I IV

Mathematik verstehen 3, Schulbuch

rationale zahlen in periodischer Dezimaldarstellung 2.15 Zeige, dass 0,​• 5​eine​rationale​Zahl​ist! Lösung: Es​sei​x = 0,​ • 5​= 0,5555…,​dann​ist​das​Zehnfache​10·x = 5,​• 5​= 5,5555… In beiden Fällen sind die Nachkommaziffern die gleichen. Wir​ziehen​x​von​10·x​ab: 10·x = 5,5555… – x = 0,5555… 9·x = 5 Also​ist​x = 59 = ​5 _ 9 ​ Eine Bruchdarstellung von 0,​• 5​ist​ ​5 _ 9 ​. Daher ist 0,​ • 5​eine​rationale​Zahl. 2.16 Zeige, dass 0,​ _ 31​eine​rationale​Zahl​ist! Lösung: Es​sei​x = 0,​ _ 31​= 0,313131…,​dann​ist​das​Hundertfache​100·x = 31,​ _ 31​= 31,313131 … In beiden Fällen sind die Nachkommaziffern die gleichen. Wir​ziehen​x​von​100·x​ab: 100·x = 31,313131 … – x = 0,313131 … 99·x = 31 Also​ist​x = 3199 = ​31 _ 99 ​ Eine Bruchdarstellung von 0,​ _ 31​ist​ ​31 _ 99 ​. Daher ist 0,​ _ 31​eine​rationale​Zahl. 2.17 Zeige, dass a) 0,6 ​ • 2​, b) 0,28 ​• 7​eine rationale Zahl ist! Lösung: a) Es​sei​x = 0,6​ • 2​= 0,62222…,​dann​ist​das​Zehnfache​10·x = 6,​ • 2​= 6,2222…​ und​das​Hundertfache​100·x = 62,​ • 2​= 62,2222… Wir​ziehen​10·x​von​100·x​ab: 100·x = 62,2222… – 10·x = 6,2222… 90·x = 56 Also​ist​x = 5690 = ​56 _ 90 ​ Eine​Bruchdarstellung​von​0,6​ • 2 ​ist ​56 _ 90 ​.​Daher​ist​0,6​ • 2​eine rationale Zahl. b) Es​sei​x = 0,28​• 7​= 0,287777…,​dann​ist​das​Hundertfache​100·x = 28,​• 7​= 28,7777…​ und​das​Tausendfache​1 000·x = 287,​• 7​= 287,7777… Wir​ziehen​100·x​von​1 000·x​ab: 1000·x = 287,7777… – 100·x = 28,7777… 900·x = 259 Also​ist​x = 259900 = ​259 _ 900 ​ Eine Bruchdarstellung von 0,28​• 7 ​ist ​259 _ 900 ​. Daher ist 0,28​ • 7​eine rationale Zahl. Die Vorperiode​in​der​Zahl​0,6​ • 2​[sprich:​null​Komma​sechs​Periode​zwei]​ist​6,​ in der Zahl 0,28​• 7​[sprich: null Komma zwei acht Periode sieben] ist sie 28. Die Bruchdarstellung einer Zahl mit periodischen Nachkommaziffern lässt sich auch so ermitteln: Man betrachtet die Zahl, die aus Vorperiode und Periode gebildet werden kann. Im zähler steht die Differenz aus der zahl und deren Vorperiode. Im Nenner schreibt man für jede Periodenziffer je einen Neuner, für jede Vorperiodenziffer dahinter je einen Nuller. Beispiel: 0,2​ _ 87​ Zähler: 287 – 2 = 285 Nenner: zwei Periodenziffern, eine Vorperiodenziffer, d h: 990 Eine Bruchdarstellung lautet daher ​285 _ 990 ​. Für​Zahlen​mit​nichtnegativen​Vorkommastellen,​zB​3,2​ _ 87​,​erhält​man​somit​zB​3 ​285 _ 990 .​ MP rk MP rk MP rk 2 33 ratIonale Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

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