α r M Mathematik verstehen SALZGER | GERM | RIEDLER | SINGER | ULOVEC 4 Teildruck Die Verkaufsauflage erscheint unter der ISBN 978-3-209-11902-5
Mathematik verstehen 4, Schülerbuch + E-Book Teildruck zu ISBN 978-3-209-11902-5, W6519-165 Dieses Werk wurde auf der Grundlage eines zielorientierten Lehrplans verfasst. Konkretisierung, Gewichtung und Umsetzung der Inhalte erfolgen durch die Lehrerinnen und Lehrer. Liebe Schülerin, lieber Schüler, du bekommst dieses Schulbuch von der Republik Österreich für deine Ausbildung. Bücher helfen nicht nur beim Lernen, sondern sind auch Freunde fürs Leben. Kopierverbot Wir weisen darauf hin, dass das Kopieren zum Schulgebrauch aus diesem Buch verboten ist – § 42 Abs. 6 Urheberrechtsgesetz: „Die Befugnis zur Vervielfältigung zum eigenen Schulgebrauch gilt nicht für Werke, die ihrer Beschaffenheit und Bezeichnung nach zum Schul- oder Unterrichtsgebrauch bestimmt sind.“ Teildruck © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2026 www.oebv.at Alle Rechte vorbehalten. Jede Art der Vervielfältigung, auch auszugsweise, gesetzlich verboten. Redaktion: Dipl.-Ing. Dr. techn. Frederic Brünner, Wien Herstellung: Ing. Bianca Mannsberger, Wien Umschlaggestaltung: Jens-Peter Becker, normaldesign GbR, Schwäbisch Gmünd Layout: Jens-Peter Becker, normaldesign GbR, Schwäbisch Gmünd Illustrationen: Mag. Adam Silye, Wien Technische Zeichnungen: Ing. Mag. Dr. Herbert Löffler, Wien; Da-TeX Gerd Blumenstein, Leipzig Karten: Freytag-Berndt u. Artaria KG, Wien Satz: Da-TeX Gerd Blumenstein, Leipzig Druck: Ferdinand Berger & Söhne Ges.m.b.H., Horn Teildruck zu ISBN 978-3-209-11902-5 (Mathematik verstehen SB 4 + E-Book) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
www.oebv.at 4 Mathematik verstehen OStR Prof. Mag. Dr. Bernhard Salzger Prof.in Mag.a Andrea Germ Prof.in Mag.a Barbara Riedler HS-Prof.in Mag.a Dr.in Klaudia Singer MMag. Dr. Andreas Ulovec Unter Mitarbeit von: Prof.in Mag.a Judith Bachmann, MPOS Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Erklärungen zum Buch Wichtige Inhalte sind durch einen orangefarbenen Hintergrund hervorgehoben. Wichtige Begriffe sind zusätzlich fett geschrieben. 1.01 Musteraufgaben sind durch eine grüne Hinterlegung hervorgehoben. Lösung: Hier ist die gesamte Bearbeitung der Aufgabe ersichtlich. Aufgaben Die Farbe neben der Aufgabennummer gibt die Art der Aufgabe an. 1.02 … grundlegende Aufgaben 1.03 … weiterführende Aufgaben 1.04 … anspruchsvolle Aufgaben Die Kompetenzbereiche sind im Farbbalken ersichtlich. 1.05 … Modellieren und Problemlösen 1.06 … Rechnen und Konstruieren 1.07 … Darstellen und Interpretieren 1.08 … Vermuten und Begründen 1.09 Schraffierte Aufgabenbalken kennzeichnen jene Aufgaben, die laut Lehrplan nicht verbindlich sind, sondern geeignete Möglichkeiten zur Schwerpunktsetzung im Unterricht bieten. Diese Aufgaben können in Gruppenarbeit gelöst werden. Diese Aufgaben können in Partnerarbeit gelöst werden. Dieses Symbol bedeutet, dass hier die Verwendung des Computers empfohlen wird. Wenn zusätzlich ein Online-Code angeführt ist, gibt es dazu eine entsprechende Online- Ergänzung. Der Online-Code ist im Suchfeld auf www.oebv.at einzugeben. Ein QR-Code am Kapitelanfang führt ebenso zu den Zusatzmaterialien. Für diese Aufgaben ist der Einsatz von Technologie sinnvoll. Aufgaben zu fächerübergreifenden Themen werden mit Sternen neben der Aufgabennummer ausgezeichnet. In der Fußzeile kann das Thema abgelesen werden. Über die Herkunft vieler mathematischer Begriffe informiert das Glossar auf Seite 267. MP RK DI VB C B Ó Ó Weiterführende Materialien kw6q5y Hier siehst du, in welchem zentral fachlichen Konzept du dich gerade befindest. 1. Scanne den QR-Code (unten) und lade die App auf dein Smartphone oder dein Tablet. 2. Scanne deinen Buchumschlag oder wähle dein Schulbuch in der App-Medienliste aus. 3. Scanne eine mit gekennzeichnete Buchseite oder wähle ein digitales Zusatzmaterial aus der App-Medienliste aus. 4. Öffne das digitale Zusatzmaterial. öbv QuickMedia Android iOS 2 K1 Zentral fachliches Konzept Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Inhaltsverzeichnis Wiederholen und Festigen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 K1 Zahlen und Maẞe 1 Reelle Zahlen 14 1.1 Die Quadratwurzel einer Zahl ........................................................ 