gibt es dazu eine entsprechende Online- Ergänzung. Der Online-Code ist im Suchfeld auf www.oebv.at einzugeben. Ein QR-Code am Kapitelanfang führt ebenso zu den Zusatzmaterialien. Für diese Aufgaben ist der Einsatz von Technologie sinnvoll. Aufgaben zu fächerübergreifenden Themen werden mit Sternen neben der Aufgabennummer ausgezeichnet. In der Fußzeile kann das Thema abgelesen werden. Über die Herkunft vieler mathematischer Begriffe informiert das Glossar auf Seite 285. MP RK DI VB C B Ó Ó Weiterführende Materialien kw6q5y Hier siehst du, in welchem zentral fachlichen Konzept du dich gerade befindest. 1. Scanne den QR-Code (unten) und lade die App auf dein Smartphone oder dein Tablet. 2. Scanne deinen Buchumschlag oder wähle dein Schulbuch in der App-Medienliste aus. 3. Scanne eine mit gekennzeichnete Buchseite oder wähle ein digitales Zusatzmaterial aus der App-Medienliste aus. 4. Öffne das digitale Zusatzmaterial. öbv QuickMedia Android iOS 2 K1 Zentral fachliches Konzept Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Inhaltsverzeichnis Wiederholen und Festigen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 K1 Zahlen und Maẞe 1 Mit Ganzen Zahlen rechnen 14 1.1 Die Menge der ganzen Zahlen ....................................................... 14 1.2 Ganze Zahlen addieren und subtrahieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3 Ganze Zahlen multiplizieren und dividieren ........................................ 21 1.4 Alle vier Grundrechenarten verbinden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.5 EXTRABLATT Das Minus ist das Plus des Negativen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.6 Kompetenzcheck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2 Rationale Zahlen 30 2.1 Eigenschaften rationaler Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2 Rationale Zahlen ordnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.3 Rationale Zahlen addieren und subtrahieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.4 Rationale Zahlen multiplizieren und dividieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.5 Der Absolutbetrag einer rationalen Zahl ............................................ 44 2.6 Alle vier Grundrechenarten verbinden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.7 EXTRABLATT Rationale Zahlen konstruieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.8 Kompetenzcheck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3 Potenzen 54 3.1 Was ist eine Potenz? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.2 Mit Potenzen rechnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.3 Zehnerpotenzen verwenden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.4 EXTRABLATT Das Gnomon und seine Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.5 Kompetenzcheck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 K2 Variablen und Funktionen 4 Mit Termen und Gleichungen arbeiten 70 4.1 Terme und Gleichungen aufstellen und interpretieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.2 Terme addieren und subtrahieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4.3 Terme multiplizieren .................................................................. 80 4.4 Die binomischen Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 4.5 Mit Bruchtermen arbeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4.6 Gleichungen und Formeln umformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4.7 Textaufgaben – Gleichungen in Sachsituationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 4.8 EXTRABLATT Formelwissen ist Macht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 4.9 Kompetenzcheck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 3 Inhaltsverzeichnis Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
5 Verhältnisse und Proportionen 106 5.1 Direkte und indirekte Proportionalität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 5.2 Verhältnisse und Proportionen ...................................................... 110 5.3 EXTRABLATT Was treibt uns an? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 5.4 Kompetenzcheck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 6 Wachstums- und Abnahmemodelle 118 6.1 Lineares Wachstum und lineare Abnahme ......................................... 118 6.2 Das lineare Zeit-Ort-Modell .......................................................... 125 6.3 Das lineare Kostenmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 6.4 Das lineare Gebührenmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 6.5 Zinsenmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 6.6 Prozentuelle Änderungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 6.7 Wachstums- und Abnahmeprozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 6.8 EXTRABLATT Kredite ................................................................. 143 6.9 Kompetenzcheck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 K3 Figuren und Körper 7 Dreiecke, Vierecke, Vielecke 146 7.1 Der Flächeninhalt von Dreiecken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 7.2 Der Flächeninhalt besonderer Vierecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 7.3 Auswirkungen von Längenänderungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 7.4 Der Flächeninhalt des allgemeinen Vierecks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 7.5 Vielecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 7.6 Vermischte Aufgaben ................................................................. 