Mathematik verstehen 4, Schulbuch

α r M QuickMedia App für digitale Zusatzmaterialien Mathematik verstehen SALZGER | GERM | RIEDLER | SINGER | ULOVEC 4

Mathematik verstehen 4, Schülerbuch + E-Book Schulbuchnummer 225374 Mathematik verstehen 4, Schülerbuch mit E-BOOK+ Schulbuchnummer 225376 Mathematik verstehen 4, Schülerbuch E-Book Solo Schulbuchnummer 225377 Mathematik verstehen 4, Schülerbuch E-BOOK+ Solo Schulbuchnummer 225379 Mit Bescheid des Bundesministeriums Bildung vom 23. Mai 2025, GZ 2023-0.757.217, gemäß § 14 Absatz 2 und 5 des Schulunterrichtsgesetzes, BGBl. Nr. 472/86, und gemäß den derzeit geltenden Lehrplänen als für den Unterrichtsgebrauch an allgemein bildenden höheren Schulen - Unterstufe und Mittelschulen für die 4. Klasse im Unterrichtsgegenstand Mathematik (Lehrplan 2023) geeignet erklärt. Dieses Werk wurde auf der Grundlage eines zielorientierten Lehrplans verfasst. Konkretisierung, Gewichtung und Umsetzung der Inhalte erfolgen durch die Lehrerinnen und Lehrer. Liebe Schülerin, lieber Schüler, du bekommst dieses Schulbuch von der Republik Österreich für deine Ausbildung. Bücher helfen nicht nur beim Lernen, sondern sind auch Freunde fürs Leben. Kopierverbot Wir weisen darauf hin, dass das Kopieren zum Schulgebrauch aus diesem Buch verboten ist – § 42 Abs. 6 Urheberrechtsgesetz: „Die Befugnis zur Vervielfältigung zum eigenen Schulgebrauch gilt nicht für Werke, die ihrer Beschaffenheit und Bezeichnung nach zum Schul- oder Unterrichtsgebrauch bestimmt sind.“ 1. Auflage (Druck 0001) © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2026 www.oebv.at Alle Rechte vorbehalten. Jede Art der Vervielfältigung, auch auszugsweise, gesetzlich verboten. Redaktion: Dipl.-Ing. Dr. techn. Frederic Brünner, Wien Herstellung: Ing. Bianca Mannsberger, Wien Umschlaggestaltung: Jens-Peter Becker, normaldesign GbR, Schwäbisch Gmünd Layout: Jens-Peter Becker, normaldesign GbR, Schwäbisch Gmünd Illustrationen: Mag. Adam Silye, Wien Technische Zeichnungen: Ing. Mag. Dr. Herbert Löffler, Wien; Da-TeX Gerd Blumenstein, Leipzig Karten: Freytag-Berndt u. Artaria KG, Wien Satz: Da-TeX Gerd Blumenstein, Leipzig Druck: Ferdinand Berger & Söhne Ges.m.b.H., Horn ISBN 978-3-209-11902-5 (Mathematik verstehen SB 4 + E-Book) ISBN 978-3-209-11914-8 (Mathematik verstehen SB 4 mit E-BOOK+) ISBN 978-3-209-13096-9 (Mathematik verstehen SB 4 E-Book Solo) ISBN 978-3-209-13100-3 (Mathematik verstehen SB 4 E-BOOK+ Solo) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

www.oebv.at 4 Mathematik verstehen OStR Prof. Mag. Dr. Bernhard Salzger Prof.in Mag.a Andrea Germ Prof.in Mag.a Barbara Riedler HS-Prof.in Mag.a Dr.in Klaudia Singer MMag. Dr. Andreas Ulovec Unter Mitarbeit von: Prof.in Mag.a Judith Bachmann, MPOS Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Erklärungen zum Buch Wichtige Inhalte sind durch einen orangefarbenen Hintergrund hervorgehoben. Wichtige Begriffe sind zusätzlich fett geschrieben. 1.01 Musteraufgaben sind durch eine grüne Hinterlegung hervorgehoben. Lösung: Hier ist die gesamte Bearbeitung der Aufgabe ersichtlich. Aufgaben Die Farbe neben der Aufgabennummer gibt die Art der Aufgabe an. 1.02 … grundlegende Aufgaben 1.03 … weiterführende Aufgaben 1.04 … anspruchsvolle Aufgaben Die Kompetenzbereiche sind im Farbbalken ersichtlich. 1.05 … Modellieren und Problemlösen 1.06 … Rechnen und Konstruieren 1.07 … Darstellen und Interpretieren 1.08 … Vermuten und Begründen 1.09 Schraffierte Aufgabenbalken kennzeichnen jene Aufgaben, die laut Lehrplan nicht verbindlich sind, sondern geeignete Möglichkeiten zur Schwerpunktsetzung im Unterricht bieten. Diese Aufgaben können in Gruppenarbeit gelöst werden. Diese Aufgaben können in Partnerarbeit gelöst werden. Dieses Symbol bedeutet, dass hier die Verwendung des Computers empfohlen wird. Wenn zusätzlich ein Online-Code angeführt ist, gibt es dazu eine entsprechende Online- Ergänzung. Der Online-Code ist im Suchfeld auf www.oebv.at einzugeben. Ein QR-Code am Kapitelanfang führt ebenso zu den Zusatzmaterialien. Für diese Aufgaben ist der Einsatz von Technologie sinnvoll. Aufgaben zu fächerübergreifenden Themen werden mit Sternen neben der Aufgabennummer ausgezeichnet. In der Fußzeile kann das Thema abgelesen werden. Über die Herkunft vieler mathematischer Begriffe informiert das Glossar auf Seite 267. MP RK DI VB C B Ó Ó Weiterführende Materialien vu5f94 Hier siehst du, in welchem zentral fachlichen Konzept du dich gerade befindest. 1. Scanne den QR-Code (unten) und lade die App auf dein Smartphone oder dein Tablet. 2. Scanne deinen Buchumschlag oder wähle dein Schulbuch in der App-Medienliste aus. 3. Scanne eine mit gekennzeichnete Buchseite oder wähle ein digitales Zusatzmaterial aus der App-Medienliste aus. 4. Öffne das digitale Zusatzmaterial. öbv QuickMedia Android iOS 2 K1 Zentral fachliches Konzept Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Inhaltsverzeichnis Wiederholen und Festigen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 K1 Zahlen und Maẞe 1 Reelle Zahlen 14 1.1 Die Quadratwurzel einer Zahl ........................................................ 14 1.2 Rationale und irrationale Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3 Wurzeln aus einer reellen Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.4 Mit Wurzeln rechnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.5 Reelle Zahlen näherungsweise angeben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.6 Grundgesetze für reelle Zahlen ...................................................... 29 1.7 Übersicht über die Zahlbereiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.8 EXTRABLATT Gibt es da noch mehr? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.9 Kompetenzcheck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 K2 Variablen und Funktionen 2 Terme und Gleichungen 36 2.1 Termstrukturen erkennen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.2 Mit Termen arbeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.3 Eigenschaften von Bruchtermen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.4 Mit Bruchtermen arbeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.5 Gleichungen aufstellen und lösen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.6 Mathematische Modelle und die Wirklichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.7 EXTRABLATT Gleichungen im Wandel der Zeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.8 Kompetenzcheck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3 Gleichungen und Gleichungssysteme in zwei Variablen 66 3.1 Lineare Gleichungen in zwei Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.2 Lineare Gleichungssysteme in zwei Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.3 EXTRABLATT Von Gleichungen zu Zahlenrastern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.4 Kompetenzcheck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 3 Inhaltsverzeichnis Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