14 1.2 Rationale und irrationale Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3 Wurzeln aus einer reellen Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.4 Mit Wurzeln rechnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.5 Reelle Zahlen näherungsweise angeben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.6 Grundgesetze für reelle Zahlen ...................................................... 29 1.7 Übersicht über die Zahlbereiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.8 EXTRABLATT Gibt es da noch mehr? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.9 Kompetenzcheck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 K2 Variablen und Funktionen 2 Terme und Gleichungen 36 2.1 Termstrukturen erkennen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.2 Mit Termen arbeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.3 Eigenschaften von Bruchtermen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.4 Mit Bruchtermen arbeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.5 Gleichungen aufstellen und lösen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.6 Mathematische Modelle und die Wirklichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.7 EXTRABLATT Gleichungen im Wandel der Zeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.8 Kompetenzcheck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3 Gleichungen und Gleichungssysteme in zwei Variablen 66 3.1 Lineare Gleichungen in zwei Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.2 Lineare Gleichungssysteme in zwei Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.3 EXTRABLATT Von Gleichungen zu Zahlenrastern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.4 Kompetenzcheck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 3 Inhaltsverzeichnis Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
4 Funktionen 86 4.1 Zuordnungen und Abhängigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 4.2 Funktionsgraphen zeichnen und interpretieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 4.3 Termdarstellung reeller Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 4.4 Lineare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4.5 Vergleich linearer Funktionen ........................................................ 107 4.6 Einige nichtlineare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 4.7 Funktionen als Modelle betrachten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 4.8 EXTRABLATT Gold im Trend – Funktionen im Dienst der Zeit ..................... 115 4.9 Kompetenzcheck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 K3 Figuren und Körper Ó 4n5f4w – Arbeitsblätter Geometrie 5 DER pythagoräische Lehrsatz und seine Anwendungen 118 5.1 Quadrate und rechtwinkelige Dreiecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 5.2 Längen von Hypotenuse und Katheten ermitteln .................................. 121 5.3 Ergänzungen zum pythagoräischen Lehrsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 5.4 Die pythagoräische Lehrsatz in ebenen Figuren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 5.5 Die pythagoräische Lehrsatz in Körpern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 5.6 Beweise ................................................................................ 149 5.7 EXTRABLATT Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 5.8 Kompetenzcheck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 6 Die Kreiszahl π 156 6.1 Was ist π? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 6.2 Der Umfang eines Kreises ............................................................ 159 6.3 Die Länge spezieller Kreisbögen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 6.4 Der Flächeninhalt von Kreisen und Kreisteilen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 6.5 EXTRABLATT Kegelschnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 6.6 Kompetenzcheck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 7 Rotationskörper 174 7.1 Was ist ein Rotationskörper? ......................................................... 174 7.2 Eigenschaften eines Drehzylinders .................................................. 175 7.3 Volumen, Oberflächeninhalt und Masse des Drehzylinders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 7.4 Eigenschaften eines Drehkegels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 7.5 Volumen, Oberflächeninhalt und Masse des Drehkegels .......................... 183 7.6 Weitere Rotationskörper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 7.7 EXTRABLATT Die Kugel in Formeln .................................................. 189 7.8 Kompetenzcheck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 4 Inhaltsverzeichnis Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
