kompetenzcheck 7.167 7.168 a) A = e·h _ 2 c) A = a·h _ 2 e) A = v·h b) A = k·h d) A = c·h _ 2 f) A = (x + z)·h __ 2 7.169 GrößterUmfang:Dreieckblau. Kleinster Flächeninhalt: Dreieck orange. 7.170 u = 35,4cm 7.171 Der Flächeninhalt eines Parallelogramms kannmitderFormelA = a·ha berechnet werden. Alle drei Parallelogramme haben die Seitenlängea = 2 cmunddieselbeHöheh.Daher haben sie auch denselben Flächeninhalt. 7.172 1) A=36cm2 2) f = 10 cm 7.173 7.174 A= a·a _ 4 ,A=b·b 7.175 A=a·a,A=b·b _ 4 7.176 7.177 1) Trapez:A = 1,32 m2 2) Abfall:33 dm2 3) 20 %derSpanplatteistAbfall. 7.178 c=62mm 7.179 a) 1) u = 4 (b+c) 2) A = a (a+2 b) b) 1) u = 4 (x+y) 2) A = 2 x (x+y) c) 1) u = 6 r+7 s+2 t 2) A = 6,5s2 8 figuren vergrößern und verkleinern Mathematik und sprache 8.69 a) Kongruente Figuren stimmen in allen Seitenlängen und Winkelmaßen überein, sie haben die gleiche Gestalt und die gleiche Größe. Bei ähnlichen Figuren sind einander entsprechende Seitenlängen zueinander proportional, einander entsprechende Winkelmaßesindgleich.ÄhnlicheFigurenhaben gleiche Gestalt aber unterschiedliche Größe. Kongruenz ist ein Sonderfall der Ähnlichkeit. b) 1) Zwei Dreiecke sind einander ähnlich, wenn sie in den Verhältnissen entsprechender Seitenlängen oder in zwei Winkelmaßen oder in den Verhältnissen je zweier Seitenlängen und dem Maß des eingeschlossenen Winkels oder in den Verhältnissen zweier Seitenlängen und dem Maß des der längeren Seite gegenüberliegenden Winkels übereinstimmen. 2) Z wei Vierecke sind einander ähnlich, wenn einander entsprechende Winkel das gleiche Winkelmaß haben bzw. wenn einander entsprechende Seitenlängen im selben Verhältnis zueinander stehen. c) Soll man eine zu Strecke AB ähnliche StreckeA’B’zeichnen,sogibtderÄhnlichkeitsfaktor bzw. Streckungsfaktor an, mit welcher Zahl man die Länge der Strecke AB multiplizieren muss, um die Länge der Strecke A’B’ zu erhalten. Durch eine zentrische Streckung entstehen ähnliche Figuren, bei denen Original- und Bildpunkte auf einer Geraden durch ein Streckungszentrum Z liegen. kompetenzcheck 8.71 ¶1 ~ ¶4;¶2 ~ ¶7;¶8 ~ ¶9;¶6 ~ ¶10;¶3 t ¶5 8.72 8.73 1) 34 2) 1,05 m 3) Seitenlängen:7;Flächeninhalt7·7=49 8.74 zBc5 = 156wc·6 = 5·15wc = 12,5 cm 8.75 A‘(2 1 4),B‘(4 1 2),C‘(8 1 2),D‘(6 1 6),E‘(2 1 8) 1 2 3 4 5 6 7 8 1 O 2. Achse 1. Achse 2 3 4 5 6 7 8 A Z B C D E A’ C’ B’ D’ E’ 8.76 Die beiden Buchstaben sind einander ähnlich, weil einander entsprechende Winkel das gleiche Winkelmaß haben und einander entsprechende Seitenlängen im selben Verhältnis zueinanderstehen. 1) a) k = 1,5 b) k = 2 _ 3 2) Der Faktor k gibt an, mit welcher Zahl man die Länge einer Strecke multiplizieren muss, um eine dazu ähnliche Strecke zu konstruieren. Ist a) k > 1, so wird die Strecke vergrößert, b) k = 1,sobleibtdieLängederStrecke gleich, c) 0 < k < 1,sowirddieStreckeverkleinert. 3) Der Flächeninhalt einer Figur ändert sich mitdemQuadratdesÄhnlichkeitsfaktors. 8.77 125 % 8.78 zB Dreieck 1:3 cm,4 cm,5 cm; Dreieck 2:6 cm,8 cm,10 cm; Dreieck 3:a = 1,5 cm,b = 2 cm,c = 2,5 cm (1) D ie Dreiecke haben die gleiche Gestalt, sind aber unterschiedlich groß. (2) Einander entsprechende Winkelmaße sind in allen drei Dreiecken gleich und einander entsprechende Seitenlängen sind zueinander proportional. 8.79 a) ab = cd = ef b) ax = (a+b)z c) (a+b)a = (c+d)c = (e+f)e d) e(w+x) = (e+f)(y+z) e) wc = y(c+d) f) yz = wx 8.80 zBx3 = 22,5 w x = 2,4cm zBy1,5 = (2+2,5)2,5 w y = 2,7cm 8.81 1) Dreieck ADF ~ DreieckABC ~ DreieckFEC 2) _ BC _ AB = _ CE _ Ef _ CF _ AC = _ CE _ Bc _ AD _ EF = _ DF _ cE 3) _ CE= 12m 9 Prisma und Pyramide Mathematik und sprache 9.136 a) Prismen und Pyramiden haben jeweils ein n-Eck als Grundfläche und eine Höhe. Das Prisma hat eine zur Grundfläche kongruente Deckfläche, während die Pyramide eine Spitze hat. Die Seitenflächen eines Prismas sind Parallelogramme (Rechtecke bei geraden Prismen), bei einer Pyramide handelt es sich hierbei um Dreiecke. b) a) Das Netz eines n-seitigen Prismas setzt sich aus zwei deckungsgleichen nEcken (Grund- und Deckfläche) und n Parallelogrammen (Mantelflächen) zusammen. b) Das Netz einer n-seitigen geraden Pyramide setzt sich aus einem n-Eck (Grundfläche) und n gleichschenkeligen Dreiecken (Mantelflächen) zusammen. c) D ie Dichte ist das Verhältnis aus der Masse und dem Volumen eines Körpers. Sie ist eine materialabhängige konstante Größe. kompetenzcheck 9.138 9.139 a) b) 9.140 A: Tetraeder B: regelmäßiges gerades fünfseitiges Prisma c: Würfel D: regelmäßige gerade sechsseitige Pyramide E: gerade Pyramide mit rechteckiger Grundfläche 9.141 O = 155 cm2 9.142 h=4,5dm 9.143 m = 124 kg Trapez ACFG,ADEG,ACEG, BCFG,BDEG,BCEH, CDEJ Rechteck BCEG Parallelogramm CDEF allgemeines Viereck BCJH,HJFG rechtwinkeliges Dreieck ABG,ABH,ACE,CEF, CDE,HEG nicht rechtwinkeliges Dreieck ADE, JEF, AEG, AHG, CEJ Dreieck u A orange 13 cm 5,3 cm2 blau 13,5 cm 8,8 cm2 grün 12 cm 6 cm2 ähnlich nicht ähnlich richtig falsch lösungen 281 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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