170 7.7 eXTRABLATT Flächenteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 7.8 Kompetenzcheck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 8 Figuren vergröẞern und verkleinern 180 8.1 Kongruenz und Ähnlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 8.2 Ähnlichkeit bei geometrischen Figuren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 8.3 Proportionales Vergrößern und Verkleinern ........................................ 186 8.4 Strahlensätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 8.5 EXTRABLATT Der goldene Schnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 8.6 Kompetenzcheck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 4 Inhaltsverzeichnis Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
9 Prisma und Pyramide 200 9.1 Eigenschaften von Prismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 9.2 Volumen, Masse und Dichte eines Prismas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 9.3 Netze, Schrägrisse und Oberflächeninhalt eines Prismas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 9.4 Eigenschaften von Pyramiden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 9.5 Volumen, Masse und Dichte von Pyramiden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 9.6 Netz und Schrägriss von Pyramiden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 9.7 Auswirkungen von Längenänderungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 9.8 eXTRABLATT Scherungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 9.9 Kompetenzcheck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 K4 Daten und Zufall 10 Statistische Kennzahlen und Verteilungen 232 10.1 Einfache statistische Kennzahlen ................................................... 232 10.2 Darstellen und Interpretieren von Häufigkeitsverteilungen ...................... 242 10.3 Kann man Statistiken verfälschen? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 10.4 eXTRABLATT Die Fünf-Punkte-Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 10.5 Kompetenzcheck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 11 Wahrscheinlichkeiten 256 11.1 Was ist eine Wahrscheinlichkeit? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 11.2 Schätzen von Wahrscheinlichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 11.3 Berechnen von Wahrscheinlichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 11.4 eXTRABLATT Vorhersagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 11.5 Kompetenzcheck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 Kompetenzen anwenden ................................................................. 270 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 Mathematische Zeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 Glossar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 Stichwortregister ..................................................................... 286 5 Inhaltsverzeichnis Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Zahlen und Maẞe 1 Ergänze in jeder Spalte die jeweils fehlenden Darstellungen der angegebenen Zahlen! Kürze die Brüche so weit wie möglich! Bruchdarstellung 4 _ 5 2 _ 3 Prozentdarstellung 135 % 82 % Dezimaldarstellung 0,905 2,3 2 Ist folgende Aussage richtig? „Die Zahl 36 hat acht Teiler und die Division von 36 durch einen dieser Teiler ergibt immer null Rest!“ Begründe die Entscheidung! 3 Beachte die Vorrangregeln und vereinfache den Term! Welches Zwischenergebnis und welches Endergebnis gehört zu welcher Aufgabe? Aufgabe 2 _ 3 “ 3 _ 4 + 4 _ 5 · 1 _ 2 § 2 _ 3 3 _ 4 + 4 _ 5 · 1 _ 2 2 _ 3 “ 3 _ 4 + 4 _ 5 §· 1 _ 2 “ 2 _ 3 3 _ 4 + 4 _ 5 §· 1 _ 2 Zwischenergebnis 2 _ 3 31 _ 20 · 1 _ 2 “ 8 _ 9 + 4 _ 5 §· 1 _ 2 8 _ 9 + 2 _ 5 2 _ 3 “ 15 _ 20 + 8 _ 20 § Ergebnis 40 _ 69 1 13 _ 45 20 _ 93 38 _ 45 4 Ordne die passende Rechnung sowie das richtige Ergebnis den Aufgaben zu! In einer Packung befinden sich 15 Liter Blumenerde. Wie viele Töpfe mit einem Dreiviertelliter Fassungsvermögen können damit gefüllt werden? 3 1 _ 2 1 _ 2 6 3 _ 4 Ein Auto verbraucht durchschnittlich 4 1 _ 2 Liter auf 100 km, im Stadtverkehr allerdings das 1 1 _ 2 -Fache davon. Wie hoch ist der Verbrauch in der Stadt? 15 3 _ 4 11 1 _ 4 Shirley schneidet ein 3 1 _ 2 m langes Zierband in drei gleich lange Teile. Wie lang ist ein Stück? 4 1 _ 2 ·1 1 _ 2 1 1 _ 6 Simon hat 3 1 _ 2 kg Nüsse gekauft. Er füllt die Nüsse in Packungen zu je 1 _ 2 kg. Wie viele Packungen erhält er? 15· 3 _ 4 7 Noras Schulweg ist 15 km lang. Drei Viertel davon hat sie mit dem Fahrrad bereits zurückgelegt. Wie weit ist sie geradelt? 4 1 _ 2 1 1 _ 2 3 Dominik schneidet von einem 4 1 _ 2 Meter langen Draht mehrere 1 1 _ 2 m lange Stücke ab. Wie viele Drahtstücke erhält er? 3 1 _ 2 3 20 5 1) Stelle die Zahlen 2 _ 5 , 7 _ 10 , 53 _ 100 , 3 _ 4 , 87 _ 100 , 63 _ 100 auf dem Zahlenstrahl dar! 2) Ordne die Zahlen in einer Kleiner-Kette! < < < < < DI VB RK RK DI 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 Wiederholen und Festigen 6 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