K4 Daten und Zufall 8 Untersuchen von merkmalen 192 8.1 Zentralmaße: arithmetisches Mittel, Median ....................................... 192 8.2 Vergleich von Merkmalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 8.3 EXTRABLATT Zusammenhänge ...................................................... 201 8.4 Kompetenzcheck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 9 Zufallsexperimente 204 9.1 Laplace-Versuche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 9.2 Ermitteln von Wahrscheinlichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 9.3 Erklären und Interpretieren von Wahrscheinlichkeiten ............................ 214 9.4 EXTRABLATT Ist Wahrscheinlichkeitsrechnung nur Glücksspielmathematik? . . . 217 9.5 Kompetenzcheck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 10 Zusammenfassung des Lernstoffs 220 10.1 Zahlen und Maße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 10.2 Variablen und Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 10.3 Figuren und Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 10.4 Daten und Zufall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 11 Meine Kenntnisse 234 11.1 Zahlen und Maße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 11.2 Variablen und Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 11.3 Figuren und Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 11.4 Daten und Zufall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 Mathematische Zeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 Glossar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 Stichwortregister ..................................................................... 268 5 Inhaltsverzeichnis Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
k4 DATEn und zufAll 8.1 zentralmaße: arithmetisches Mittel, Median 8.01 Die Merkfähigkeit der 25 Schülerinnen und Schüler der 4A wurde getestet. Dazu wurden neun Begriffe jeweils zehn Sekunden lang gezeigt. Im Anschluss an die Darbietung notierten die Schülerinnen und Schüler die Begriffe, an die sie sich erinnern konnten. Das Ergebnis des Tests ist im nebenstehenden Säulendiagramm grafisch dargestellt. 1) Übertragt die Daten in folgende Tabelle! Anzahl erinnerter Begriffe 0123456789 Anzahl der schülerinnen und schüler (häufigkeit) 2) An wie viele Begriffe hat man sich am häufigsten erinnert? 3) Schreibt die Anzahlen erinnerter Begriffe geordnet nach der jeweiligen Häufigkeit an! 4) Welche Anzahl von erinnerten Begriffen steht in der Mitte dieser Liste? 5) Berechnet das arithmetische Mittel der Häufigkeiten der erinnerten Begriffe (auf zwei Nachkommastellen genau)! Welche Gründe könnte es dafür geben, dass das arithmetische Mittel nicht gleich dem mittleren Wert der geordneten Liste ist? 0 0123456789 Anzahl erinnerter Begriffe 1 2 3 4 5 6 Anzahl der Schülerinnen/Schüler C rk VB O Arbeitsheft s . 70 8 UnteRsuChen VOn meRKmalen Deine ziele in diesem kapitel: • Häufigkeitsverteilungen in Diagrammen und Tabellen darstellen können. • Zentralmaße ermitteln und interpretieren können. • Absolute und relative Häufigkeiten von Merkmalen in Mehrfeldertafeln (Kreuztabellen) darstellen, ergänzen und interpretieren können. In welchem Kontext sind welche statistischen Größen sinnvoll? 192 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Medienbildung Umweltbildung Wirtschafts-, finanz- und verbraucher/innenbildung Sind x1, x2, …, xn die Daten einer Liste und ist n die Anzahl der Daten, so ist das arithmetische Mittel die reelle Zahl _ x = x 1 + x 2 + … + x n __________ n . Als Median (zentralwert) bezeichnet man jene Zahl, die in einer aufsteigend geordneten Liste von n Zahlen (n ungerade) genau in der Mitte steht. Ist n gerade, wird das arithmetische Mittel der beiden in der Mitte stehenden Zahlen als Median bezeichnet. In der geordneten Liste befinden sich vor und nach dem Median gleich viele Zahlen. AufgAbEn 8.02 Zwölf Personen werden befragt, wie viele Haustiere sie haben. Dies sind die Ergebnisse: befragte Person A B C D E F G H I J K L Anzahl der haustiere 210027322021 1) Wie viele der befragten Personen haben ein Haustier oder zwei Haustiere? 