zinseszinsen und kapital nach n Jahren 6.63 Mara möchte das Prinzip der Zinseszinsen verstehen und stellt sich vor, 100 € für mehrere Jahre auf ein Konto zu legen und jedes Jahr sagenhafte 20 % Zinsen zu bekommen. Sie überlegt so: Nach einem Jahr würde sie 100 €·“ 1 + 20 _ 100 § = 100 €·1,2 = 120 € erhalten. Im darauffolgenden Jahr müssten die 120 € wieder mit 20 % verzinst werden. Ergänze Maras Überlegungen für n Jahre! Lösung: Es ist K = 100 € und p % = 20 %. Daher ist K1 = 100·1,2 = 120 (€). Es ist K1 = 120€ und p% = 20%. Daher ist K2 = 120·1,2 = (100·1,2)·1,2 = 144 (€). Dafür kann man schreiben: K2 = 100·1,2·1,2 = 100·1,2 2 Dementsprechend ist K3 = ((100·1,2)·1,2)·1,2 = 100·1,2 3 = 172,80 (€) Liegt das Kapital von 100 € also n Jahre auf dem Konto, gilt: Kn = 100·1,2 n Häufig wird ein Kapital über mehrere Jahre hinweg verzinst. Dabei werden die Zinsen des ersten Jahres zum Kapital addiert und im darauffolgenden Jahr mitverzinst usw. Man spricht daher von zinseszinsen. Wird ein Kapital K mit einem Zinssatz p % für n Jahre verzinst, gilt die zinseszinsformel: kn = k·2 1 + p _ 100 3 n Dabei ist Kn das kapital nach n Jahren. Beachte: Das zinseszinsmodell ist kein lineares Wachstumsmodell. AufgABEn 6.64 Laurenz eröffnet ein Jugendsparkonto und legt 500 € ein.Der jährliche effektive Zinssatz beträgt 1,5 %. Berechne das Kapital nach 1) einem Jahr, 2) zwei Jahren, 3) drei Jahren, 4) vier Jahren, 5) n Jahren, wenn Laurenz in diesem Zeitraum weder Geld abhebt noch Geld dazulegt! 6.65 Es sei K = 8 000 € das Anfangskapital eines Sparkontos. Berechne das Kapital nach n Jahren! a) peff %=2%;n=3 c) peff %=1%;n=4 e) peff %=3%;n=5 b) peff %=2,5%;n=5 d) peff %=0,8%;n=6 f) peff %=0,5%;n=10 6.66 Eine Firma investiert 5 000 € bei einer jährlichen Verzinsung von 2 %. 1) Berechne den effektiven Zinssatz peff %! 2) Wie viel Geld hat die Firma nach fünf Jahren? 6.67 Eine Unternehmerin investiert 25 000 € bei einer jährlichen Verzinsung von 2,5 %. 1) Berechne den effektiven Zinssatz peff %! 2) Wie viel Geld hat die Unternehmerin nach acht Jahren? 6.68 Jan möchte 500 € für zehn Jahre auf ein Sparkonto legen. Er hat zwei Optionen zur Auswahl: Option 1: ein Sparkonto mit einem jährlichen effektiven Zinssatz von 2 %. Option 2: ein Sparkonto mit einem jährlichen effektiven Zinssatz von 3 % in den ersten fünf Jahren und mit einer jährlichen Verzinsung von 1 % in den restlichen fünf Jahren. Wie viel Geld hat Jan nach zehn Jahren auf dem Konto, wenn er sich für 1) Option 1, 2) Option 2 entscheidet? Welche Option ist für Jan die bessere und warum? MP Rk K1 K2 MP DI Rk MP Rk MP Rk MP Rk VB Wirtschafts-, Finanz- und verbraucher/innenbildung 6 135 WachstUMs- Und ABnahMeModelle Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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