6 Stelle die Zahlen 2 _ 5 , 3 _ 10 , 1 _ 4 , 1 _ 10 , 1 _ 5 auf den drei Zahlenstrahlen und dem Ausschnitt eines Zahlenstrahls mit jeweils derselben Farbe dar! 7 Welche der folgenden Begründungen sind richtig? Kreuze an! Die Zahlen 14 und 8 haben ein kleinstes gemeinsames Vielfaches, das kleiner als 112 ist, da 14 und 8 nicht teilerfremd sind. Der größte gemeinsame Teiler von 35 und 28 kann nicht 5 sein, da 5 kein Teiler von 28 ist. Der Bruch 11 _ 9 kann nicht mehr gekürzt werden, da Zähler und Nenner Primzahlen sind. 8 Im Werbeprospekt einer Heimtextilien-Firma steht: „‒20 % Mehrwertsteuer!“ Frau Klein kauft Waren im Wert von 120 € (inklusive 20 % Mehrwertsteuer). 1) Wie hoch ist der Geldbetrag der Mehrwertsteuer? 2) Frau Klein zahlt den Preis ohne Mehrwertsteuer. Wie viel Prozent des ursprünglichen Verkaufspreises hat Frau Klein weniger bezahlt? 3) Begründe, dass der Text im Werbeprospekt irreführend ist! 9 Beim Einkauf im Supermarkt bleibt das Phänomen der „Shrinkflation“ oft unbemerkt. Statt dass der Preis sichtbar steigt, bleibt er gleich oder steigt nur leicht, auch die Verpackung bleibt gleich, nur der Inhalt wird weniger. Wer sich beim Einkauf nicht blenden lassen will, sollte daher immer auf den Preis pro 100 ml oder 100 g achten und vergleichen. Eine Holzofenpizza eines bestimmten Herstellers kostet jetzt 2,99 € statt 2,49 €. Gleichzeitig wird die Masse von 460 g auf 410 g reduziert, ohne dass sich die Packungsgröße ändert. Berechne die prozentuelle Preiserhöhung ohne Berücksichtigung der geringeren Menge und vergleiche sie mit der prozentuellen Preiserhöhung pro 100 g! 10 In einer Zeitungsbeilage findet sich 2023 ein Bericht über die Herstellung von Konservendosen aus Weißblech, der beispielhaft zeigen soll, dass der technische Fortschritt den Materialeinsatz drastisch reduzieren kann. Dem Artikel können folgende Informationen entnommen werden: • Von 1959 bis 2023 konnten die Hersteller den Materialverbrauch deutlich verringern. Aus der Weißblechmenge, die damals für eine einzige Dose verbraucht wurde, können 2023 6,67 Dosen hergestellt werden. • Eine Dose ist fast vollständig recycelbar. Nicht mehr verwenden kann man nur den Lack (0,54 %), die Kunststoffdichtung (0,24 %) und das Etikett (3,94 %). • So richtig in Schwung kam die Produktion von Weißblech 1910. Von damals bis 2020 wuchs die weltweite Produktion auf das 2,96‑Fache. 1) Um wie viel Prozent war der Materialverbrauch pro Dose 1959 höher als 2023? 2) Philipp leert eine Suppendose mit 1 Liter Fassungsvermögen aus und wiegt die leere Dose mit Deckel. Die Dose wiegt 126 g. Wie viel wiegt der Materialanteil der Dose, der recycelbar ist? 3) Stelle jemandem aus deiner Klasse eine Frage zur weltweiten Weißblechproduktion, die sich mithilfe der Daten aus dem Artikel berechnen und beantworten lässt und überprüfe die Antwort! DI 2 1 0 0,2 0,3 0,4 0,1 1 5 0 2 5 3 5 4 5 5 5 0,2 0,3 0,4 0,5 0,1 0 VB RK VB ‒ 20 % Mehrwertsteuer MP RK Bildquelle: Pixabay MP RK Wirtschaft-, Finanz und Verbraucher/innenbildung Umweltbildung für nachhaltige Entwicklung Wiederholen und Festigen: Zahlen und MaẞE 7 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
11 Im Rahmen des Landtagswahlkampfes in einem österreichischen Bundesland wurde ua. thematisiert, welchen Ausbildungsgrad die Menschen haben, die dem Arbeitsmarkt zur Verfügung stehen. Für das betreffende Bundesland lagen zu diesem Zeitpunkt folgende Daten vor: 310 406 Personen waren zwischen 25 und 64 Jahre alt. BILDUNG, höchste abgeschlossene Ausbildung Pflichtschule Mittlere Schule oder Lehre Matura (AHS/BHS) Kolleg, Akademie, Hochschule 16 % 50,9 % 14,1 % 19 % 1) Wie viele 25- bis 64-Jährige hatten keinen Kolleg‑, Akademie- oder Hochschulabschluss? 2) Recherchiere aktuelle Daten zum Anteil der Erwachsenen in deinem Bundesland, die als höchsten Abschluss eine Lehre oder eine Mittlere Schule abgeschlossen haben. VariableN und Funktionen 12 Schreibe zu jedem der angegebenen Terme für a = 4 den Wert des Terms in die Zeile darunter! a + a – a – a a _ 2 – a (a + 2)·(10 – a) a : a 0 _ a + (3 – a – a) 13 Forme die Formel so um, dass die färbig markierte Variable durch die übrigen Variablen ausgedrückt wird. a) A = a·b b) v = s _ t c) u = v – r d) y = 200 _ 3 · x 14 Claus erhält bei einer Schularbeit die Aufgabe, in der Formel M = O – 2 · G die Variable O durch die übrigen Variablen auszudrücken. In seinen Umformungen passiert ihm ein Fehler. 1) Finde den Fehler und begründe die Entscheidung! 2) Forme die Formel korrekt um! M=O–2·G | : 2 M _ 2 = O – G | + G O = G + M _ 2 15 Der Zusammenhang zwischen zwei Größen ist durch folgende Grafik dargestellt. 1) Welche Tabelle passt zu welcher Grafik? Kreuze an! 2) Trage in der passenden Tabelle in die freie Zeile ein weiteres Zahlenpaar ein! 16 Lukas bekommt 16 € Taschengeld monatlich, Klark 20 € und Sara 22 €. Ordne jeder Fragestellung den passenden Rechenansatz zu! Um wie viel Prozent erhält Sara mehr Taschengeld als Lukas? x _ 100 ·20 = 4 Wie viel Prozent des Taschengeldes von Sara erhält Klark? x _ 100 · 22 = 16 Wie viel Prozent des Taschengeldes von Sara erhält Lukas? x _ 100 ·16 = 6 Um wie viel Prozent erhält Lukas weniger Taschengeld als Klark? x _ 100 ·22 = 20 Wie viel Prozent des Taschengeldes von Lukas erhält Sara? x _ 100 ·16 = 22 RK DI 19,0 16,0 14,1 50,9 DI RK VB DI 5 10 15 20 25 2 4 6 8 1012141618 O 1. Achse 2. Achse Größe 1 Größe 2 Größe 1 Größe 2 2 4 4 8 x 32 : x x 3 · x Größe 1 Größe 2 Größe 1 Größe 2 6 12 2 4 x 8 : x x 2 · x DI Medienbildung, Politische Bildung Wiederholen und Festigen: VariableN und Funktionen 8 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