2) Berechne den relativen Anteil der Befragten ohne Haustier in Prozentdarstellung! 3) Berechne die durchschnittliche Anzahl der Haustiere der befragten Personengruppe! 8.03 Vier Stadtteile einer Stadt haben jeweils 3 650, 2 957, 2 347 und 1 800 Einwohner. 1) Berechne die durchschnittliche Einwohnerzahl eines Stadtteils in dieser Stadt! 2) Die Einwohnerzahlen der vier Stadtteile werden in einem Balkendiagramm dargestellt: Der längste Balken ist 7,3 cm lang. Welcher Einwohnerzahl entspricht die Balkenlänge von 1 cm? 3) Erstelle ein Balkendiagramm mit den Einwohnerzahlen der vier Stadtteile! 8.04 Eine Datenliste besteht aus drei Elementen. 1) Gebt drei verschiedene Datenlisten an, die das arithmetische Mittel a) 7, b) 23, c) ‒2 haben! 2) Überlegt euch zu je einer Datenliste von a) bis c) einen passenden Sachverhalt! 8.05 In einer Umfrage wurden die Anzahl der Stunden erhoben, die Schülerinnen und Schüler pro Woche für die Nutzung sozialer Medien aufwenden. Die Daten lauten: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Berechne den Median dieser Datenliste! 8.06 Die Klasse 4B hat an einem Umweltschutzprojekt teilgenommen und die Anzahl der gesammelten Müllsäcke pro Schülerin bzw. Schüler erfasst. Die Daten lauten: 0, 1, 1, 2, 2, 3, 4. Berechne den Median dieser Datenliste! 8.07 Mitte Mai 2023 wurde das dreihundertste Finanzprodukt mit dem Österreichischen Umweltzeichen ausgezeichnet. Aktuell gibt es eine breite Palette an Finanzprodukten, die mit dem Stichwort „Nachhaltigkeit“ werben. Berechne 1) das arithmetische Mittel, 2) den Median im Zeitraum 2004 bis 2023! 3) Vergleiche beide Werte und erläutere, welcher der beiden Werte in diesem Zusammenhang zweckmäßiger ist! rk DI rk DI rk DI B rk DI rk DI rk DI 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 15.05.2023 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 O 10 10 11 16 19 33 48 63 72 86 98 132 165 215 280 301 8 8 8 17 8 193 Untersuchen von merKmalen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Wirtschafts-, finanz- und verbraucher/innenbildung Medienbildung 8.08 Eine Untersuchung aus dem August 2024 zeigt, dass die Preise von Marken-Lebensmitteln in Österreich höher sind als in Deutschland. Es heißt: „Die gleichen Produkte kosten bei uns im Durchschnitt um 24 % mehr als im Nachbarland.“ Von jedem der genannten sechs Produkte wird je ein Stück gekauft. 1) Berechne den Gesamtpreis der Waren in Österreich bzw. in Deutschland! 2) Überprüfe die Aussage der relativen Mehrkosten von 24 % in Österreich, indem du das arithmetische Mittel der Preise in Österreich bzw. in Deutschland ermittelst! 3) Stimmt diese Aussage auch für den Median dieser Daten? Begründe die Antwort! 8.09 Im Jahr 2024 lag das Brutto-Durchschnittseinkommen in Österreich bei ca. 60 500 € und das Brutto-Medianeinkommen bei ca. 55 000 € pro Jahr. (Quelle: stepstone.at) Stelle fest, ob die folgenden Aussagen zutreffen oder nicht! Kreuze an! trifft zu trifft nicht zu Das Medianeinkommen ist genau die Einkommenshöhe, bei der ungefähr die Hälfte der Bevölkerung darunter und die andere Hälfte darüber entlohnt wird. Beim Durchschnittseinkommen werden alle Einkommen addiert und durch die Anzahl der Einkommen dividiert. Das Durchschnittseinkommen ist höher als das Medianeinkommen, da die Unterschiede der höchsten Einkommen zu den mittleren Einkommen wesentlich höher sind als die Unterschiede zwischen den mittleren und unteren Einkommen. Das Durchschnittseinkommen ist höher als das Medianeinkommen, da die Anzahl der Daten viel größer ist als jene beim Medianeinkommen. 8.10 Die durchschnittliche Jahrestemperatur in den neun österreichischen Bundesländern im Jahr 2022 liegt vor. (Quelle: Zentralanstalt für Meteorologie und Geodynamik ZAMG) Burgenland: 11,7°C Oberösterreich: 10,4 °C Tirol: 9,7 °C Kärnten: 9,9 °C Salzburg: 9,8 °C Vorarlberg: 10,0 °C Niederösterreich: 11,5 °C Steiermark: 10,1 °C Wien: 12,6 °C trifft zu trifft nicht zu Die durchschnittliche Temperatur in Österreich war im Jahr 2022 genau 10,6°C. Die Median-Temperatur in den neun Bundesländern im Jahr 2022 beträgt 10,1°C. Im Burgenland war die Temperatur im Jahr 2022 am höchsten. Die Temperatur in Tirol war niedriger als in Kärnten. rk DI VB 0 Frischkäse Asia-Nudeln Eis Kaffee Passierte Tomaten Almdudler Quelle: Arbeiterkammer 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Teuerung: Für das gleiche Produkt zahlt man in Österreich mehr Preis in Österreich Preis in Deutschland 2,49 1,49 2,29 1,39 5,94 3,69 10,99 7,49 1,99 1,39 1,89 1,64 rk DI rk DI 194 k4 Daten und Zufall Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
