Bei der Division muss zusätzlich gelten, dass die Basis nicht null sein darf, weiters muss der Exponent der Potenz im Zähler größer sein als der Exponent der Potenz im Nenner. 2) Potenzen mit gleichem Exponenten werden multipliziert (dividiert), indem man das Produkt (den Quotienten) der Basen mit dem gemeinsamen Exponenten potenziert. Die Exponenten müssen jeweilsnatürlicheZahlen(außer0)sein. Bei der Division muss zusätzlich gelten, dass die Basis der Potenz im Nenner nicht null sein darf. kompetenzcheck 3.102 a) 27·34 c) (‒4)3·“ 1 _ 10 § 5 b) 23·52·73 d) 1,872·(‒5)2·64 3.103 32 = 25 27 = 33 0,16 = 0,4 2 10 = 101 8 _ 125 = “ 2 _ 5 § 3 3.104 25 = 5 2 256 = 4 4 0,027 = 0,3 3 1 _ 81 = “ 1 _ 3 § 4 5 _ 7 = “ 5 _ 7 § 1 3.105 3.106 a) < < = b) < < = c) < = < 3.107 1) 2 8 2) 211 3.108 3.109 243,01 3.110 9 15 _ 9 8 = 9·9·9·9·9·9·9·9·9·9·9·9·9·9·9 _____ 9·9·9·9·9·9·9·9 = 9 7 oder 9 15 _ 9 8 =915 ‒ 8 = 97 3.111 1) 202Personenerhaltenum13.30 Uhrdas Video. 2) 1+20+20 2+203+204 = 168 421. DasVideokennen168 421Personen. 3.112 2+22+23+24+25+26 = 126.Biszuden Ururururgroßelternsindes126Vorfahren. 3.113 3.114 3.115 n = 3 3.116 1) 1,055·10 18 J 2) ca.1,139·10 18 J 3.117 a m·a n = a·a·a·…·a·a·a·a·…·a = a m + n m Faktoren n Faktoren (m + n)Faktoren 4 Mit Termen und gleichungen arbeiten Mathematik und sprache 4.217 a) E ine Variable ist eine unbestimmte Zahl. Ein Term ist ein sinnvoller mathematischer Ausdruck. Eine Gleichung stellt einen Zusammenhang zwischen Termen dar, die durch ein Gleichheitszeichen voneinander getrennt sind. Eine Formel ist eine allgemeingültige Gleichung. b) (A + B)2 = A2 +2AB+B2; Diese Formel lässt sich mithilfe des Flächeninhalts eines Quadrats der Seitenlänge(A+B),dasinvierTeilflächenzerlegt wird, veranschaulichen (siehe Aufgabe 4.212).DerFlächeninhaltkannentweder über die Multiplikation der beiden Seitenlängen des Quadrats oder die Addition der vier Teilflächeninhalte berechnet werden, was zur ersten binomischen Formel führt. (A – B)2 = A2 –2AB+B2; (A + B)·(A – B) = A2 – B2 c) UntereinerÄquivalenzumformungversteht man eine Elementarumformung und das Anwenden von Rechengesetzen, durch die eine Aussageform (Gleichung) in eine andere, gleichwertige Aussageform (Gleichung) übergeführt wird. kompetenzcheck 4.222 4.223 a) a2 b) a3 c) 2·a3 d) 1) (2 a)3 2) 24 a 4.224 a) a–45 = b b) a+b = 300 c) 1,25·a = b d) a = 4·b e) b = 0,4·a 4.225 a: Anzahl der verkauften Torten b: Gesamteinnahmen aus dem Verkauf c:PreisproBecherSaftin€ 4.226 a) 6x – 4y c) 7r–6s+16t+3 b) 7a + 2b d) ‒2 p2 + 10 p2 q +p q2– 8 q2 4.227 a) (5c – 3d)2 = 