17 Löse die Gleichung mit und ohne Nutzung von Technologie und mache die Probe: 210 – 5·v = 103 18 Pia, Samara und Nazar diskutieren über die gegebene Tabelle. Pia sagt, dass Größe 1 und Größe 2 direkt proportional zueinander seien. Samara meint, die beiden Größen seien indirekt proportional zueinander. Nazar behauptet, die beiden Größen seien weder direkt noch indirekt proportional zueinander. Wer hat Recht? Begründe die Entscheidung! 19 Lisa benötigt für die Mathematikhausübung 15 Minuten, Marco 20 Minuten und Mona 23 Minuten. Gib eine zum Rechenansatz passende Fragestellung an! a) x _ 100 ·15 = 5 b) x _ 100 ·20 = 15 c) x _ 100 ·23 = 15 d) x _ 100 ·15 = 20 20 Im Mai hat Familie Hauser m € für Lebensmittel ausgegeben. Im Juni hat Familie Hauser j € für Lebensmittel ausgegeben. Beschreibe schriftlich in einem Satz die Bedeutung der Gleichung j = 1,12 · m! 21 Frau Baier möchte in ihrem Garten Beete und Rasenflächen mit Steinen umranden. Dazu kauft sie Steine im Baumarkt. Von einer bestimmten Sorte hat der Baumarkt noch 4 000 Stück übrig. Frau Baier bekommt die Steine billiger, wenn sie alle nimmt. Sie kauft daher alle. Die Steine kann sie mit mehr oder weniger Abstand nebeneinanderlegen lassen. 1) Welche der vier angegebenen Gleichungen passt zu diesem Sachverhalt, wenn x die Anzahl der Pflastersteine pro Laufmeter und a die Gesamtlänge der möglichen Umrandungen ist? Kreuze an! a = 4 000 _ x a = 4 000 · x a=x+4000 a = x _ 4 000 2) Frau Baier beschließt, acht Steine pro Meter zu verlegen. Wie viele Meter schafft sie mit den gekauften Steinen? 3) Ein Stein hat die Breite b. Gib eine Gleichung für die Gesamtlänge a der Umrandung an, würde man alle Steine ohne Zwischenraum aneinandersetzen! 4) Überlege, welche Arbeiten mit dem Steinesetzen verbunden sind, und welche Kosten, abgesehen von den Kosten für die Steine, noch auf Frau Baier für die Steinumrandungen zukommen können! 22 Mia kauft Hefte und Stifte für den Schulbeginn. Die Rechnung beträgt 44,91 €. Die Hefte kosten achtmal so viel wie die Stifte. Mia hat 60 €. Mit dem restlichen Geld möchte sie neun Flügelmappen kaufen. Stelle zu den folgenden Fragen die passenden Gleichungen auf und löse sie! 1) Wie viel kosten die Hefte? 2) Wie viel darf eine Flügelmappe maximal kosten, damit sich dies mit dem Betrag ausgeht, den Mia zur Verfügung hat? 3) Recherchiere, was Hefte, Stifte und Mappen aktuell kosten, die du für die Schule brauchst, und schreibe auf, was du dazu herausfindest! 23 In Österreich beträgt die Normalarbeitszeit für Vollbeschäftigte 40 Stunden pro Woche. Von Zeit zu Zeit wird in Politik und Wirtschaft darüber diskutiert, die Normalarbeitszeit zu verkürzen. Nimm an, für Verputzarbeiten in einem neugebauten Haus sind 420 Arbeitsstunden erforderlich! 1) Wie viele Wochen braucht ein Arbeiter bei einer a) 40‑Stunden-Woche b) 38,5‑Stunden- Woche c) 35‑Stunden-Woche d) 30‑Stunden-Woche e) 20‑Stunden-Woche f) x‑Stunden- Woche, um die Arbeit zu erledigen? 2) Wie viele Stunden benötigen 2 oder 4 Arbeiter für den Verputz? RK VB Größe 1 Größe 2 4 9 2 4,5 3 12 8 18 DI DI MP RK DI MP RK Sprachliche Bildung und Lesen Wirtschaft-, Finanz- und Verbraucher/innenbildung Bildungs-, Berufs- und Lebensorientierung, Politische Bildung Wiederholen und Festigen: VariableN und Funktionen 9 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Figuren und Körper 24 25 Ein Rhombus ABCD mit den Eckpunkten A = (–4 1 –4),B = (1 1 – 4), C = (5 1 –1), D = (0 1 –1) wird erst um eine Einheit in Richtung der negativen 1. Achse und danach um fünf Einheiten in Richtung der positiven 2. Achse zu einem Rhombus A’B’C’D’ verschoben. 1) Ermittle a) graphisch, b) rechnerisch die Koordinaten der Punkte A’, B’, C’, D’! 2) Ermittle durch Ablesen geeigneter Längen den Flächeninhalt eines Rhombus! 3) Begründe, dass der Rhombus A’B’C’D’ den gleichen Flächeninhalt wie der Rhombus ABCD hat! 26 A’ ist ein Eckpunkt eines zum Dreieck ABC achsensymmetrischen Dreiecks A’B’C’. 1) Konstruiere die Symmetrieachse mAA’! 2) Zeichne das Dreieck A’B’C’! 3) Gib die Koordinaten der Punkte A’, B’ und C’ an! 27 Aus einer der drei Angaben lässt sich ein Dreieck ABC konstruieren. 1) Welche Angaben führen zu keinem Dreieck? Kreuze an und begründe! 2) Konstruiere das Dreieck ABC! 3) Ermittle die Maße der fehlenden Winkel und Seiten sowie der Höhen ha, hb, hc! 4) Berechne den Flächeninhalt A und den Umfang u des Dreiecks! 28 Ordne jedem Viereck eine Formel zur Berechnung des Flächeninhalts A passend zu! Rechteck Quadrat Parallelogramm Rhombus Trapez Deltoid A = e · f _ 2 A = a · h A = (a + c)·h __ 2 A = b · hb A = d · d _ 2 A = a · b 29 Konstruiere das Viereck ABCD und berechne den Flächeninhalt A sowie den Umfang u! Überlege den Konstruktionsweg anhand einer Skizze! a) Quadrat: d = 5,6 cm d) Rhombus: _ AC= 65mm, _ BD= 48mm b) Rechteck: a = 70 mm, ¼BAC = 25° e) Trapez: a = 9,4 cm, d = 6,8 cm, α = 60°, β = 85° c) Parallelogramm: a = 5 cm, f = 8 cm, α = 115° f) Deltoid: b = 40 mm; f = 32 mm, δ = 110° DI Richtig oder falsch? Kreuze an! richtig falsch Der Punkt A = (2 1 4) liegt im 4. Quadranten. Jeder Punkt im 3. Quadranten hat zwei negative Koordinaten. Für P1 = (1 1 3) und P2 = (3 1 1) gilt: P1 = P2 Der Punkt P = (p1 1 p2) liegt im 2. Quadranten, wenn p1 < 0 und p2 > 0. Eine Gerade durch X = (2 1 2) undY = (–3 1 – 3) verläuft durch den Ursprung. RK DI VB 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 1 2 3 4 5 -5 -4 -3 -2 -1 O 2. Achse 1. Achse RK 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 1 2 3 4 5 -5 -4 -3 -2 -1 O 2. Achse 1. Achse A’ A’ B C RK VB a=9cm,b=6cm,c=2cm c = 5cm, α = 60°, β = 45° α = 30°, β = 60°, γ = 100° DI RK Wiederholen und Festigen: Figuren und Körper 10 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