8.2 Vergleich von Merkmalen Mehrfeldertafeln 8.11 In den Klassen 4A und 4B findet eine anonyme Umfrage zum Mathematikunterricht statt. Dabei sollen die Schülerinnen und Schüler angeben, ob sie den Unterricht gut oder weniger gut finden. Das Ergebnis der Umfrage lautet: In der 4A finden elf Befragte den Mathematikunterricht gut, neun hingegen weniger gut; in der 4B finden 13 Jugendliche den Unterricht gut und zwölf weniger gut. Trage diese Daten in eine Vierfeldertafel ein! Lösung: Der Vierfeldertafel (Kontingenztafel, Kreuztabelle) in Aufgabe 8.11 kann man entnehmen, dass in der 4B mehr Schülerinnen und Schüler den Mathematikunterricht gut finden als in der 4A, jedoch muss man berücksichtigen, dass sich in der 4B mehr Jugendliche befinden als in der 4A. 8.12 Fortsetzung von Aufgabe 8.11: Berechne alle Randsummen (Zeilensummen und Spaltensummen) der Vierfeldertafel und füge sie dieser hinzu! Lösung: Mit Hilfe der Randsummen lassen sich nun einige relative Häufigkeiten leicht berechnen: 11 _ 20 = 55 % der Jugendlichen in der 4A finden den Mathematikunterricht gut, 9 _ 20 = 45 % weniger gut. In der 4B sieht das anders aus: 13 _ 25 = 52 % der Jugendlichen finden ihn gut und 12 _ 25 = 48 % weniger gut. Bezogen auf die Anzahl der Schülerinnen und Schüler in den beiden Klassen finden mehr Jugendliche der 4A den Mathematikunterricht gut als in der 4B. Außerdem kann man Folgendes herauslesen: Von den Jugendlichen, die den Mathematikunterricht gut finden, gehen 11 _ 24 ≈ 46 % in die 4A und 13 _ 24 ≈ 54 % in die 4B. Von den Jugendlichen, die den Mathematikunterricht weniger gut finden, gehen 9 _ 21 ≈ 43 % in die 4A und 12 _ 21 ≈ 57 % in die 4B. Bemerkung: In den vorigen Aufgaben sind die Ausprägungen zweier Merkmale – die Bewertung des Mathematikunterrichts bzw. die Zugehörigkeit als Schülerin/Schüler einer dritten Klasse –, in jeweils zwei Klassen eingeteilt, in einer Vierfeldertafel dargestellt. Sind die Ausprägungen in mehr als zwei Klassen eingeteilt, verwendet man eine Mehrfeldertafel. DI 4A 4B Mathematikunterricht gut 11 13 Mathematikunterricht weniger gut 9 12 rk 4A 4B summe Mathematikunterricht gut 11 13 24 Mathematikunterricht weniger gut 9 12 21 summe 20 25 45 8 195 Untersuchen von merKmalen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Medienbildung informatische Bildung verkehrs- und Mobilitätsbildung AufgAbEn 8.13 In einer Umfrage zum Thema Nutzung von sozialen Medien in verschiedenen Altersgruppen in den USA wurde eine Stichprobe von 500 Personen befragt. Die Tabelle zeigt die Nutzung von sozialen Medien durch Jugendliche und Erwachsene. (Quelle: https://www.pewresearch.org/internet/2021/04/07/social-media-use-in-2021/, Oktober 2025) Nutzung keine Nutzung summe Jugendliche 190 200 Erwachsene 84 summe 406 1) Fülle die obenstehende Vierfeldertafel vollständig korrekt aus! Gib an, wie viel Prozent aller Erwachsenen soziale Medien nutzen und wie viel Prozent aller befragten Personen soziale Medien nutzen! 2) Welche Gründe könnten dazu führen, dass sich die Nutzung sozialer Medien bei Jugendlichen und Erwachsenen unterscheidet? Erkläre deine Vermutungen! 8.14 In einer Zeitung findet sich die folgende Mehrfeldertafel einer Umfrage zur Verwendung von Computerbetriebssystemen. Interpretiere diese und berechne die relative Häufigkeit der Zahl jener Personen 1) ab einem Alter von 30, die Linux benutzen, 2) die Apple benutzen und unter einem Alter von 30 sind! 3) Berechne die relative Häufigkeit der Zahl jener Personen unter 30 Jahren, die Microsoft benutzen, von allen Microsoftbenutzern! Microsoft Apple Linux Personen unter 30 Jahren 582 213 89 Personen ab 30 Jahren 674 195 28 8.15 Eine Umfrage zum Konsum von Obst und Gemüse in Österreich zeigt, dass 70 % der 500 befragten Personen täglich Obst oder Gemüse essen. Es wurde auch nach dem Geschlecht gefragt, wie der Konsum zwischen Männern und Frauen verteilt ist. (Quelle: Österreichische Gesellschaft für Ernährung ÖGE) Ergänze hierzu die nachstehende Tabelle! essen täglich Obst/Gemüse essen nicht täglich Obst/Gemüse summe Männer 210 250 Frauen summe 8.16 Laut einer Umfrage des Verkehrsclubs Österreich (VCÖ) zur Nutzung öffentlicher Verkehrsmittel im Jahr 2020 nutzten 55% der Bevölkerung in städtischen Gebieten regelmäßig den öffentlichen Verkehr, während es in ländlichen Gebieten nur 30% sind. Die Umfrage bezieht sich auf 1000 befragte Personen aus ganz Österreich, unterteilt in Menschen, die in Städten und in ländlichen Gebieten wohnen. regelmäßige Nutzung keine regelmäßige Nutzung summe Personen in städten 275 Personen in ländlichen Gebieten 150 summe rk DI rk DI rk DI rk DI 196 k4 Daten und Zufall Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