4 Funktionen 86 4.1 Zuordnungen und Abhängigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 4.2 Funktionsgraphen zeichnen und interpretieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 4.3 Termdarstellung reeller Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 4.4 Lineare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4.5 Vergleich linearer Funktionen ........................................................ 107 4.6 Einige nichtlineare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 4.7 Funktionen als Modelle betrachten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 4.8 EXTRABLATT Gold im Trend – Funktionen im Dienst der Zeit ..................... 115 4.9 Kompetenzcheck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 K3 Figuren und Körper Ó 4n5f4w – Arbeitsblätter Geometrie 5 DER pythagoräische Lehrsatz und seine Anwendungen 118 5.1 Quadrate und rechtwinkelige Dreiecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 5.2 Längen von Hypotenuse und Katheten ermitteln .................................. 121 5.3 Ergänzungen zum pythagoräischen Lehrsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 5.4 Die pythagoräische Lehrsatz in ebenen Figuren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 5.5 Die pythagoräische Lehrsatz in Körpern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 5.6 Beweise ................................................................................ 149 5.7 EXTRABLATT Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 5.8 Kompetenzcheck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 6 Die Kreiszahl π 156 6.1 Was ist π? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 6.2 Der Umfang eines Kreises ............................................................ 159 6.3 Die Länge spezieller Kreisbögen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 6.4 Der Flächeninhalt von Kreisen und Kreisteilen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 6.5 EXTRABLATT Kegelschnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 6.6 Kompetenzcheck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 7 Rotationskörper 174 7.1 Was ist ein Rotationskörper? ......................................................... 174 7.2 Eigenschaften eines Drehzylinders .................................................. 175 7.3 Volumen, Oberflächeninhalt und Masse des Drehzylinders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 7.4 Eigenschaften eines Drehkegels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 7.5 Volumen, Oberflächeninhalt und Masse des Drehkegels .......................... 183 7.6 Weitere Rotationskörper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 7.7 EXTRABLATT Die Kugel in Formeln .................................................. 189 7.8 Kompetenzcheck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 4 Inhaltsverzeichnis Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

K4 Daten und Zufall 8 Untersuchen von merkmalen 192 8.1 Zentralmaße: arithmetisches Mittel, Median ....................................... 192 8.2 Vergleich von Merkmalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 8.3 EXTRABLATT Zusammenhänge ...................................................... 201 8.4 Kompetenzcheck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 9 Zufallsexperimente 204 9.1 Laplace-Versuche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 9.2 Ermitteln von Wahrscheinlichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 9.3 Erklären und Interpretieren von Wahrscheinlichkeiten ............................ 214 9.4 EXTRABLATT Ist Wahrscheinlichkeitsrechnung nur Glücksspielmathematik? . . . 217 9.5 Kompetenzcheck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 10 Zusammenfassung des Lernstoffs 220 10.1 Zahlen und Maße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 10.2 Variablen und Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 10.3 Figuren und Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 10.4 Daten und Zufall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 11 Meine Kenntnisse 234 11.1 Zahlen und Maße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 11.2 Variablen und Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 11.3 Figuren und Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 11.4 Daten und Zufall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 Mathematische Zeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 Glossar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 Stichwortregister ..................................................................... 268 5 Inhaltsverzeichnis Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Zahlen und Maẞe 1 Trage in der Spalte rechts die Ergebnisse zu den Aufträgen in der Spalte links daneben ein! Kürze 8 _ 10 durch 2! Verdopple 8 _ 10 ! Teile 8 _ 10 durch 2! Gib eine Zahl an, die um 50 % größer als 8 _ 10 ist! Ziehe 2 von 8 _ 10 ab! Gib eine Zahl an, die um 100 % kleiner als 8 _ 10 ist! 2 Sind die folgenden Aussagen richtig oder falsch? Kreuze an! 3 Was passiert mit dem Ergebnis der Division a _ b : c _ d , a, b, c, d > 0, wenn 1) a größer wird, 5) d kleiner wird, 2) b kleiner wird, 6) a kleiner und b größer wird, 3) a und b beide größer werden, 7) a größer und b kleiner wird, 4) c größer wird, 8) c größer und d kleiner wird? Gebt bei jeder Teilaufgabe an, ob das Ergebnis größer oder kleiner wird, unverändert bleibt (eventuell durch Angabe von Zusatzforderungen) oder ob keine Aussage gemacht werden kann! Begründet die Entscheidungen! 4 Setze für x = ‒11 _ 4 und für y = + 3 _ 4 ein! Berechne und ordne den Ergebnissen den Buchstaben des passenden Terms zu! A x + y B x – y C x·y D xy E x + 2 y F x·2 y G x – 2 y ‒2 ‒ 15 _ 16 ‒2 3 _ 4 ‒1 2 _ 3 1 _ 4 ‒ 1 _ 2 ‒1 7 _ 8 5 Welche zwölf Rechnungen führen zu den drei angeführten Ergebnissen? Gib die zutreffenden Buchstaben an! ‒ 8: ‒ 6: ‒ 1: A (‒ 1)3 F ‒ 23 K (‒ 2)·(‒ 2)·(‒ 2) P (‒2) + (‒2) + (‒2) B 3·(‒ 2) G (‒2) + (‒3) L (‒ 2)3 Q (‒ 3)2 C (+ 1)·(+ 1)·(+ 1) H 2·(‒ 3) M (‒ 1)6 R (‒ 2)0 D (‒ 1)·(‒ 1)·(‒ 1) I ‒2–2–2 N ‒ 13 S ‒ 20 E +1+1+1 J ‒ 61 O ‒1–1–1 T (‒1) + (‒1) + (‒1) 6 Stelle die Zahlen 11 _ 10 ; ‒ 4 1 _ 4 ; ‒ 2,35; ‒ 3 _ 2 ; 0,9; ‒ 4,6 durch Markierungen auf der Zahlengeraden dar! DI DI richtig falsch Multipliziert man zwei positive Zahlen und eine negative Zahl miteinander, so ist das Ergebnis stets positiv.   Ist der Subtrahend negativ, so ist das Ergebnis der Subtraktion stets positiv.   Subtrahiert man von einer positiven Zahl eine negative Zahl, so erhält man eine positive Zahl.   Der Quotient zweier negativer Zahlen ist stets positiv.   Ist der Divisor positiv und der Dividend negativ, dann ist das Ergebnis der Division negativ.   Die Summe zweier negativer Zahlen ist stets positiv.   VB B RK RK DI ‒4,5 ‒4 ‒3,5 ‒3 ‒2,5 ‒2 ‒1,5 ‒1 ‒0,5 0 0,5 ‒1 ‒1,5 Wiederholen und Festigen 6 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