30 Familie Kern bekommt in ihrem neuen Haus mobiles Internet. Nachdem der Router installiert wurde, muss er in Richtung des zuständigen Funkmastes ausgerichtet werden. 1) Zeichne ein, wie der Router für optimalen Empfang ausgerichtet werden muss! 2) Schätze, wie viel Grad der Router dafür a) gegen den Uhrzeigersinn, b) im Uhrzeigersinn gedreht werden muss! 3) Zeichne die Drehwinkel ein und miss deren Größen! 31 Frau Novak möchte ihre Terrasse mit einem Sonnensegel beschatten. Im Internet findet sie dazu folgendes Angebot: Dreieckiges Sonnensegel 600 cm × 600 cm × 600 cm, Preis: 342 €. 1) Clara, Frau Novaks Tochter, soll den Flächeninhalt des Sonnensegels ermitteln. Beschreibe, wie Clara dabei vorgehen kann! 2) Frau Novak schätzt den Flächeninhalt des Sonnensegels auf 15 m2. Berechne, ausgehend von Frau Novaks Schätzung, den Quadratmeterpreis des Sonnensegels! 32 Das durch Sturm beschädigte Dach einer Gartenhütte muss zur Gänze neu gedeckt werdenl Löse die Aufgaben mit Hilfe der in der Abbildung verwendeten Variablen! 1) Welche Streckenlängen müssen bekannt sein, um den Flächeninhalt des Daches zu berechnen? 2) Gib eine Formel zur Berechnung der Größe der Dachfläche an! 3) Wie viel Deckmaterial hat man, wenn um 20% mehr Deckmaterial als benötigt gekauft wird? Gib eine Formel an! 33 Max verbringt die Sommerferien bei seinen Großeltern an einem Badesee. Jeden Tag schwimmt Max die Strecke vom Haus H zu einem Stein S am gegenüberliegenden Seeufer. Die Abbildung zeigt die von Max geschätzten Maße. 1) Fertige eine zu Max Schätzungen passende Modell- konstruktion im Maßstab 1 : 2 500 an! 2) Ermittle die Länge der Strecke HS! 3) Berechne, wie schnell Max schwimmt, wenn er für die Strecke x vier Minuten benötigt! 4) Jedes Jahr ereignen sich in Österreich zahlreiche Badeunfälle. Wie sicher und schnell schwimmst du eine Strecke von 100 m? Hast du in der 2. Klasse das Allroundschwimmer-Abzeichen abgelegt? MP DI R … Router F … zuständiger Funkmast A usrichtung des Routers nach Installation R F MP RK MP DI a b x y z c c c a b MP RK DI H S 110° 30° 100 m 200 m x Bildungs-, Berufs- und Lebensorientierung Gesundheitsförderung Wiederholen und Festigen: Figuren und Körper 11 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Daten und Zufall 34 „Kinder sollten Handys in der Schule jederzeit und unein- geschränkt verwenden dürfen.“ Das Säulendiagramm zeigt das Ergebnis einer Abstimmung von Schülerinnen und Schülern einer 3. Klasse zu dieser Aussage. Beantworte dazu die folgenden Fragen: 1) Wie viele Schülerinnen und Schüler nahmen an der Abstimmung teil? 2) Hat mehr als die Hälfte der Schülerinnen und Schüler der Aussage zugestimmt? Begründe die Antwort! Wie sieht das Ergebnis in eurer Klasse aus? Stimmt ab! 3) Welche gesundheitlichen Probleme können durch intensiven Handykonsum entstehen? 35 An Sofies Schule wird besonders auf Mülltrennung geachtet. Lies vom Prozentstreifen die Müllanteile ab und stelle die Daten in einem Kreisdiagramm dar! 36 Gib eine mögliche Liste aus fünf unterschiedlichen Daten an, deren Median und deren arithmetisches Mittel jeweils den Wert 15 hat! 37 Kreuze den korrekten Median der Liste: 15, 20, 6, 17, 2, 10, 8, 15, 14, 5 an! 6 10 20 12 2 38 Lena verbringt die letzte Ferienwoche mit Ihren Großeltern am Meer. Um richtig zu packen liest sie die Wettervorhersage. Berechne den Median und das arithmetische Mittel der vorhergesagten Maximaltemperaturen und interpretiere die beiden Ergebnisse! 39 Gegeben sind Zahlen in unterschiedlichen Darstellungen. Ordne jeder Zahl die richtige Prozentdarstellung zu! 2 von 5 12 _ 16 3 Sechstel 0,125 zwei 0,04 9 _ 20 7 _ 25 50 % 4 % 28 % 40 % 75 % 45 % 12,5 % 200 % 40 In einer Manufaktur wird Marmelade in Gläsern zu 250 g abgefüllt. Bei einer Kontrolle wird die Masse von 50 zufällig entnommenen Gläsern überprüft und in drei Kategorien eingeteilt. Die Tabelle zeigt die Ergebnisse der Überprüfung. Ergänze die fehlenden Werte! Masse zu gering Masse in Ordnung Masse zu groß absolute Häufigkeit 28 relative Häufigkeit 3 _ 10 14 % 41 Das Baumdiagramm zeigt die Ergebnisse einer Umfrage unter 80 Personen zum Thema Sonnenschutz. 1) Berechne, wie viele Personen trotz Sonnenschutz einen Sonnenbrand bekamen! 2) Gib an, wie viel Prozent der Personen ohne Sonnenschutz einen Sonnenbrand bekamen! 3) Was berechnet man mit 0,6 · 0,75 + 0,4 · 0,5? DI VB 0 Ja Nein Keine Angabe 2 4 6 8 10 12 14 16 DI Papier Plastik Rest Bio DI DI RK DI 33° / 18° Heiter Heute Montag Dienstag Mittwoch Donnerstag Freitag Samstag 33° 18° 28° 17° 21° 15° 21° 14° 24° 12° 25° 12° 26° 14° 24° 1 % 24 % 81 % 24 % 12 % 7 % 7 % DI RK DI RK DI 40 % 60 % Sonnenschutz kein Sonnenschutz Sonnenbrand kein Sonnenbrand Sonnenbrand kein Sonnenbrand 75 % 25 % 50 % 50 % Medienbildung, Politische Bildung Umweltbildung Gesundheitsförderung Wiederholen und Festigen: Daten und Zufall 12 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