interkulturelle Bildung Medienbildung, informatische Bildung 8.17 Im Rahmen eines Projekts im Fach Geschichte und Politische Bildung wird eine anonymisierte Umfrage durchgeführt, welche die politischen Präferenzen (Bevorzugungen) von Schülerinnen und Schülern ermitteln soll. Die folgende Mehrfeldertafel zeigt die Ergebnisse: klasse 4A klasse 4B klasse 4c summe Präferenz für Partei X 15 12 8 35 Präferenz für Partei y 8 6 24 Präferenz für Partei z 3 19 summe 27 26 24 1) Ergänze die fehlenden Daten in der Mehrfeldertafel! 2) Berechne die Gesamtzahl der befragten Schülerinnen und Schüler! 3) Wie viele Schülerinnen und Schüler aus der 4B bevorzugen Partei Y? 4) Welche Partei hat insgesamt die meisten Präferenzen? 8.18 Eine Umfrage wurde durchgeführt, um die Sprachenkenntnisse von Schilehrerinnen und Schilehrern unterschiedlicher Herkunft zu ermitteln. Die Ergebnisse sind in der folgenden Mehrfeldertafel dargestellt: Deutsch Englisch Französisch summe Personen aus Land A 25 20 Personen aus Land B 15 30 10 55 Personen aus Land c 15 25 60 summe 60 40 165 1) Ergänze die fehlenden Daten in der Mehrfeldertafel! 2) Wie viele Schilehrerinnen und Schilehrer beherrschen mindestens Deutsch oder Englisch? 3) Welches Land hat die meisten Schilehrerinnen und Schilehrer, die Französisch sprechen? 4) Wie hoch ist der Prozentsatz der Personen aus Land B, die mindestens eine der drei Sprachen beherrschen? 8.19 Eine Umfrage wurde durchgeführt, um die Internetnutzung von Schülerinnen und Schülern nach Geschlecht zu erfassen. Die Daten sind in einem Tabellenkalkulationsprogramm (zB Excel, Calc) erfasst: 1) Ermittle mittels Technologie die fehlenden Gesamtzahlen der Kreuztabelle! 2) Gibt es einen Unterschied in der täglichen Internetnutzung zwischen Schülerinnen und Schülern? 3) Wie groß ist der relative Anteil der männlichen Jugendlichen mit seltener Internetnutzung an der Gesamtzahl aller Schülerinnen und Schüler dieser Umfrage? 8.20 Eine Umfrage wurde durchgeführt, um die Fernsehgewohnheiten von Jugendlichen basierend auf ihrem Alter zu untersuchen: Bei den Unter-13-Jährigen sehen 20 Jugendliche täglich fern, 15 seltener. Bei den 13- bis 15-Jährigen sehen 30 täglich und 15 seltener fern, bei den Über-15-Jährigen sind es 25, die täglich, und fünf, die seltener fernsehen. Trage die Zahlen in ein Tabellenkalkulationsprogramm (zB Excel, Calc) ein, berechne die Summen der Zeilen und Spalten und diskutiere die Ergebnisse! DI rk DI rk DI rk DI rk VB 8 197 Untersuchen von merKmalen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
sprachliche Bildung und Lesen statistische zusammenhänge 8.21 In einer Schulklasse sind fünf Mädchen und 20 Buben. 70 % der Buben interessieren sich für Fußball, aber nur 20 % der Mädchen. In einer Pause steht auf der Tafel: „Fußball ist blöd!“ Nun wird spekuliert, wer das an die Tafel geschrieben haben könnte. Riva fragt: „Wer hat das hingeschrieben?“ Kim antwortet: „Ich weiß es nicht, vielleicht ein Mädchen, vielleicht auch ein Bub.“ Josef meint: „Das war bestimmt ein Mädchen.“ Helft den drei Jugendlichen bei der Argumentation mit einer Vierfeldertafel! Lösung: Der Vierfeldertafel kann man entnehmen, dass sich 15 Jugendliche für Fußball interessieren, zehn nicht. Mehr Buben (6) als Mädchen (4) zeigen kein Interesse an Fußball. Somit sind von den nicht an Fußball interessierten Jugendlichen 40 % Mädchen und 60 % Buben. Also ist aufgrund der vorliegenden Zahlen die Wahrscheinlichkeit größer, dass ein Bub den Spruch an die Tafel geschrieben hat. 8.22 Ein Teilergebnis einer wissenschaftlichen Arbeit zum Vergleich von Beurteilung und Selbsteinschätzung im Fach Mathematik bei Schülerinnen und Schülern der 4. Klassen liegt vor: Glaubst du von dir, dass du in Mathematik begabt bist? M-Note im letzten zeugnis sehr einigermaßen eher nicht gar nicht sehr gut 33,3 % 12,7 % 0,9 % 0 % Gut 37,3 % 26,6 % 13,5 % 12,5 % Befriedigend 11,8 % 35,7 % 35,1 % 18,8 % Genügend 17,6 % 24,2 % 42,3 % 43,8 % Nicht genügend 0 % 