Proportionen 5.28 Der Inhalt einer Packung Gummibärchen wird zwischen Nina und Selina im Verhältnis 23 geteilt. Nina bekommt 14 Gummibärchen. Wie viele bekommt Selina? lösung: Das Verhältnis 23 ist gleich dem Verhältnis von 14 zur Anzahl s von Selinas Bärchen. Dieser Zusammenhang lässt sich mithilfe einer Gleichung beschreiben: 23 = 14s w 2 _ 3 = 14 _ s Durch richtiges Erweitern mit 7 erhält man 2 _ 3 = 14 _ 21 w s = 21 Selina bekommt 21 Gummibärchen. Verbindet man zwei Verhältnisse ab und cd durch ein Gleichheitszeichen, so erhält man eine Gleichung der Form ab = cd [lies: „a verhält sich zu b wie c zu d.” ] mit b, d ≠ 0. Eine Gleichung dieser Art nennt man Verhältnisgleichung oder Proportion. In einer Proportion ab = cd bezeichnet man a und d als Außenglieder und b und c als Innenglieder. Da Verhältnisse als Brüche angeschrieben werden können und b, d ≠ 0 ist, dürfen wir bei der Gleichung Äquivalenzumformungen durchführen. (1) ab = cd (1) ist eine Verhältnisgleichung (Proportion), (2) a _ b = c _ d |·b (2) ist eine Bruchgleichung, a = b·c _ d |·d (3) a·d = b·c (3) ist eine Produktgleichung. Eine Verhältnisgleichung ab = cd lässt sich als Produktgleichung a·d = b·c angeben. 5.29 Fortsetzung Aufgabe 5.28: Löse die Aufgabe, indem du die Proportion in eine Produktgleichung („Produkt der Außenglieder gleich Produkt der Innenglieder“) umformst! lösung: 23 = 14s w 2·s = 3·14 w s = 21 AufgaBEn 5.30 Zeige, dass die Proportion richtig ist, indem du 1) die Verhältniszahl berechnest, 2) das Produkt der Außenglieder mit dem Produkt der Innenglieder vergleichst! a) 52 = 156 b) 2,54 = 2032 c) 3 _ 4 1,5 = 36 d) 1221 = 814 e) 0,8 2 _ 5 = 94,5 5.31 Zeige, dass die Proportion falsch ist! Ändere die 1) erste, 2) zweite, 3) dritte, 4) vierte Größe so ab, dass die Proportion richtig ist! a) 25 = 38 b) 34 = 28 c) 712 = 610 d) 92 = 123 e) 1005 = 753 f) 210 = 48 5.32 Schreibe die Proportion als Produktgleichung an und löse diese! a) 2x = 515 c) 122 = y14 e) a2,5 = 4,60,5 g) 4 _ 5 2 _ 15 = c 1 _ 3 b) z4 = 305 d) 102,5 = 8p f) 0,1b = 73,5 h) 1 _ 3 5 _ 6 = 2 _ 9 d rk rk rk VB rk VB rk DI 112 k2 varIaBlen und FunKtIonen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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