lösungen 1 Mit ganzen zahlen rechnen Mathematik und sprache 1.85 a) Beim Addieren und Subtrahieren positiver und negativer Zahlen ist es zweckmäßig, jede Zahl in Klammern zu setzen. Die Klammern helfen dabei, das Rechenzeichen (z.B. Plus oder Minus) vom Vorzeichen der Zahl zu unterscheiden. b) Das Vorzeichen gehört zur Zahl und zeigt an, ob sie positiv oder negativ ist. Das Rechenzeichen hingegen gibt an, welche Rechenoperation durchgeführt wird, zum Beispiel Addition oder Subtraktion. In der Rechnung(‒2)+(+4)=2istdasPluszwischen den Zahlen das Rechenzeichen, während‒2und+4dieVorzeichentragen. Auchin (+6)‒(‒3)=9istdasMinuszwischen den Zahlen das Rechenzeichen, und +6bzw.‒3habenjeweilseinVorzeichen. c) a und b sind positive ganze Zahlen. Addition: (+a)+(+b)=a+b (‒a)+(‒b)=‒a‒b (+a)+(‒b)=a‒b (‒a)+(+b)=‒a+b Subtraktion: (+a)‒(+b)=a‒b (‒a)‒(‒b)=‒a+b (+a)‒(‒b)=a+b (‒a)‒(+b)=‒a‒b Multiplikation: (+a)×(+b)=a×b „Plus mal plus ist plus.“ (‒a)×(‒b)=a×b „Minus mal minus ist plus.“ (+a)×(‒b)=‒(a×b) „Plus mal minus ist minus.“ (‒a)×(+b)=‒(a×b) „Minus mal plus ist minus.“ Division: (+a)(+b)=ab „Plus durch plus ist plus.“ (‒a)(‒b)=ab „Minus durch minus ist plus.“ (+a)(‒b)=‒(ab) „Plus durch minus ist minus.“ (‒a)(+b)=‒(ab) „Minus durch plus ist minus.“ kompetenzcheck 1.89 1.90 Die Temperatur ist in diesem Zeitraum um 13 °Cangestiegen. 1.91 neuerKontostand:‒3 000 € 1.92 a) ‒167 < ‒43 < ‒2 < ‒1 < 0 < 8 < 19 < 45 b) ‒372 < ‒23 < ‒22 < ‒6 < ‒5 < 4 < 22 < 370 1.93 DerneueKontostandbeträgt‒239 €. 1.94 Nach sieben Monaten beträgt der Kontostand 167 €. 1.95 1.96 Kunigundehat115 €aufdemKontogehabt. 1.97 1) M arianengraben und Großglockner: 14 798 m 2) M arianengraben und Death Valley: 10 915 m 3) DeathValleyundApetlon:199 m 4) ApetlonundGroßglockner:3 684 m 1.98 a) 7 b) (‒4) + (‒4) + (‒4) + (‒4) + (‒4) + (‒4) = (‒24) c) (‒888)(‒37) = (+24)oder (‒888)(+24) = (‒37) 1.99 rechnung Ergebnis A (‒22)+(‒18)–(‒73)+(‒8) 25 B (‒22)·(+8)+(‒73)·(‒8) 408 c (‒73)+(‒8)–[(‒22)+(‒18)] ‒41 D [(‒22)+(‒18)]·[(‒73)–(+8)] 3 240 (73)+(‒8)+[(‒22)–(+8)] 35 [(‒22)+(‒18)]·[(‒73)–(‒8)] 2 600 (‒73)·(‒8)+(‒22)·(+8) 408 1.100 1) 2) SummederLastschriften:2 810 €, SummederGutschriften:400 € 2150€–2810€+400€=‒260€ 1.101 1.102 (‒18) – (‒13) = ‒18 + 13 = ‒5 (‒13) – (‒18) = ‒13 + 18 = 5 Da‒5≠5,giltdasKommutativgesetzfürdie Subtraktion im Bereich der ganzen Zahlen nicht. 1.103 DieZahl‒8liegtaufderZahlengeraden weiterlinksalsdieZahl‒5. 1.104 Ista > 0,giltdieRegel„Plusmalplusistplus“, alsoa·aº0,zB:(+4)·(+4) = 4·4 = 16º0. Ista < 0,giltdieRegel„Minusmalminusist plus“,also(‒a)·(‒a) = a·aº0, zB:(‒3)·(‒3) = 3·3 = 9º0. Ista = 0,ist0·0 = 0º0. 