25 c2 – 30cd + 9d2 b) (p + 4q)2 = p2 + 8 p q + 16 q2 c) (2s – 6t)2 = 4 s2 – 24st + 36t2 d) (3x + 8y)·(3x – 8y) = 9x2 – 64 y2 4.228 4.229 ‒(‒3)3–(‒3)2+3 = 2·(‒3)2+3 ‒(‒27)–9+3 = 2·9+3 27–6 = 18+3 21 = 21 4.230 h = 5 4.231 x = 8 _ 11 4.232 a) a = 2 b _ d +c b) A = (P+s– v) __ r c) y = u _ b+z 4.233 Sei x die Länge der ersten Etappe: x+(x–44)+(x–44–17)+(x–44–17+31) = = 629 1. Etappe:191 km,2. Etappe:147km, 3. Etappe:130 km,4. Etappe:161 km 4.234 (x – 2)·[3(y + 3) – (x + 2) + (y + 6)] = …= = (x – 2)·(‒x + 4y +13) 4.235 a) m = 2 E __ v2 + 2 g h b) v = 9 _______ 2E‒2m g h __ m 4.236 Werden vom Flächeninhalt a2 die Flächeninhaltea·bundnocheinmala·babgezogen, muss b2 hinzugefügt werden, damit der Flächeninhalt(a – b)2 entsteht. 4.237 1 . Fehler:Statt‒30 u vmuss‒60 u vstehen, 2 . Fehler:Statt‒25 v2muss+25 v2 stehen, also:(6 u – 5 v)2 = 36 u2 – 60uv + 25v2 4.238 A: Gesamttreibstoffverbrauch auf der Fahrt B: Gesamtkosten des Diesels für die Fahrt 5 Verhältnisse und Proportionen Mathematik und sprache 5.44 a) Zwei Größen sind zueinander direkt proportional, wenn dem n-Fachen einer Größe das n-Fache der anderen Größe zugeordnet wird. Der Quotient der beiden Größen ist konstant. Zwei Größen sind zueinander indirekt proportional, wenn dem n-Fachen einer Größe der n-te Teil der anderen Größe zugeordnet wird. Das Produkt der beiden Größen ist konstant. b) D as Verhältnis zweier Größen a und b ist derQuotientab.EinVerhältniskannals DivisionaboderalsBrucha _ b angeschrieben werden. Beispiel1: 35=3 _ 5 =0,6. Beispiel2: 41=4 _ 1 =4 c) VerbindetmanzweiVerhältnisseabund cddurcheinGleichheitszeichen,soerhält maneineGleichungderFormab=cdmit b,d≠0.EineGleichungdieserArtnennt man Verhältnisgleichung oder Proportion. 5.47 5.48 5.49 5.50 36Körbe 5.51 18 a 5.52 500 kPa 5.53 1) N ein,weildieÄnderungvon6,0auf6,4bedeutet, dass sich der Läufer verschlechtert hat, da die Einheit Pace angibt, wie viel Zeit pro Kilometer benötigt wird. 6,0 min/km=0,1 h/kmentspricht10 km/h; 6,4 min/km=0,128 h/kmentsprichtungefähr7,8 km/h 2) langsamer/schneller 5.54 1,250,5 3 _ 4 2 _ 5 5 5 _ 2 1,8 5 _ 4 2,51 10872 158 144100 52 1 _ 2 1 _ 5 21 32 a) b) c) d) e) f) Potenz 95 6,28 (‒3)5 (‒4)3 a 6 2 3 _ 4 3 2 Basis 9 6,2 ‒3 ‒4 a 3 _ 4 Exponent 5 8 5 3 6 2 richtig falsch gegenbeispiel 22=2·2 (‒1)3=‒1 eine Billion tausend eine Trillion eine Billiarde eine Million eine Milliarde 106 109 1015 103 1018 1012 d. P. i. P. d. P. i. P. 12 14 15 18 1 2 2,5 4 5 6 10 20 200 100 80 50 40 33,3 20 10 lösungen 279 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
RkJQdWJsaXNoZXIy MjU2NDQ5MQ==