7 Elvira soll selbst eine Aufgabe erstellen, bei welcher negative Zahlen und Begründungen eine Rolle spielen. Elvira denkt sich, dass etwas mit Gefriertemperaturen interessant sein könnte. Da ihr weiter aber nichts Passendes einfällt, stellt sie einer KI-Software die folgende Aufforderung: „Erstelle eine Aufgabe mit negativen Zahlen zu Gefriertemperaturen, bei der man begründen muss!“ Sie erhält folgende Antwort: Aufgabe: Eine Lebensmittelfirma betreibt ein Tiefkühllager und möchte die Temperaturen für verschiedene Tiefkühlprodukte überwachen. Die Temperatur wird in Grad Celsius gemessen, wobei negative Werte darauf hinweisen, dass es sich um Gefrierbedingungen handelt. Die Produkte haben unterschiedliche optimale Lagertemperaturen: Eiscreme: ‒10°C Tiefkühlpizza: ‒18°C Geflügelprodukte: ‒ 20°C Eiswürfel: ‒ 5°C Die Firma möchte sicherstellen, dass die Temperatur im Lager für jedes Produkt innerhalb eines akzeptablen Bereichs liegt, um die Qualität und Sicherheit zu gewährleisten. Angenommen, die Temperatur im Lager wurde auf ‒15°C eingestellt. Begründung: Die Temperatur von ‒15°C liegt im akzeptablen Bereich für Tiefkühlpizza und Geflügelprodukte, da sie niedriger als die optimalen Lagertemperaturen von ‒18°C bzw. ‒ 20°C sind. Daher sind diese Produkte sicher im Lager zu lagern. Allerdings ist die Temperatur von ‒15°C für Eiscreme und Eiswürfel zu warm. Die optimale Lagertemperatur für Eiscreme liegt bei ‒10°C und für Eiswürfel bei ‒ 5°C. Bei dieser Temperatur von ‒15°C könnten sowohl die Eiscreme als auch die Eiswürfel teilweise schmelzen oder ihre Konsistenz und Qualität beeinträchtigt werden. Es wäre daher ratsam, die Temperatur entsprechend anzupassen, um die Qualität dieser Produkte zu erhalten. Elvira ist erstaunt und sieht sofort, dass die Begründung der KI falsch ist. Worin liegt der Fehler? Begründe! 8 Im November 2023 wurde zwischen dem Europäischen Rat und dem Europäischen Parlament Einigung über den Haushaltsplan der EU für 2024 erzielt. Verpflichtungen sind in diesem Zusammenhang rechtsverbindliche Zusagen über Ausgaben für Maßnahmen, die über mehrere Jahre hinweg durchgeführt werden. 1) Vervollständige die Tabelle unterhalb! 2) Stelle die Verpflichtungen (Daten in normierter Gleitkommadarstellung in €) mithilfe geeigneter Technologie in einem Balkendiagramm dar! 3) Gib an, um wie viel höher die geplanten Ausgaben für „Nachbarschaft und die Welt“ als die für „Migration und Grenzmanagement“ waren! 4) Gib an, um wie viel Prozent die geplanten Ausgaben für „Sicherheit und Verteidigung“ niedriger als jene für die „Europäische öffentliche Verwaltung“ waren! 5) Erstelle mithilfe geeigneter Technologie ein Kreisdiagramm, das die relativen Anteile der geplanten Ausgaben für die einzelnen Rubriken darstellt! EU-Haushaltsplan 2024 Rubriken Verpflichtungen (in Mio. €) Verpflichtungen (Gleitkommadarstellung in €) 1. Binnenmarkt, Innovation und Digitales 21 493,4 2. Zusammenhalt, Resilienz und Werte 74 560,7 3. Natürliche Ressourcen und Umwelt 57 338,6 4. Migration und Grenzmanagement 3 892,7 5. Sicherheit und Verteidigung 2 321,2 6. Nachbarschaft und die Welt 16 230,0 7. Europäische öffentliche Verwaltung 11 988,0 Besondere Instrumente 2 221,7 Insgesamt Quelle: Rat der Europäischen Union, Pressemitteilung vom 11.11.2023 VB RK DI  Medienbildung, Wirtschaft-, Finanz und Verbraucher/innenbildung Politische Bildung, Informatische Bildung Wiederholen und Festigen: Zahlen und MaẞE 7 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

VariableN und Funktionen 9 Bilde die entsprechenden Terme nach der jeweiligen Vorschrift! Term A Term B Term C A·B (A + B)2 A – B·C A·C _ B b b – 3 a a2 u2 u 3 u4 x _ 3 ‒ 2 6 _ x 10 Ordne den Formeln für den Flächeninhalt A bzw. den Umfang u die Bezeichnungen der färbig markierten Figuren korrekt zu! A B C D a b b a a b b a a b a‒b a b b a A = (a – b)2 A=(a+b)(a–b) A = (a + b)2 A = a2 – b2 A = a2 +2ab+b2 A = a2 –2ab+b2 u=4(a+b) u=2(a+b)+2(a–b) u = 4 a u=4(a–b) u=4a–4b u=4a+4b 11 Bei der folgenden Umformung wurde ein Fehler gemacht: u – v = 3 s _ 1 + i w u – v – vi __ 3 = s Erkläre in eigenen Worten, um welchen Fehler es sich handelt, und drücke s durch die anderen Variablen richtig aus! Verwende Termstrukturkästchen zur Veranschaulichung! 12 Gegeben ist die Gleichung x – (x – 1) + x _ 3 = 12 1) Welche der folgenden Aussagen passen zu dieser Gleichung? Kreuze an!  V ermehrt man den Quotienten zweier aufeinanderfolgender ganzer Zahlen um ein Drittel der ersten Zahl, so erhält man 12.  Dividiert man Marions Alter durch 3, so ist das Ergebnis 11.  Paul ist ein Jahr jünger als Peter. Addiert man zu einem Drittel von Peters Alter den Altersunterschied von Peter und Paul, so erhält man 12. 2) Löse die Gleichung! 13 In einer Grazer Konditorei gibt es handgemachte Backwaren zu kaufen, die in durchsichtigen zylinderförmigen Dosen verpackt sind. Hugo kauft eine Dose mit gefüllten Keksen. Das Füllgewicht ist mit 230 g angegeben. Auf einem kleinen Zettel steht unter „Nährwert pro 100 g: Energie 2181 kJ/521 kcal, Fett 33 g, Kohlenhydrate 49 g, davon Zucker 28 g, Eiweiß 6,4 g.“ Hugo will sich die Kekse einteilen und auch darauf achten, pro Tag nicht zu viel an Zucker und Fett zu sich zu nehmen. Mit Hilfe seiner elektronischen Küchenwaage findet Hugo heraus, dass ein Keks 5 g wiegt. a) Wie lang kommt Hugo aus, wenn er jeden Tag 1) zwei, 2) fünf, 3) sieben Kekse isst? b) Hugo isst jeden Tag drei Kekse. Wie viel Energie und wie viel Fett nimmt er über die Kekse 1) täglich, 2) in einer Woche, 3) mit der gesamten Packung zu sich? c) Die ganze Dose kostet 16,99 €. Berechne den Preis eines Kekses und runde sinnvoll! DI DI VB RK DI MP RK  Sprachliche Bildung und Lesen Gesundheitsförderung, Wirtschaft-, Finanz und Verbraucher/ innenbildung Wiederholen und Festigen: VariableN und Funktionen 8 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