2 rationale zahlen Mathematik und sprache 2.117 a) Eine Zahl, die in Bruchdarstellung so angeschrieben werden kann, dass Zähler und Nenner jeweils ganze Zahlen sind, wobei derNenner≠ 0seinmuss,nenntmanrationale Zahl. b) D ieZahl0kannmanalsBruchdarstellen, indemderZähler0undderNennereine beliebigeZahl≠ 0ist,zB0 = 0 _ 3 = 0 _ ‒16 = 0 _ 1 = … Man kann sowohl Zahlen in endlicher als auch in periodischer Dezimaldarstellung als Bruch anschreiben, bei dem Zähler und Nenner ganze Zahlen sind, wobei der Nenner ≠ 0seinmuss. c) 1) Q ist die Menge der rationalen Zahlen. 2) Q+ ist die Menge der positiven rationalen Zahlen. 3) Q– ist die Menge der negativen rationalen Zahlen. kompetenzchecks 2.120 2.121 8 ‒ 20 _ 5 0 _ 127 2.122 zB:‒ 7 _ 32 ,‒ 3 _ 16 ,‒ 5 _ 32 2.123 2.124 13 _ 36 2.125 3 _ 4 2.126 Die Durchschnittstemperatur in dieser Woche beträgt‒2,5 °C. 2.127 ·(‒0,4) ·(‒0,4) ·(‒4) ·(‒1) ·0 2.128 2.129 21 + 5 1 _ 3 ·“ 3 _ 8 – 2 – 1 § = 7 2.130 Der Quotient zweier negativer rationaler Zahlen kann nur eine positive Zahl sein. Daher kanndasErgebnisnicht‒5sein. 2.131 > > = = < > 2.132 161 _ 990 2.133 DieZahl‒ 7 _ 4 = ‒1,75,liegtaufderZahlengeradenrechtsvonderZahl ‒ 5 _ 2 = ‒2,5. 2.134 149 _ 20 =7,45 2.135 ‒ 3 _ 5 (‒3)· 1 _ 5 2.136 1) ‒12,6 °C < ‒7,7°C < ‒5,8 °C < ‒2,1 °C 2) ‒3,4 °C < ‒0,2 °C < 2,5 °C < 6,3 °C 3) 7,5 °C < 8,3 °C < 8,4 °C < 9,2 °C D ie Differenz ist in Radstadt am größten, in Hohenems am kleinsten. 2.137 Sie hat nicht Recht. Der Fehler ist in der vierten Zeile auf der rechten Seite der Gleichung zu finden: “ ‒ 26 _ 5 §·“ ‒ 3 _ 8 § = + 26·3 _ 5·8 undnicht‒ 26·3 _ 5·8 , wie es hier steht. 3 Potenzen Mathematik und sprache 3.99 a) Eine Potenz an ist die vereinfachte Darstellung eines Produkts mit gleichen Faktoren. Der Exponent (die Hochzahl) n einer Potenz gibt an, wie oft die Basis a als Faktor mit sich selbst multipliziert wird. a·a·a·a·…·a = an n Faktoren b) B ei‒an wird die Zahl a n-mal mit sich selbst multipliziert und von diesem Produkt wird die Gegenzahl genommen. Bei (‒a)nwirddieZahl(‒a)n-malmitsich selbst multipliziert. c) 1) Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert (dividiert), indem man die Basis mit der Summe (Differenz) der Exponenten potenziert. Die Exponenten müssen jeweilsnatürlicheZahlen(außer0)sein. 0 1 000 2 000 3 000 ‒1 000 ‒2 000 ‒3 000 ‒4 000 4 000 ‒6 500 x ‒2 ‒1 0 10 4·x – 2 ‒10 ‒6 ‒2 38 Tag lastschrift in Euro gutschrift in Euro kontostand in Euro 2 150,– 3.April 350,– 1 800,– 9.April 120,– 1 920,– 11. April 1 560,– 360,– 18.April 870,– ‒510,– 25.April 280,– ‒230,– 26.April 30,– ‒260,– 0 0,5 1 1,5 ‒1,5 ‒1 ‒0,5 ‒2 ‒2,5 ‒0,3 ‒ ‒21 5 9 10 1,4 alter kontostand Ein- oder Auszahlungen neuer kontostand ‒200,30 € 350,90 € 150,60 € ‒49,40 € 250,20 € 200,80 € 1 208,30 € ‒5 000 € ‒3 791,70 € richtig falsch gegenbeispiel 2 _ 3 + 3 _ 2 ≠0 DerKehrwertvon4ist1 _ 4 . ‒1,5 ‒1 ‒2 ‒2,5 ‒3 ‒5 2 ‒ 7 4 lösungen 278 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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