42 Tom und Niko spielen Freiwurfkönig. Bei diesem Spiel versucht jeder in vorgegebener Zeit, möglichst viele Treffer beim Basketball-Freiwurf zu erzielen. Tom gelingen bei 40 Würfen 32 Treffer, Niko trifft bei 35 Würfen 28‑mal den Korb. Wer wird Freiwurfkönig? Begründe! 43 Für den angegebenen Zeitraum erhält Familie See die folgenden Informationen zu ihrem Stromverbrauch und den entsprechenden Kosten: 1) Erstelle für den Stromverbrauch eine Rangliste und lies daraus den Median ab! 2) Berechne das arithmetische Mittel der Stromkosten im Beobachtungszeitraum! 3) An welchem Tag wurde am wenigsten, an welchem Tag am meisten Strom verbraucht? Gib die Spannweite an und erkläre deren Bedeutung für Familie See! 44 Die Karte stellt die Verteilung der öffentlich zugänglichen Ladestellen für Elektrofahrzeuge in den österreichischen Bundesländern 2024 dar. 1) Erstelle eine Tabelle und trage für jedes Bundesland die absoluten Häufigkeiten der E‑Ladepunkte ein! 2) Ermittle die relativen Häufigkeiten in Prozentdarstellung! 3) Stelle a) die absoluten Häufigkeiten in einem Balkendiagramm, b) die relativen Häufigkeiten in einem Kreisdiagramm dar! 45 Das Diagramm zeigt die Anzahl der Kinder in 3. Klassen einer Schule, die bereits an einer oder mehreren Veranstaltungen für den Umweltschutz teilgenommen haben. Sind die Aussagen richtig oder falsch? Kreuze an! richtig falsch Die relative Häufigkeit der teilnehmenden Kinder ist in der 3D kleiner als in der 3A. In der 3E nahmen absolut die meisten Kinder teil. Der Anteil der teilnehmenden und nicht teilnehmenden Kinder ist in einer Klasse gleich groß. Die 3C hat die wenigsten Schülerinnen und Schüler. Jedes vierte Kind der 3B hat bereits an einer Veranstaltung für den Umweltschutz teilgenommen. MP RK DI VB RK DI VB Kosten (in Euro) 16. Aug. 1,40 17. Aug. 1,28 18. Aug. 1,17 19. Aug. 1,04 20. Aug. 0,83 21. Aug. 1,24 22. Aug. 1,32 0,00 16. Aug. 17. Aug. 18. Aug. 19. Aug. 20. Aug. 21. Aug. 22. Aug. 5,00 10,00 9,45 8,46 8,07 9,19 Stromverbrauch (in kWh) 7,50 7,64 7,66 RK DI VB https://www.beoe.at/ladepunkte-in-oesterreich/ RK DI 0 3E 3D 3C 3B 3A 2 4 6 8 101214161820222426 Anzahl der Schülerinnen und Schüler teilgenommen Wirtschafts-, Finanz- und Verbraucher/innenbildung Verkehrs- und Mobilitätsbildung Wiederholen und Festigen: Daten und Zufall 13 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
k1 zAhlEn unD MAẞE 1.1 Die Menge der ganzen zahlen 1.01 Felicia hat 20 € auf ihrem Konto. Sie bezahlt mit ihrer Bankomatkarte 6 € für eine Zeitschrift und 18 € für ein Paar Hausschuhe. 1) Stelle die Kontobewegungen auf der Zahlengeraden dar! 2) Gib ihren neuen Kontostand an und beschreibe diesen mit Worten! Lösung: 1) 2) Der neue Kontostand lautet ‒4 €. Sie hat nun vier Euro Schulden. Auf der Zahlengeraden lassen sich rechts von 0 positive und links von 0 negative ganze Zahlen darstellen. In Aufgabe 1.01 sind die Zahlen 20 und 14 positive ganze Zahlen, die Zahl ‒4 ist eine negative ganze Zahl. Alle diese Zahlen sind Elemente der Menge Z. Die Zahlen rechts von 0 nennt man positive zahlen, die Zahlen links von 0 negative zahlen. Die Zahl 0 ist weder positiv noch negativ. Z = {… , ‒5, ‒4, ‒3, ‒2, ‒1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …} ist die Menge der ganzen zahlen. Z+ = {1, 2, 3, 4, 5, …} ist die Menge der positiven ganzen zahlen. Z‒ = {…, ‒5, ‒4, ‒3, ‒2, ‒1} ist die Menge der negativen ganzen zahlen. Für zwei ganze Zahlen a und b ist a < b, wenn a auf der Zahlengeraden links von b liegt. O Arbeitsheft S. 3 rk DI 0 2 4 6 8 10 ‒2 ‒4 ‒6 12 14 16 18 20 22 ‒18 ‒6 Deine ziele in diesem kapitel •Beschreiben und Darstellen von Zuständen und Zustandsänderungen auf der Zahlengeraden. •Unterscheiden des Minuszeichens als Rechenzeichen und als Vorzeichen. •Negative ganze Zahlen als Bestandteile von Rechnungen erkennen. •Grundrechenoperationen für ganze Zahlen durchführen und veranschaulichen. 1 Mit ganzen ZahLen rechnen 14 Wozu braucht man Zahlen, die kleiner sind als null? Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
AufgABEn 1.02 Stelle auf der Zahlengeraden die Zahlen ‒5, ‒2, ‒1, 3 und ‒5 dar! a) b) 1.03 Stelle auf der Zahlengeraden die Zahlen ‒50, ‒25, ‒10, 0 und 20 dar! a) b) 1.04 Gib die ganzen Zahlen an, die auf der Zahlengeraden durch Markierungen dargestellt sind! a) b) 1.05 Setze das Kleiner-Zeichen oder das Größer-Zeichen korrekt ein! a) 0 ‒1 d) 20 ‒20 g) ‒19 ‒20 j) ‒99 ‒100 b) ‒4 ‒5 e) 14 ‒13 h) 64 65 k) 98 ‒99 c) ‒11 ‒10 f) ‒31 ‒32 i) ‒45 ‒46 l) 0 ‒327 1.06 Ordne die ganzen Zahlen in einer Kleiner-Kette! a) 3, ‒8, ‒12, 6, ‒1, 0 c) 11, ‒27, ‒14, ‒13, 19, 42 e) 99, 14,‒101, 92, ‒89, ‒88 b) ‒21, 12, ‒12, 2, ‒15, 20 d) ‒45, ‒54, ‒78, ‒25, ‒33, ‒4 f) ‒257, ‒275, ‒572, 72, 57, ‒725 1.07 Ordne die ganzen Zahlen in einer Größer-Kette! a) 5, 9, ‒5, 2, ‒9, ‒2 c) ‒2, ‒35, 19, 51, ‒32, ‒13 e) 112, ‒99, 34, ‒136, ‒189, 98 b) 16, 34, ‒24, ‒1, 0, ‒23 d) 94, ‒85, 23, ‒39, ‒46, ‒28 f) 169, 523, ‒523, ‒196, ‒169, 96 1.08 Maya hat 15 € auf ihrem Konto. Sie bezahlt mit ihrer Bankomatkarte 5 € für drei Kilogramm Äpfel und 20 € für ein Videospiel. 1) Stelle die Kontobewegungen auf der Zahlengeraden dar! 2) Gib ihren neuen Kontostand an und beschreibe diesen mit Worten! 1.09 Im Schigebiet Altenmarkt-Zauchensee hat es am Montag der zweiten Februarwoche zu Mittag 3 °C. Bis 18 Uhr sinkt die Temperatur um 7°C ab und bis Mitternacht um weitere 2 °C. 1) Stelle die Temperaturänderungen auf der Zahlengeraden dar! 2) Gib die Temperatur um Mitternacht an! 3) Berechne, um wie viel Grad Celsius die Temperatur von Mittag bis Mitternacht gefallen ist! 1.10 Berechne! a) 4 – 7 c) 35 – 48 e) 119 – 134 + 55 g) 22 – 38 – 45 + 13 b) ‒3 + 8 d) ‒21 – 67 f) ‒34 + 73 – 92 h) ‒27 + 24 + 18 – 15 DI 0 1 ‒1 ‒2 ‒3 ‒4 ‒5 2 3 4 5 0 2 ‒2 ‒4 ‒6 ‒8 ‒10 ‒12 4 6 8 10 12 14 DI 0 10 ‒10 ‒20 ‒30 ‒40 ‒50 ‒60 20 30 40 50 60 100 150 50 0 ‒50 ‒100 ‒150 ‒200 200 DI 200 0 ‒200 ‒400 400 0 ‒300 ‒600 ‒900 300 600 900 rk rk rk rk DI rk DI rk Sprachliche Bildung und Lesen 1 15 Mit ganzen Zahlen rechnen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