14 Laut den Herstellerangaben für aktuell erhältliche E-Autos liegt der Stromverbrauch auf 100 km Fahrtstrecke in einem Bereich zwischen 12 und 30 kWh. Die teils großen Unterschiede ergeben sich unter anderem aus der Modellvielfalt mit Unterschieden bei Technik, Motorisierung und Ausstattung. 1) Ergänze die Tabelle links, indem du vom geringsten Stromverbrauch ausgehst! 2) Ergänze die Tabelle in der Mitte, indem du vom höchsten Stromverbrauch ausgehst! 3) Stelle die beiden Zuordnungen aus 1) und 2) in einer Grafik dar! Verwende dabei zwei unterschiedliche Farben! 1) 2) 3) Fahrtstrecke (in km) Stromverbrauch (in kWh) 0 100 200 300 400 Fahrtstrecke (in km) Stromverbrauch (in kWh) 0 100 200 300 400 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 100 200 300 400 500 O Stromverbrauch (in kWh) Fahrtstrecke (in km) 15 Gehe bei einem E-Auto von einem durchschnittlichen Stromverbrauch von 20 kWh pro 100 km Fahrtstrecke aus! 1) Wie groß ist auf Basis dieses Verbrauchs die maximale Reichweite eines E-Autos mit einer Batteriekapazität von 77kWh? 2) Eine kleine Photovoltaikanlage erzeugt ungefähr 5 000 kWh Strom pro Jahr. Welche Strecke könnte das E-Auto im Jahr zurücklegen, wenn der aus der Photovoltaikanlage erzeugte Strom ausschließlich zum Aufladen der Autobatterie verwendet wird? 3) Informiere dich über die Strompreise und Lademöglichkeiten für E-Autos in deiner Region! 16 In der folgenden Aufgabe sind Terme mit Symbolen (anstatt Variablen) dargestellt. Unterstreicht jene Terme, die zu den gegebenen Termen 1) bis 7) äquivalent sind! 1) 2 – 2 2 – 2 (– )(+ ) ( – )2 ( – ) 2) + 2 + + 2 ( + )2 ( + 2 )2 (2 + )2 2 3) 45 2 – 9 5 (9 – ) (5 – 3 )2 5 2 – 3 2 9 (5 – ) 4) 4 – 3 2 (4 – 3 )2 (4 – 3 ) 4 ( – 3 ) (4 – 3 ) 5) ( + )2 – ( – )2 ‒4 2 + 2 2 – 2 4 6) ( – )2 + 2 2 – 4 + 2 2 – 2 ‒4 2 + 2 7) “ l + n § 2 – “ l2 – n2 § 2 n 2 + 2 l 2 2 n 2 + 2 l n 2 n 2 – 2 l 2 2 l m RK DI MP RK DI B  Wirtschaft-, Finanz und Verbraucher/innenbildung, Verkehrs- und Mobilitätsbildung Wiederholen und Festigen: VariableN und Funktionen 9 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Figuren und Körper 17 Ordne jedem Dreieck die passende Flächeninhaltsformel zu! a c b b a b b a c b a c d b a c d b A = a·d _ 2 A = a·c _ 2 A = c·d _ 2 A = b2 _ 2 A = b·c _ 2 A B C D E 18 Andreas behauptet, dass er den Flächeninhalt des Parallelo- gramms ABCD mit der Formel A = (a + x)·y berechnen kann. Begründe bzw. widerlege diese Behauptung und leite gegebenenfalls eine korrekte Formel her! 19 Berechne, um wie viel Prozent sich der Flächeninhalt A = e·f _ 2 eines Deltoids vergrößert bzw. verkleinert, wenn 1) die Diagonale e um 25 % ihrer Länge vergrößert wird und die Diagonale f gleich bleibt, 2) beide Diagonalen um 25 % ihrer Länge vergrößert werden, 3) die Diagonale e um 25 % ihrer Länge vergrößert und f um 25 % ihrer Länge verkleinert wird! 20 Ein Rhombus wurde beim Einfügen in ein Textdokument verkleinert (siehe Abbildung). 1) Entnimm die verkürzte Seitenlänge der Abbildung und gib den beim Verkleinern verwendeten Ähnlichkeitsfaktor k an! 2) Ermittle für a) die Verkleinerung, b) das Original die Längen der beiden Diagonalen e und f! 3) Berechne für beide Rhomben den Umfang u und den Flächeninhalt A! 21 Berechne den Flächeninhalt des Vierecks ABCD und kontrolliere dein Ergebnis mithilfe geeigneter Technologie (zB GeoGebra)! 22 Welche Eigenschaften hat ein gerades Prisma, welche eine gerade Pyramide? Kreuze an! Prisma Pyramide Grund- und Deckfläche sind kongruente Vielecke.   Die Grundfläche kann ein beliebiges Vieleck sein.   Die Seitenflächen sind gleichschenkelige Dreiecke.   Die Mantelfläche hat die Form eines Rechtecks.   Die Körperhöhe steht senkrecht auf die Grundfläche.   23 Eine Pyramide mit einem Grundflächeninhalt von 100 cm2 fasst 0,25 Liter Flüssigkeit. 1) Gib eine Formel zur Berechnung der Pyramidenhöhe an und berechne diese! 2) Wie ändert sich das Volumen der Pyramide, wenn man den Grundflächeninhalt vervierfacht und die Körperhöhe verdoppelt? DI DI VB y y x x a a b b A B C D RK RK DI 5 cm e f RK DI 1 2 3 4 5 -1 -2 1 2 3 4 5 -6 -5 -4 -3 -2 -1 O 2. Achse 1. Achse A C B D DI RK  Informatische Bildung Wiederholen und Festigen: Figuren und Körper 10 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