0,8 % 8,1 % 25,0 % Kann beim Vergleich der beiden Merkmale – der Zeugnisnote in Mathematik bzw. der Selbsteinschätzung der Begabung in Mathematik – ein Zusammenhang festgestellt werden? Lösung: Der Mehrfeldertafel sind entlang der strichlierten Linie hohe relative Häufigkeiten zu entnehmen. Dh. je besser (bzw. je schlechter) die Zeugnisnote ist, desto besser (bzw. schlechter) schätzen die Jugendlichen ihre Begabung ein. Oder anders formuliert: Je besser (bzw. schlechter) die Begabung eingeschätzt wird, desto besser (bzw. schlechter) ist die Zeugnisnote. Man kann daher vermuten, dass zwischen eingeschätzter Begabung und Zeugnisnote in Mathematik ein positiver statistischer Zusammenhang vorliegt. VB Buben Mädchen summe Interesse an Fußball 14 1 15 kein Interesse an Fußball 6 4 10 summe 20 5 25 VB 198 k4 Daten und Zufall Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Gesundheitsförderung Bildungs-, Berufs- und Lebensorientierung AufgAbEn 8.23 Seit dem Jahr 1980 wird die umfassende Statistik über Unfälle und Verletzungen von der Auswertungsstelle für Skiunfälle (ASU Ski) der ARAG Allgemeine Versicherungs-AG erstellt und veröffentlicht. Für die Skisaison 2022/23 liegen die nachstehenden Daten vor. (Quelle: ASU ARAG 2023) a) In der Saison 2022/23 mussten 1,73 von 1 000 Skifahrerinnen und Skifahrern nach Verletzungen stationär im Krankenhaus behandelt werden. Dies entspricht hochgerechnet in etwa 7300 Fällen von stationären Behandlungen nach Skiunfällen. Berechne die Gesamtzahl der Skifahrerinnen und Skifahrer, die als Datengrundlage dienen! b) Bei Personen mit einem Lebensalter von mindestens 15 Jahren hat sich 2022/23 folgendes Bild für Verletzungen (Prozentangaben als Anteil an gesamten Verletzungen) ergeben: kopf schulter rumpf knie Ober- und Unterschenkel Männer 9,5 % 23,8 % 9,7 % 18,2 % 17,4 % Frauen 7,4 % 9,5 % 7,4 % 37,2 % 17,9 % 1) Berechne jeweils den Anteil der übrigen Verletzungen in den Bereichen Hals, Arm, Hand und Fuß an allen Verletzungen in den Körperregionen für Männer und Frauen! 2) Interpretiere die Tabelle, indem du jeweils die Prozentpunkte zwischen Männern und Frauen für jede der genannten Verletzungsregionen angibst! 3) Kann man anhand dieser Datenlage rückschließen, ob aufgrund der Art der Verletzung Männer oder Frauen beim Skifahren risikoreicher unterwegs sind? Begründe die Antwort! 8.24 Die Ergebnisse zweier Untersuchungen zum Thema Salzkonsum und Blutdruck liegen vor: 1. Untersuchung: B ei 150 Personen wurde der Blutdruck (in Millimeter Quecksilbersäule) gemessen. Diese Personen wurden je nach täglichem Salzkonsum in drei Gruppen eingeteilt: geringer Salzkonsum (5 g/Tag), moderater Salzkonsum (< 5 g bis 10 g/Tag) und hoher Salzkonsum (> 10 g/Tag). salzkonsum Blutdruck < 120/80 mmhg Blutdruck > 120/80 mmhg geringer Salzkonsum (5 g/Tag) 45 5 moderater Salzkonsum (< 5 –10 g/Tag) 34 16 hoher Salzkonsum (> 10 g/Tag) 26 24 2. Untersuchung: Das Risiko, im Alter eine Bluthochdruckerkrankung zu entwickeln, wurde bei unterschiedlichen Salzkonsumgruppen untersucht. salzkonsumgruppe risiko für Bluthochdruck im Alter geringer Salzkonsum (5 g/Tag) 7,0 % moderater Salzkonsum (< 5 –10 g/Tag) 10,5 % hoher Salzkonsum (> 10 g/Tag) 13,8 % Interpretiere die Ergebnisse der beiden Untersuchungen hinsichtlich des Merkmals Salzkonsum und Blutdruck! rk DI VB DI 8 199 Untersuchen von merKmalen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
8.25 Bei einer ersten Untersuchung an 2 000 Personen wurde Rot-Grün-Blindheit bei insgesamt 85 Personen entdeckt. 40 % der untersuchten Personen waren Frauen, wobei unter den Frauen nur 0,5 % diese Sehschwäche hatten. Bei einer zweiten, größer ausgelegten Untersuchung an 10 000 Personen wurde die Rot-Grün-Blindheit bei 360 Männern und bei 33 Frauen festgestellt. Hier waren 55 % der untersuchten Personen Frauen. 1) Erstelle für beide Untersuchungen eine vollständige Vierfeldertafel! 2) Wie viel Prozent der Männer sind bei der ersten Untersuchung von der Rot-Grün-Blindheit betroffen? 3) Wie viel Prozent der Männer und wie viel Prozent der Frauen sind bei der zweiten Untersuchung von der Rot-Grün-Blindheit betroffen? 