9.7 Auswirkungen von längenänderungen 9.126 Ein Prisma hat eine quadratische Grundfläche mit der Seitenlänge a und die Höhe h. Berechne, um wie viel Prozent sich das Volumen des Prismas ändert, wenn 1) die Höhe h, 2) die Seitenlänge a, 3) Seitenlänge a und Höhe h um 10 % ihrer Länge vergrößert werden! lösung: V = G·h, dh. V = a·a·h Wird eine Zahl x um 10 % vergrößert, so ist die neue Zahl 1,1·x. 1) V1 = a·a·(1,1·h) = 1,1·(a·a·h) = 1,1·V Das Volumen V1 ist das 1,1-Fache von V, somit ist V1 um 10 % größer als V. 2) V2 = (1,1·a)·(1,1·a)·h = 1,1·1,1·(a·a·h) = 1,1 2·V = 1,21·V Das Volumen V2 ist das 1,21-Fache von V, somit ist V2 um 21 % größer als V. 3) V3 = (1,1·a)·(1,1·a)·(1,1·h) = 1,1·1,1·1,1·(a·a·h) = 1,1 3·V = 1,331·V Das Volumen V3 ist das 1,331-Fache von V, somit ist V3 um 33,1 % größer als V. Wird bei einem dreidimensionalen Körper nur eine von drei normal zueinander stehenden längen auf das k-fache verändert, so verändert sich auch das Volumen auf das k-fache. Werden zwei bzw. drei dieser längen jeweils auf das k-fache verändert, so verändert sich das Volumen auf das k2-fache bzw. das k3-fache. Wird eine dieser Längen auf das k 1-Fache, die zweite auf das k2-Fache, die dritte auf das k3-Fache verändert, so verändert sich das Volumen auf das k1·k2·k3-Fache. AufgaBEn 9.127 Ein Prisma hat eine quadratische Grundfläche mit der Seitenlänge a und die Höhe h. Berechne, um wie viel Prozent sich das Volumen des Prismas ändert, wenn 1) die Höhe h, 2) die Seitenlänge a, 3) die Seitenlänge a und die Höhe h um 20% ihrer Längen vergrößert werden! 9.128 Ein Prisma hat eine quadratische Grundfläche mit der Seitenlänge a und die Höhe h. Berechne, um wie viel Prozent sich das Volumen des Prismas ändert, wenn 1) die Höhe h, 2) die Seitenlänge a, 3) die Seitenlänge a und die Höhe h um 30% ihrer Längen verkleinert werden! 9.129 Ein Prisma hat eine rechteckige Grundfläche mit den Seitenlängen a und b sowie die Höhe h. Berechne, um welchen Faktor sich das Volumen des Prismas ändert, wenn a) a, b und h verdoppelt, b) a und b verdoppelt und h halbiert, c) a halbiert, b verdoppelt und h vervierfacht werden! 9.130 Eine Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit der Seitenlänge a und die Höhe h. Berechne, um welchen Faktor sich das Volumen der Pyramide ändert, wenn a) a und h verdoppelt, b) a und h halbiert, c) a geviertelt und h verdoppelt, d) a verdoppelt und h halbiert werden! 9.131 Kreuze die korrekte(n) Aussage(n) für eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche an! Wird die Höhe h verdoppelt, verdoppelt sich das Volumen der Pyramide. Wird die Grundkantenlänge a halbiert, halbiert sich das Volumen der Pyramide. Wird die Höhe h halbiert, verringert sich das Volumen der Pyramide auf ein Sechstel des ursprünglichen Volumens. Wird die Grundkantenlänge a verdreifacht, verneunfacht sich das Volumen der Pyramide. 9.132 Berechne das Volumen V einer quadratischen Pyramide mit der Grundkantenlänge a = 10 cm und der Höhe h = 8cm! Beide Längen a und h werden 1) um 5cm, 2) um 5 % vergrößert. Berechne die neuen Volumina V1 und V2 und vergleiche diese mit V! Rk Rk Rk Rk Rk DI Rk VB 9 227 PrIsMa Und PyraMIde Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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