24 Die Abbildung zeigt ein Viereck ABCD, auf dessen Fläche ein Staudenbeet angelegt wird. 1) Kreuze die zur Berechnung von Umfang u und Flächeninhalt A passenden Formeln an! a) Umfang:  u=2(a+b)  u=a+2b+c  u=2(a+x) b) Flächeninhalt:  A = (a + c)·x __ 2  A = a·x – y·x  A = c·x + y·x 2) Berechne den Umfang und den Flächeninhalt für: a=7m,b=8,25m,c=3m,x=8m,y=2m. 3) Formuliere eine Aufgabenstellung, für die die Berechnung von Umfang und Flächeninhalt erforderlich ist! 25 Ein rechteckiges Feld hat eine Länge von 240 m und einen Flächeninhalt von 3,6 ha. Am Rand des Feldes werden auf einem 5 m breiten und 240 m langen Streifen blühende Pflanzenarten gesät. Der dadurch entstehende Blühstreifen soll der biologischen Vielfalt (= Biodiversität) dienen. 1) Stelle die Aufgabe durch eine geeignete Skizze graphisch dar! 2) Ermittle die Breite des Feldes! 3) Berechne, um wie viel Prozent sich durch den Blühstreifen die Anbaufläche verringert! 26 Bei einer Flurreinigung wird von Freiwilligen Müll von Wiesen, Feldern, Wäldern etc. entfernt. Eine Fläche von 100 m2 wird dabei von einer Person in durchschnittlich 30 Minuten gereinigt. Berechne, wie viele Personen man mindestens benötigt, um die in der Abbildung dargestellte Wiese in höchstens 8 Stunden zu säubern! 27 Magdalena findet bei der Suche nach einem Hotel auf einem Buchungsportal folgende Information: „Wenn du eine Veranstaltung planst, so bieten wir dir 538 Quadratfuß große Veranstaltungsräumlichkeiten an.“ Hinweis: 1 Quadratfuß (sq ft) ist der Flächeninhalt eines Quadrats mit einer Seitenlänge von 1 Fuß (ft) und 1 ft = 30,48 cm. 1) Berechne den Flächeninhalt des Veranstaltungsraums in m2! 2) Gib das Verhältnis von a) Meter zu Fuß, b) Quadratmeter zu Quadratfuß an! 28 Auf einer 80 m2 großen Fläche wird eine 5 cm dicke Kiesschicht auf- gebracht. Der dafür benötigte Kies wird in speziellen oben offenen Containersäcken (= „Big Bags“) transportiert. Ein Big Bag hat die Maße 1 m × 1 m × 1 m und darf mit maximal einer Tonne belastet werden. 1) Ermittle, bis zu welcher Höhe ein Big Bag mit Kies befüllt werden darf, wenn 1 m3 Kies eine Masse von 1,7t hat! 2) Berechne, wie viele Big Bags man für den Transport der gesamten Kiesmenge benötigt! 29 Die „Anti-Verbraucher-Pyramide“ ist eine Abbildung, die im Internet zu finden ist. 1) Begründe, dass die Bezeichnung Pyramide strenggenommen mathematisch falsch ist und nenne die richtige! 2) Fertige a) mit, b) ohne Technologie (zB GeoGebra) eine passende Darstellung an! 3) Nenne zu den Kategorien: „Nutze, was du hast“, „Selber machen“, „Tauschen“, „Leihen“ und „Gebraucht kaufen“ mindestens einen Aspekt, der für dich sofort umsetzbar ist, und diskutiert darüber in der Klasse! 4) Was versteht man in diesem Zusammenhang unter „Suffizienz“? Recherchiere! RK DI y y x x A B D C a b b c MP RK DI MP RK 200 m 80 m 150 m 130 m RK DI MP RK DI kaufen gebraucht kaufen leihen tauschen machen nutzen was man hat MP RK  Bildungs-, Berufs- und Lebensorientierung Umweltbildung Wirtschaft-, Finanz und Verbraucher/innenbildung Wiederholen und Festigen: Figuren und Körper 11 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Daten und Zufall 30 Ermittle für die Datenliste: 5, 17, 31, 4, 12, 3, 17, 10, 4, 17 die gesuchten statistischen Kennzahlen! Arithmetisches Mittel , 1. Quartil , 2. Quartil , 3. Quartil , Spannweite , Minimum , Maximum , Quartilsabstand . 31 Der Getränkeautomat einer Schule wird täglich aufgefüllt. Die Tabelle zeigt, wie viele Flaschen an wie vielen Tagen entnommen werden. Anzahl der Flaschen 10 15 20 30 Anzahl der Tage 15 20 5 Berechne den in der Tabelle fehlenden Eintrag! Gehe davon aus, dass jeden Tag durchschnittlich 16 Flaschen nachgefüllt werden! 32 Kreuze an, bei welchem Merkmal die Berechnung von 1) Median, 2) arithmetischem Mittel sinnvoll ist, und gib mögliche Merkmalsausprägungen an! Merkmal 1) 2) Merkmalsausprägungen Trainingszeiten   Anzahl der Geschwister   Körpergröße   Mietpreise   Kleidergröße   33 Bei der EU-Wahl 2024 erreichten die in Österreich angetretenen Parteien folgende Ergebnisse: FPÖ 25,4 %, ÖVP 24,5 %, SPÖ 23,2 %, GRÜNE 11,1 %, NEOS 10,1 %, KPÖ 3,0 %, sonstige Parteien 2,7%. 1) Stelle die Daten in einem Prozentstreifen dar! 2) Informiere dich, wann die nächste EU-Wahl stattfindet und wer dabei in Österreich wahlberechtigt ist! 34 Eine Wetter-App prognostiziert einem Weinbauern für die nächsten 24 Stunden eine Hagelwahrscheinlichkeit von 40 %. Gib an, wie der Weinbauer diese Information zu deuten hat! 35 Ein handelsüblicher sechsseitiger Würfel wird geworfen. 1) Gib den Grundraum Ω an! 2) Schreibe das Ereignis E „Würfeln einer geraden Primzahl“ als Menge M(E) an! 3) Beschreibe das Ereignis E mit M(E) = {2, 3, 4, 5, 6} in Worten! 36 Begründe, dass das empirische Gesetz der großen Zahlen bei Nachwahlbefragungen (= „Exit-Polls“) eine wichtige Rolle spielt! 37 In einer Begegnungszone passieren während einer Stunde 47 Autos, 70 Fahr- räder sowie 33 Fußgängerinnen und Fußgänger einen Kontrollpunkt. 1) Kreuze den Schätzwert an, der die Wahrscheinlichkeit am besten wiedergibt, dass als nächstes eine Fußgängerin oder ein Fußgänger den Kontrollpunkt passiert!  18 %  42 %  25 %  22 %  20 % 2) Gib die wichtigsten Regeln an, die in einer Begegnungszone gelten! RK DI RK DI DI DI DI VB RK VB  Politische Bildung Verkehrs- und Mobilitätsbildung Wiederholen und Festigen: Daten und Zufall 12 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