1.2 Ganze Zahlen addieren und subtrahieren Die klammernschreibweise 1.11 Berechne die Summe der beiden Kontostände! a) Frau Henrich hat zwei Konten. Der Kontostand bei Bank A lautet 450 €, der Kontostand bei Bank B lautet 1 200 €. b) Herr Dieckmann hat zwei Konten. Der Kontostand bei Bank A lautet 600 €, der Kontostand bei Bank B lautet ‒800 €. Lösung: a) (+450€) + (+1200€) = 1650€ b) (+600€) + (‒800€) = ‒200€ 1.12 Berechne das Lebensalter! Schreibe die Rechnung mit Klammern an und stelle die Lebenszeit als Strecke auf einer Zahlengeraden dar! a) Der österreichische Mathematiker Leopold Vietoris wurde im Jahr 1891 geboren und ist im Jahr 2002 gestorben. b) Der römische Geschichtsschreiber Titus Livius wurde im Jahr 59 v. Chr. geboren und ist im Jahr 17 n. Chr. gestorben. c) Der griechische Philosoph Aristoteles wurde im Jahr 384 v. Chr. geboren und ist im Jahr 322 v. Chr. gestorben. Lösung: a) (+2002) – (+1891) = 111 Leopold Vietoris wurde 111 Jahre alt b) (+17) – (‒59) = 76 Titus Livius wurde 76 Jahre alt. c) (‒322) – (‒384) = 62 Aristoteles wurde 62 Jahre alt. Auch bei negativen Summanden spricht man von einer summe ganzer zahlen, und auch bei negativen Minuenden bzw. Subtrahenden spricht man von einer Differenz ganzer zahlen. Beim Addieren (Subtrahieren) positiver und negativer Zahlen ist es zweckmäßig, um jede Zahl klammern zu setzen, da diese meist rechenzeichen von Vorzeichen trennen sollen. Bemerkung: Eine Schreibweise wie +600 + ‒800 oder +17 – ‒59 ist nicht zulässig. AufgABEn 1.13 Berechne die Summe der beiden Kontostände! Schreibe die Rechnung mit Klammern an! a) Konto A: 120 €; Konto B: 410 € c) Konto A: ‒190 €; Konto B: 50 € b) Konto A: 280 €; Konto B: ‒100 € d) Konto A: ‒150 €; Konto B: ‒450 € 1.14 Berechne das Lebensalter! Stelle die Rechnung mit Klammern und auf der Zahlengeraden dar! a) Der griechische Dichter Sophokles wurde 496 v. Chr. geboren und ist 406 v. Chr. gestorben. b) Der erste römische Kaiser Augustus wurde 63 v. Chr. geboren und ist 14 n. Chr. gestorben. 1.15 Stelle die Rechnung mit Klammern und auf der Zahlengeraden dar! a) Cäsar wurde 100 v. Chr. geboren und 56 Jahre alt. Gib sein Sterbejahr an! b) Kleopatra ist 30 v. Chr. gestorben und wurde 39 Jahre alt. Gib ihr Geburtsjahr an! rk Leopold Vietoris rk 1891 111 Jahre 2002 59 v. Chr. 0 76 Jahre 17 n. Chr. 384 v. Chr. 62 Jahre 322 v. Chr. rk rk rk 16 k1 Zahlen und Maẞe Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
änderungen darstellen und beschreiben 1.16 In regelmäßigen Abständen werden Umfragen durchgeführt, in denen das Vertrauen in Politikerinnen und Politiker durch Punkte beschrieben wird, dabei bedeutet 0 Punkte neutral. 1) Beschreibe die Veränderungen des Vertrauens in die durch Farben dargestellten Personen von 2022 (links) zu 2023 (rechts) mit ganzen Zahlen! 2) Deute die Veränderungen in Worten! 1.17 Florian fährt von seinem Büro im siebenten Stock mit dem Aufzug zwei Stockwerke nach unten, um seine Kollegin Sara zum Mittagessen abzuholen. Gemeinsam fahren sie weitere sechs Stockwerke hinunter, um in der Kantine zu essen. Anschließend geht Sara noch eine Etage nach unten um ihr Smartphone zu holen, welches sie im Umkleideraum vergessen hat. 1) Stelle die Bewegungen von Florian bzw. Sara auf einer Zahlengeraden dar! 2) Gib an, in welchem Stockwerk sich die Kantine bzw. der Umkleideraum befindet! 3) Berechne, wie viele Stockwerke Sara vom Umkleideraum hinauffahren muss, um in Florians Büro zu kommen! 1.18 Das Positiv-Negativ-spiel Für dieses Spiel sind ein weißer Würfel („Pluswürfel''), ein roter Würfel („Minuswürfel") und Spielfiguren nötig. Verwendet die Spielfeldvorlage aus dem digitalen Zusatzmaterial! Zu Beginn stehen alle Spielfiguren auf dem Feld 0. Beim Würfeln gilt: Die angezeigte Augenzahl des „Pluswürfels" zieht man nach rechts, die angezeigte Augenzahl des ,,Minuswürfels" nach links. 1) Spielt vier Durchgänge mit der Würfelfolge weiß-rot-weiß-rot! Wessen Figur am Schluss am weitesten rechts steht, hat gewonnen. ZB: (+ 3) + (‒6) + (+ 2) + (‒4) = (‒5) 3 nach rechts | 6 nach links | 2 nach rechts | 4 nach links 5 nach links und dann und dann und dann 2) Spielt drei Durchgänge mit der Würfelfolge weiß-rot-weiß! Für den zweiten und dritten Zug ist nun das Gegenteil auszuführen. Wessen Figur am Schluss am nächsten bei 0 steht, hat gewonnen. ZB: (+ 6) – (‒2) – (+ 1) = (+ 7) 6 nach rechts | 2 nach links | 1 nach rechts 7 nach rechts und dann das Gegenteil von und dann das Gegenteil von 1.19 Fortsetzung von Aufgabe 1.18: Ergänze die fehlenden Zahlen und Worte aus dem Spiel! a) (+3) + (‒4) = (‒1) Zuerst 3 nach rechts und dann ergibt . (+5) – (+2) = (+3) Zuerst und dann das Gegenteil von ergibt . rk DI 3 11 12 1 15 7 3 ‒4 rk DI MP rk C Ó Material 2k7h66 DI Politische Bildung Sprachliche Bildung Entrepreneurship Education 1 17 Mit ganzen Zahlen rechnen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
