9.5 Volumen, Masse und Dichte von Pyramiden Volumen einer Pyramide 9.96 In der Vorweihnachtszeit basteln Katrin und Raoul Kerzen. Katrin verwendet eine prismenförmige Gussform, Raouls Form hat die Gestalt einer Pyramide. Beide Formen haben gleiche Grundflächen und gleiche Höhen. Nachdem Katrin und Raoul aus je zwei Litern Wachs Kerzen gegossen haben bemerken sie, dass Raoul dreimal so viele Kerzen hat wie Katrin. Katrin glaubt: „Haben ein Prisma und eine Pyramide gleiche Grundflächeninhalte und gleiche Höhen, so ist das Volumen des Prismas dreimal so groß wie das der Pyramide. Umgekehrt beträgt das Volumen der Pyramide ein Drittel des Volumens des Prismas.“ Hat Katrin Recht? Argumentiere mit Hilfe der Grafik! lösung: Dem Würfel ABCDEFGH mit der Kantenlänge a können sechs gleich große Pyramiden so eingeschrieben werden, dass sie den Würfel vollständig ausfüllen. Die Pyramide ABCDS ist blau hervorgehoben. Die anderen fünf Pyramiden sind FEHGS, EADHS, BFGCS, DCGHS und EFBAS. Da alle diese Pyramiden dasselbe Volumen haben, ist das Volumen einer solchen Pyramide der sechste Teil des Würfelvolumens! V Würfel = a·a·a = a·a·2 h w V Pyramide = V Würfel _ 6 = a·a·2 h __ 6 = a·a·h _ 3 Setzt man in der letzten Formel a·a = G, so erhält man V = G·h _ 3 als Formel zur Berechnung des Volumens einer Pyramide. Diese für den Spezialfall eines Würfels und einer quadratischen Pyramide gezeigte Formel gilt für jede Pyramide. Ist G der Inhalt der Grundfläche und h die Höhe einer Pyramide, so gilt für das Volumen der Pyramide: V = G·h _ 3 (Volumen = Grundflächeninhalt mal Höhe geteilt durch 3) AufgaBEn 9.97 Erkläre anhand eines Würfels PQRSTUVW mit der Seitenlänge a die Formel für das Volumen V einer Pyramide mit G = a2 und der Höhe 0,5·a! Verwende als Hilfe die Aufgabe 9.96! 9.98 Berechne das Volumen V einer quadratischen Pyramide mit der Grundkantenlänge a und der Pyramidenhöhe h! a) a = 5cm,h = 3cm b) a = 35 mm, h = 71 mm c) a = 6,4cm,h = 9mm d) a = 2,5m,h = 0,4m 9.99 Wie groß ist das Volumen V einer geraden Pyramide mit der Höhe h, deren Grundfläche ein Rechteck mit den Seitenlängen a und b ist? Berechne! a) a = 6cm,b = 3cm,h = 2cm b) a = 4,5m,b =1,9m,h =7m Ó Demo f42mv7 DI VB B A a a a C D E S h h h F G H 1 3 Rk Rk Rk sprachliche Bildung 222 k3 FIgUren Und Körper Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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