38 Unter einem Tuch verborgen liegen neun gleichförmige Kugeln. Eine Kugel wird, ohne hinzusehen, hervorgezogen. Ordne jedem Ereignis die passende Häufigkeit zu! P(Die Kugel hat die Nummer 5) 2 _ 3 A P(Die Kugel ist orange) 4 _ 9 B P(Die Kugel hat eine gerade Nummer) 0 C P(Die Kugel ist blau oder grün) 1 _ 3 D P(Die Kugel hat die Nummer 10) 1 _ 9 E 39 Das Stängel-Blatt-Diagramm zeigt, wie viele Pakete an unterschiedlichen Tagen von einem Lieferdienst zugestellt werden. 1) Teile die Daten in fünf gleich breite Klassen ein und gib die absolute sowie die relative Häufigkeit für jeden Bereich an! Vervollständige dafür die Tabelle! 2) Ermittle die Gesamtzahl der zugestellten Pakete und berechne, wie viele Pakete durchschnittlich pro Tag ausgeliefert werden! 3) Stelle a) die absoluten, b) die relativen Häufigkeiten mithilfe von Technologie in einem geeigneten Diagramm passend dar! 40 Oliver läuft jeden zweiten Tag eine Strecke von 10 km und notiert die dafür benötigte Zeit. Die Liste zeigt seine Laufzeiten (in Minuten) für den Monat Juli: 50, 50, 62, 70, 45, 48, 62, 60, 50, 45, 65, 75, 69, 40, 70 1) Ermittle den Median und berechne das arithmetische Mittel der Laufzeiten! 2) Fertige ein Kastenschaubild an! 3) Die Abbildung zeigt seine Trainingsauswertung für den Monat August. Kreuze mit Hilfe der beiden Box-Plots die zutreffende(n) Aussage(n) an! Aussage wahr falsch Die Spannweite war im August größer als im Juli.   In beiden Monaten war die maximale Laufzeit gleich groß.   Der schnellste Lauf fand im August statt.   In beiden Monaten dauerten 50 % der Läufe höchstens eine Stunde.   Im August betrugen ca. 25% der Zeiten mindestens 60 und höchstens 70 Minuten.   41 Ein Glücksrad mit lauter gleich großen Sektoren zeigt die Zahlen 1 bis 12. Man gewinnt, wenn beim Drehen eine durch 4 teilbare Zahl erscheint. Ein zweites Glücksrad, mit ebenfalls gleich großen Sektoren, zeigt die Zahlen 1 bis 20. Hier gewinnt man, wenn eine zweistellige Primzahl gedreht wird. 1) Gib für beide Glücksräder die Grundräume Ω1, Ω2 und die Ereignismengen M(E1), M(E 2) an! 2) Stelle die Aufgabe graphisch dar! 3) Welches Glücksrad würdest du wählen? Begründe die Entscheidung! MP RK 7 8 9 6 5 4 1 2 3 RK DI 10 2, 2, 5, 7, 7 11 3, 4, 9 12 0 13 5, 8 14 0, 6, 6 Bereich absolute Häufigkeit relative Häufigkeit 100 ª x < 110 RK DI 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 MP RK DI VB  Bildungs-, Berufs- und Lebensorientierung, Wirtschafts-, Finanz- und Verbraucher/innenbildung Wiederholen und Festigen: Daten und Zufall 13 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

k1 zAhlEn unD MAẞE 1.1 Die Quadratwurzel einer zahl Eine Umkehrung des Quadrierens 1.01 Der Flächeninhalt A eines Quadrats ist 64 cm2. Wie lang ist eine Seite x dieses Quadrats? Lösung: Für den Flächeninhalt A eines Quadrats gilt: A = x·x oder A = x2 Der Flächeninhalt A ist mit 64 cm2 gegeben, also 64 = x2. Es wird nach jener Zahl x gesucht, die mit sich selbst multipliziert 64 ergibt. Die Zahl x muss positiv sein. Durch Probieren kann man schnell x = 8 ermitteln. Die Seite x des Quadrats ist 8 cm lang, da 8·8 = 82 = 64. In der vorigen Aufgabe war es recht einfach, die gesuchte Seitenlänge des Quadrats zu ermitteln. Dies liegt daran, dass 64 eine sogenannte Quadratzahl ist. Eine Quadratzahl ist das Produkt einer zahl mit sich selbst. In der Regel ist dabei das Quadrat von natürlichen zahlen gemeint, selten werden aber auch die Quadrate von ganzen oder rationalen Zahlen als Quadratzahlen bezeichnet. Die ersten Quadratzahlen sind 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, … rk O Arbeitsheft s . 3 1 ReeLLe ZaHLen Deine ziele in diesem kapitel: • Mit Wurzeln arbeiten können. • Den Unterschied zwischen rationalen und nichtrationalen Zahlen verstehen und beschreiben. • Rechenoperationen mit reellen Zahlen durchführen können. • Zahlen sinnvoll runden und näherungsweise angeben können. • Anhand einer Übersicht über die Zahlbereiche das Zahlenverständnis vertiefen. Wo kommen Zahlen vor, die nicht rational sind? 14 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

 sprachliche Bildung und lesen Die Quadratwurzel einer (Quadrat-)Zahl ist eine Zahl, die, wenn sie mit sich selbst multipliziert wird, die ursprüngliche (Quadrat-)Zahl ergibt. Sie ist demnach die Umkehrung der Bildung einer Quadratzahl, also des Quadrierens. So ist zB die Quadratwurzel von 64 gleich 8, da 8·8 = 82 = 64. Sind a, b º 0 und ist b2 gleich a, dann ist b die Quadratwurzel (oder Wurzel) aus a. Man bezeichnet diese Zahl mit 9 _ a . 9 _ a = b gilt genau dann, wenn a = b2. Beispiele: 9 _ 4= 2, da 22 = 4 9 _ 9= 3, da 32 = 9 9 __ 64= 8, da 82 = 64 Ermittelt man die (Quadrat-)Wurzel einer Zahl, so nennt man diesen Vorgang radizieren oder einfach (Quadrat-)Wurzelziehen. Die Zahl unter dem Wurzelzeichen ist der radikand. Bemerkung: Es stimmt, dass zB 22 = 4, aber auch (‒2)2 = 4. Da 9 _ 4aber eine eindeutige Zahl ist, bezeichnet man nur die nichtnegative Basis 2 mit 9 _ 4 . Es gilt sowohl 9 _ 4 ·9 _ 4 = (9 _ 4 )2 = 4 als auch 9 ___ 4·4 = 9 __ 42 = 4 AufgAbEn 1.02 Ergänze die fehlende Zahl! a) 9 __ 25= 5, da 52 = . d) = 9, da 92 = 81. b) = 7, da 72 = 49. e) 9 __ 16= 4, da = 16. c) 9 __ 36 = , da 62 = 36. f) = b, da b2 = a. 1.03 Berechne im Kopf! a) 9 ___ 100 b) 9 __ 64 c) 9 ___ 121 d) 9 ___ 225 e) 9 ___ 400 f) 9 ____ 2 500 g) 9 _____ 10 000 1.04 Berechne im Kopf! a) 9 ___ 132 b) 9 ___ 0,52 c) 9 ___ 562 d) “ 9 __ 22 § 2 e) “ 9 ___ 1,9 § 2 f) “ 9 _ 3 _ 4 § 2 g) “ 9 __ 1 2 § 2 1.05 Zwischen welchen beiden benachbarten natürlichen Zahlen liegt die gegebene Zahl? Arbeite hierbei ohne Technologie! a) 9 __ 8 b) 9 __ 20 c) 9 __ 50 d) 9 __ 83 e) 9 __ 99 f) 9 ___ 200 g) 9 ___ 398 1.06 Der Flächeninhalt A eines Quadrats ist gegeben. Berechne die Seitenlänge a des Quadrats! a) A = 49 mm2 c) A = 841 m2 e) A = 729 cm2 g) A = 0,04dm2 b) A = 196 cm2 d) A = 590,49dm2 f) A = 10 000 mm2 h) A = 3,61m2 1.07 Ein Rechteck mit den Seitenlängen x = 28 cm und y = 7cm hat denselben Flächeninhalt wie ein Quadrat. Berechne die Seitenlänge a des Quadrats! 1.08 Ein rechtwinkeliges Dreieck mit den Kathetenlängen s = 27mm und t = 24 mm hat denselben Flächeninhalt wie ein Quadrat. Berechne die Seitenlänge a des Quadrats! 1.09 Erkläre, warum 1) 9 ___ ‒25keine mögliche Zahl, 2) ‒9 __ 25eine rationale Zahl ist! 1.10 Um welche Zahl handelt es sich bei dem Ausdruck 9 ___ 9 __ 16 ? rk rk rk rk DI rk rk rk rk VB rk VB 1 15 reelle Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