rechenregeln für das Addieren und subtrahieren ganzer zahlen 1.20 Gustav meint: „Die Rechnung (+2) + (‒5) = (‒3) kann man doch einfacher 2 – 5 = ‒3 anschreiben.“ Hat er Recht? Worin liegt der Unterschied? Lösung: Ja, Gustav hat Recht. Der Unterschied liegt darin, dass in der Klammernschreibweise mit positiven und negativen ganzen Zahlen gerechnet wird, in der einfachen Schreibweise nur mit positiven Zahlen; das Ergebnis ist jedoch negativ. 1.21 Emma denkt an das Positiv-Negativ-Spiel in Aufgabe 1.18 und behauptet: „Die Zugfolge (+3) – (‒6) bedeutet doch, dass ich 3 nach rechts und dann das Gegenteil von 6 nach links, also 6 nach rechts ziehen muss, das ergibt 9 nach rechts. Also ist die Differenz (+3) – (‒6) dasselbe wie die Summe 3 + 6. Das Ergebnis ist 9.“ Hat sie Recht? Lösung: Ja, Emma hat Recht. (+3) – (‒6) = 3 + 6 = 9 Die folgenden Regeln in klammernschreibweise und vereinfachter schreibweise sind zweckmäßige Festlegungen in der Mathematik für positive ganze Zahlen a und b: Addition: (+ a) + (+ b) = a + b subtraktion: (+ a) – (+b) = a – b (‒a) + (‒b) = ‒a – b (‒a) – (‒b) = ‒a + b (+ a) + (‒b) = a – b (+ a) – (‒b) = a + b (‒a) + (+b) = ‒a + b (‒a) – (+b) = ‒a – b 1.22 An einem Tag fällt die Temperatur zwischen 18 Uhr und 20 Uhr um 2 °C, zwischen 20 Uhr und 22 Uhr um 3 °C. Um wie viel Grad ist die Temperatur zwischen 18 Uhr und 22 Uhr gefallen? 1) Stelle dies mit Hilfe der Klammernschreibweise und der vereinfachten Schreibweise dar! 2) Veranschauliche dies mit Hilfe der Pfeildarstellung! Lösung: 1) (‒2) + (‒3) = ‒2 – 3 = ‒5 2) Sie ist um 5 °C gefallen. 1.23 Der Wasserstand eines Flusses sinkt um 4 cm. In der folgenden Woche steigt er um 7cm. Gib die Veränderung des Wasserstands für beide Wochen insgesamt an! 1) Stelle dies mit Hilfe der Klammernschreibweise und der vereinfachten Schreibweise dar! 2) Veranschauliche dies mit Hilfe der Pfeildarstellung! Lösung: 1) (‒4)+(+7)=‒4+7=3 2) Es ist insgesamt um 3 cm gestiegen. 1.24 Desirées Kontostand ist ‒10 €. Sie zahlt 10 € ein. Wie lautet der neue Kontostand? 1) Stelle dies mit Hilfe der Klammernschreibweise und der vereinfachten Schreibweise dar! 2) Veranschauliche dies mit Hilfe der Pfeildarstellung! Lösung: 1) (‒10) + (+10) = ‒10 + 10 = 0 2) Der neue Kontostand lautet 0 €. DI VB DI VB MP DI Ó Demo i64q97 ‒ 3 ‒ 5 ‒ 2 MP DI ‒ 4 + 3 + 7 MP DI ‒ 10 + 10 18 k1 Zahlen und Maẞe Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Ist a eine ganze Zahl, so nennt man ‒a die Gegenzahl zu a. Es gilt: a + (‒a) = (‒a) + a = 0. AufgABEn 1.25 Gib in der vereinfachten Schreibweise an und berechne! a) (+2) + (+7) c) (+6) + (‒9) e) 0 + (‒7) g) (‒14) + (+3) i) (+23) + (‒1) b) (+5) + (‒1) d) (‒1) + (+8) f) (‒9) + (+13) h) (‒8) + (‒8) j) (‒15) + (+18) 1.26 Gib in der vereinfachten Schreibweise an und berechne! a) (+1) – (+9) c) (+8) – (‒12) e) (‒7) – (‒9) g) (‒6) – (+20) i) (‒12) – (+5) b) (+3) – (‒7) d) (‒3) – (+10) f) 0 – (‒26) h) (‒9) – (‒9) j) 0 – (+ 6) 1.27 Gib in der vereinfachten Schreibweise an und berechne! a) (+2) + (‒4) – (+7) c) (+10) – (‒6) + (+2) e) (‒12) – (‒8) + (‒7) – (+3) b) (‒5) – (‒1) + (‒3) d) (‒5) + (‒1) – (‒1) f) (‒4) – (‒21) – (‒6) – (‒15) 1.28 Veranschauliche mit Hilfe der Pfeildarstellung und berechne! a) (+1) + (+6) c) (+5) + (‒6) e) (‒8) + (‒6) g) (‒8) + (+1) i) (+4) + (‒2) b) (+3) + (‒2) d) (‒2) + (+4) f) (‒1) + (+1) h) (‒7) + (‒2) j) (‒9) + (+10) 1.29 An einem Tag fällt die Temperatur zwischen 18 Uhr und 20 Uhr um 3 °C, zwischen 20 Uhr und 22 Uhr um weitere 4 °C. 1) Um wie viel Grad Celsius ist die Temperatur zwischen 18 Uhr und 22 Uhr gefallen? 2) Stelle dies mit Hilfe der Klammernschreibweise und der vereinfachten Schreibweise dar! 3) Veranschauliche dies mit Hilfe der Pfeildarstellung! 1.30 Eine Firma schreibt in der ersten Kalenderwoche 370 € Verlust, in der zweiten Kalenderwoche macht sie 225€ Gewinn. 1) Stelle dies mit Hilfe der Klammernschreibweise und der vereinfachten Schreibweise dar! 2) Hat die Firma in diesen beiden Wochen Gewinn oder Verlust gemacht? Nenne den Betrag! 3) Veranschauliche dies mit Hilfe der Pfeildarstellung! 1.31 István klettert an einer Kletterwand. Er ist an einem Rettungsseil gut gesichert. Von einem Haltepunkt aus steigt er zunächst fünf Meter hinauf, dann rutscht er ab und fällt – am Seil hängend – sieben Meter nach unten. Dann steigt er zwei Meter hinauf. 1) Wie viele Höhenmeter ist er danach vom Haltepunkt entfernt? 2) Veranschauliche dies mit Hilfe der Pfeildarstellung! 1.32 Gib die Gegenzahl zu a) 10, b) ‒15 an! Lösung: a) Die Gegenzahl zu 10 ist ‒10. b) Die Gegenzahl zu ‒15 ist ‒ (‒15) = 15. 1.33 Gib die Gegenzahl zu a) 8, b) 100, c) ‒4, d) ‒92, e) x, f) ‒y an! 1.34 Veranschauliche a) (+3) – (‒2), b) (+1) – (+5) mit Hilfe der Pfeildarstellung und berechne! Lösung: a) b) (+3)–(‒2)=3+2=5 (+1)–(+5)=1–5=‒4 rk DI rk DI rk DI Ó Übung sr9ay5 rk DI rk DI rk DI rk DI MP MP rk MP DI + 3 + 5 – (‒ 2) = + 2 + 1 ‒ 4 – (+ 5) = ‒ 5 Wirtschafts-, Finanz- und Verbraucher/innenbildung 1 19 Mit ganzen Zahlen rechnen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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