1.2 rationale und irrationale zahlen 1.11 Drei quadratische Grundstücke haben die unterschiedlichen Flächeninhalte A1, A2 und A3. Berechne die Seitenlängen a1, a2 und a3! In welcher Eigenschaft unterscheiden sich diese? a1 a2 a3 A1 = 16 m2 A2 = m2 A3 = 24 m2 81 4 Lösung: a1 = 4 m, a2 = 9 _ 2 m, a3 = 9__ 24 m Die Maße für a1 und a2 lassen sich in Bruchdarstellung angeben, das Maß für a3 nicht. 1.12 Gegeben sind die Zahlen 4 _ 9 und √2. Versucht beide Zahlen in der Dezimaldarstellung anzuschreiben! Was haben beide Zahlen gemeinsam? Worin liegen die Unterschiede? 4 _ 9 = √2 = Zahlen in der Darstellung z _ n mit z * Z und n * N* sind rationale zahlen. Somit ist die Menge Q der rationalen zahlen folgendermaßen definiert: Q = { z _ n | z * Z und n * N* } Dabei ist auch jede ganze Zahl z und damit auch jede natürliche Zahl n eine rationale Zahl, denn dafür kann jeweils n _ 1 = 2 n __ 2 = 3 n __ 3 = … bzw. z _ 1 = 2 z __ 2 = 3 z __ 3 = … geschrieben werden. Zahlen in unendlicher periodischer Dezimaldarstellung sind ebenso rationale Zahlen, da sich diese in Bruchdarstellung angeben lassen, zB: 0,444 444 4… = 0, • 4 = 4 _ 9 . Gibt es nun überhaupt Zahlen, die nicht rational sind? Ist die Dezimaldarstellung von √2 endlich oder periodisch oder etwa unendlich, aber nicht periodisch? 1.13 Zeige, dass 9 _ 2keine ratinale Zahl ist! Lösung: Wir führen einen so genannten indirekten Beweis. Dabei wird das Gegenteil der Behauptung angenommen und versucht, einen Widerspruch zu erzielen. Dann muss nämlich die zuvor aufgestellte Behauptung gelten. Die Annahme lautet nun: Es gibt eine rationale Zahl d mit d2 = 2. Dann muss sich d in der Form z _ n mit z * Z und n * N* darstellen lassen. Weiters wird vorausgesetzt, dass z _ n so weit wie möglich durchgekürzt ist und n > 1. Denn wäre n = 1, müsste d eine ganze Zahl sein. Das ist aber nicht möglich, da es keine ganze Zahl gibt, deren Quadrat gleich 2 ist. Da nun z _ n so weit wie möglich durchgekürzt ist, kann auch d 2 = z _ n ·  z _ n nicht weiter gekürzt werden. Somit ist auch d2 keine ganze Zahl. Und das ist ein Widerspruch zur Annahme d2 = 2. Daher kann √2 keine rationale Zahl sein. Die Zahl √2 hat keine endliche und keine periodische Dezimaldarstellung, sondern eine unendliche, nicht periodische Dezimaldarstellung: √2 = 1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 698 078 569 671 875 376 948 073 176 679 737 990 … rk DI B DI rk DI 16 k1 Zahlen und Maẞe Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Zahlen, die eine unendliche, nicht periodische Dezimaldarstellung haben, nennt man irrationale zahlen. Eine irrationale Zahl lässt sich nicht als Quotient zweier ganzer Zahlen anschreiben. Irrationale (nicht rationale) Zahlen können nur näherungsweise, also mit beliebiger Genauigkeit angegeben werden, indem auf eine bestimmte Nachkommastelle gerundet wird. Alle rationalen Zahlen bilden gemeinsam mit allen irrationalen Zahlen die Menge der reellen zahlen R. Bemerkung: Die Menge der irrationalen zahlen bezeichnet man mit R\Q [lies: R ohne Q]. AufgAbEn 1.14 Gegeben ist der Flächeninhalt A eines Quadrats. Ist die Maßzahl der Seitenlänge a eine rationale oder irrationale (nicht rationale) Zahl? Begründe die Entscheidung! a) A = 25 m2 b) A = 26 m2 c) A = 5,76cm2 d) A = 5,77cm2 e) A = 1 m2 f) A = 2 m2 1.15 Sind die gegebenen Zahlen vermutlich rational oder irrational? Kreuze an! rational irrational rational irrational 4   1,449 449 449…   ‒0,202 002 000 200 002…   5, ___ 271    58 __ 70   ‒82,739 735 6   1.16 Gib die Zahl in Dezimaldarstellung an und stelle sie auf der Zahlengeraden dar! a) 1 _ 2 b) 4 _ 3 c) ‒ 3 _ 8 d) 7 _ 12 e) ‒ 6 _ 7 f) 11 _ 20 1.17 Gib die Zahl in Dezimaldarstellung an und stelle sie auf der Zahlengeraden dar! a) 1 _ 4 b) 5 _ 8 c) ‒ 57 __ 10 d) 2 _ 3 e) ‒ 4 _ 9 f) 25 __ 33 1.18 Gib die Zahl in möglichst einfacher Bruchdarstellung an und stelle sie auf der Zahlengeraden dar! a) 0,33 b) 1,875 c) ‒4,09 d) 3,001 e) ‒0,02 f) 2,67 1.19 Gib die Zahl in möglichst einfacher Bruchdarstellung an und stelle sie auf der Zahlengeraden dar! a) 0,8 b) ‒0,  • 6  c) 0,81 d) ‒1,2 e) 1,  • 3  f) 0, __ 63  1.20 Gib drei rationale Zahlen an, die zwischen a) 9 und 10, b) ‒2,5 und ‒2,4, c) 1,08 und 1,1, d) ‒10,1 und ‒9,95 liegen und ordne sie in einer Kleiner-Kette! 1.21 Gib drei rationale Zahlen an, die zwischen a) 0,3 und 0, • 3 , b) ‒ 5 _ 3 und ‒ 4 _ 3 , c) 4 _ 7 und 4 _ 5 , d) ‒0,11 und ‒0,101 liegen und ordne sie in einer Größer-Kette! 1.22 Runde die Zahl √2 auf 1) 5, 2) 6, 3) 7, 4) 8, 5) 9, 6) 10 Nachkommastellen! rk VB DI DI Ó Übung 4pg6ys DI Ó Übung 4pg6ys DI Ó Übung 4pg6ys Ó Übung 4pg6ys DI DI Ó Übung 4pg6ys DI Ó Übung 4pg6ys DI 1 17 reelle Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

 sprachliche Bildung und lesen a) Gib an, wie viele natürliche Zahlen zwischen 5,8 und 9,2 liegen! b) Gib an, wie viele ganze Zahlen zwischen ‒6,63 und 1,27 liegen! c) Gib an, wie viele rationale Zahlen zwischen ‒0,8 und 4,992 liegen! d) Gib an, wie viele reelle Zahlen zwischen ‒0,953 und ‒0,952 liegen! 1.24 Kreuze nur richtige Aussagen an!  Jede rationale Zahl ist eine reelle Zahl.  Eine irrationale Zahl kann rational sein.  Jede reelle Zahl ist eine rationale Zahl.  Eine rationale Zahl kann irrational sein.  Eine reelle Zahl kann irrational sein.  Jede irrationale Zahl ist eine reelle Zahl. 1.25 Zeige, dass die Dezimaldarstellung der folgenden Zahl unendlich ist, und begründe, dass die Zahl dennoch rational ist! a) 5 _ 6 b) ‒ 1 __ 15 c) 7 __ 18 d) ‒ 11 __ 30 e) 44 __ 45 f) 1 ___ 900 1.26 Die Menge der rationalen Zahlen hat unendlich viele Elemente. Auf der Zahlengeraden liegen daher zB zwischen 1 und 2 unendlich viele Punkte. Überlegt, warum dennoch Zahlen wie √2 und unendlich viele weitere irrationale Zahlen in diesen Punkten nicht enthalten sind! 1.27 Zeige mit Hilfe eines indirekten Beweises, dass √3 keine rationale Zahl ist! 1.28 Gegeben sind die reellen Zahlen 0,1 und 0,˙1. Kreuze die beiden richtigen Aussagen an!  Die beiden Zahlen sind gleich.  Zwischen diesen beiden Zahlen liegen unendlich viele rationale Zahlen.  Die Differenz dieser beiden Zahlen ist eine irrationale Zahl.  Zwischen diesen beiden Zahlen liegt mindestens eine irrationale Zahl.  Das Produkt dieser beiden Zahlen ist eine natürliche Zahl. 1.29 1) Versuche, die Zahl √2 auf der Zahlengeraden möglichst genau darzustellen, in dem du sie zwischen zwei rationalen Zahlen positionierst, die du auf fünf Nachkommaziffern genau angibst! 2) Versuche, die Zahl 1,414 213 46 auf der Zahlengeraden darzustellen! 3) Gilt √2 = 1,414 213 46? Begründe die Antwort! 1.30 Vergleiche die Dichte der rationalen Zahlen mit der Dichte der reellen Zahlen auf der Zahlengeraden! Hinweis: Die rationalen Zahlen liegen auf der Zahlengeraden dicht gepackt, die reellen Zahlen füllen die Zahlengerade lückenlos. 1.31 Begründe, dass zwischen je zwei verschiedenen reellen Zahlen immer eine weitere reelle Zahl liegt! 1.32 Die Menge der rationalen Zahlen lässt sich auf einer Zahlengeraden darstellen. Gib die Zahlenmenge an, die benötigt wird, um die Lücken auf der Zahlengeraden zu füllen! 1.33 Erkläre, wie die Konstruktion der reellen Zahlen die Lücken auf der Zahlengeraden füllt! Hinweis: Die Menge der rationalen Zahlen wird um die Menge der irrationalen Zahlen erweitert. 1.23 DI DI rk VB C VB 1 2 VB DI MP 1 2 VB VB VB VB 18 k1 Zahlen und Maẞe Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

1.3 Wurzeln aus einer reellen zahl Die Quadratwurzel einer reellen zahl 1.34 Berechne jeweils die Seitenlänge des Quadrats mit dem Flächeninhalt 1) 49 cm2, 2) 6,25 cm2, 3) 16 __ 9 cm2, 4) 80 cm2! Welche Eigenschaft(en) haben die Maßzahlen jeweils? Lösung: 1) 9 __ 49= 7. Die Seitenlänge beträgt 7cm. Die Maßzahl 7 ist eine natürliche Zahl. 2) 9 ___ 6,25 = 2,5. Die Seitenlänge beträgt 2,5 cm. Die Maßzahl 2,5 ist eine rationale Zahl. 3) 9 __ 16 __ 9 = 4 _ 3 . Die Seitenlänge beträgt 4 _ 3 cm. Die Maßzahl 4 _ 3 = 1,  • 3ist eine Zahl mit periodischer Dezimaldarstellung, also eine rationale Zahl. 4) 9 __ 80 = 8,944 271 91 … . Die Seitenlänge beträgt rund 8,9 cm. Die Maßzahl 9 __ 80 ist eine Zahl mit unendlicher, nicht periodischer Dezimaldarstellung, also keine rationale Zahl. Es handelt sich um eine irrationale Zahl. Die Wurzel aus einer positiven reellen zahl kann •• eine natürliche zahl, •• eine positive rationale zahl oder •• eine positive irrationale zahl sein. Bemerkungen: √0 = 0, da 0·0 = 0. Die Wurzel aus einer negativen reellen Zahl kann kein Ergebnis im Bereich der reellen Zahlen haben, da weder das Quadrieren einer positiven noch das Quadrieren einer negativen Zahl jemals ein negatives Produkt ergibt. Die Quadratwurzel aus einer natürlichen Quadratzahl n º 1 ist stets eine natürliche Zahl. Daraus folgt: Die Zahl √n mit n * N* ist irrational, falls n keine Quadratzahl ist. AufgAbEn 1.35 Ergänze die fehlende(n) Zahl(en)! a) 9 __ 16= 4, da 4 = 16. d) 9 ___ 0,04 = , da 2 = . b) 9 _ = 9, da 92 = . e) 9 __ 1 _ 100 = _ , da “ 1 _ § = _ . c) 9 __ 64 _ 49 =   _ , da “ 8 _ 7 § =   _ . f) 9 __ a 2 = , da ( ) 2 = . 1.36 Berechne im Kopf! a) 9 __ 25 b) 9 __ 100 c) 9 __ 64 d) 9 __ 121 e) 9 ___ 0,04 f) 9 __ 1 ___ 100 g) 9_ 1 1.37 Berechne im Kopf! a) 9 __ 14 2 b) 9 ___ 0,8 2 c) 9 __ “ 3 _ 7 § 2 d) “ 9 __ 90 § 2 e) “ 9 ___ 67,2 § 2 f) “ 9 __ 11 __ 20 § 2 g) “ 9_x § 2 rk rk rk rk 1 19 reelle Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

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