4) Weltweit haben etwa 9% der Männer und 0,8% der Frauen diese Sehschwäche. Wie viele Männer und Frauen hätten bei der zweiten Untersuchung davon betroffen sein müssen, damit sich exakt diese relativen Häufigkeiten ergeben hätten? (Quelle: https://www.sehen.de/sehen/sehschwaeche/rot-gruen-sehschwaeche) 8.26 Gemäß einer Studie Jugend-Internet-Monitor nutzen Jugendliche YouTube zu 80%, aber nur 47% täglich. TikTok wird von 72% genutzt, davon jedoch von 87% täglich. Gegeben ist eine Vierfeldertafel, welche die Nutzung von YouTube (ja/nein) und TikTok (ja/nein) mit täglicher Nutzung durch Jugendliche in Österreich darstellt: youTube täglich (ja) youTube täglich (nein) summe TikTok täglich (ja) 164 189 353 TikTok täglich (nein) 25 27 52 summe 189 216 405 1) Berechne den relativen Anteil der Jugendlichen, die mindestens eine der beiden Plattformen täglich nutzen! 2) Welche Schlussfolgerungen kann man daraus für die Bedeutung dieser sozialen Medien im Alltag der Jugendlichen ziehen? Welche Auswirkungen hat dies für das soziale Leben? 3) Berechne das Verhältnis der Jugendlichen, die mindestens TikTok täglich nutzen, zu denjenigen, die mindestens YouTube täglich nutzen! Was sagt dieses Verhältnis über die relative Popularität der beiden Plattformen aus? MAThEMATIk UND sPrAchE 8.27 a) Erkläre, wie Häufigkeitsverteilungen grafisch dargestellt werden können! b) Erläutere, wie man Daten in Mehrfeldertafeln darstellt! TEchNOLOGIE kOMPAkT rk DI rk DI Ó Übung XXXXXX Gesundheitsförderung Medienbildung sprachliche Bildung und Lesen informatische Bildung 200 k4 Daten und Zufall zentralmaße ermitteln Ó Info XXXXXX GEoGEbrA ExcEl =MITTELWERT(A1:A5) berechnet das arithmetische Mittel der Datenliste in den Zellen A1 bis A5. =MEDIAN(A1:A5) berechnet den Median der Datenliste in den Zellen A1 bis A5. Mittel({a, b, c, d, e}) berechnet das arithmetische Mittel der Datenliste a, b, c, d, e. Median({a, b, c, d, e}) berechnet den Median der Datenliste a, b, c, d, e. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
eXtraBlatt 8.3 zusammenhänge AufgAbEn 8.28 Rita findet im Internet ein paar interessante Seiten zum Thema Luftdruck. Sie betrachtet dabei die Merkmale Seehöhe (in Meter) und Luftdruck (in Hektopascal) und schreibt einige Daten heraus: stadt seehöhe Luftdruck stadt seehöhe Luftdruck La Paz (Bolivien) 4 086 m 623 hPa Peking (China) 52 m 1 009 hPa San Francisco (USA) 3 m 1 019 hPa Brasília (Brasilien) 1 060 m 894 hPa London (Großbritannien) 212 m 1 002 hPa Mexico City (Mexiko) 2 238 m 785 hPa Madrid (Spanien) 655 m 948 hPa Nairobi (Kenia) 1 146 m 891 hPa 1) Ordnet die Städte so, dass die Maße der Seehöhen eine Kleiner-Kette bilden! 2) Zeichnet zu diesen Daten ein Streudiagramm und darin eine Passgerade! Beim Vergleich von Merkmalen lassen sich die beiden ermittelten Daten ein und derselben Person zu einem Zahlenpaar zusammenfassen. Mehrere Zahlenpaare können so als Punkte in einem Koordinatensystem dargestellt werden und man erhält ein sogenanntes streudiagramm, das auch Punktwolke genannt wird. Für 20 Schülerinnen und Schüler wurden die folgenden Streudiagramme erstellt: Abb. 8.1 Streudiagramm zu den Merkmalen Körpergröße und Körpermasse Abb. 8.2 Streudiagramm zu den Merkmalen Körpergröße und Fehlwürfe beim Basketball Abb. 8.3 Streudiagramm zu den Merkmalen Körpergröße und Dioptrienzahl In Abbildung 8.1 lässt sich ein positiver Zusammenhang zwischen Körpergröße und Körpermasse ablesen, in Abbildung 8.2 ein schwacher negativer Zusammenhang zwischen Körpergröße und Zahl der Basketballfehlwürfe, in Abbildung 8.3 ist kein Zusammenhang zwischen Körpergröße und Dioptrienzahl zu erkennen. In einem Streudiagramm kann die Punktwolke bei ersichtlichem Zusammenhang mit einer Geraden angenähert werden. Diese bezeichnet man als Passgerade oder Trendgerade. Man kann sie nach Augenmaß einzeichnen, jedoch gibt es auch hier einige Berechnungsmöglichkeiten, eine Passgerade zu ermitteln, die eindeutig zu einer Punktwolke passt. Im Fall der beiden Merkmale Körpergröße und Körpermasse sieht eine Passgerade so aus wie in nebenstehender Abbildung. 30 130 140 150 160 170 180 190 40 50 60 70 80 Körpermasse in kg Körpergröße in cm 0 130 140 150 160 170 180 190 1 3 5 7 9 2 4 6 8 Zahl der Fehlwürfe Körpergröße in cm 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 130 140 150 160 170 180 190 1 3 2 4 Dioptrienzahl Körpergröße in cm 30 130 140 150 160 170 180 190 40 50 60 70 80 Körpermasse in kg Körpergröße in cm Ó C 8 201 Untersuchen von merKmalen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
K4 Daten und Zufall Wirtschafts-, finanz- und verbraucher/innenbildung 8.4 kompetenzcheck 8.29 Jugendliche im Alter von 12 bis 14 Jahren wurden nach der Anzahl der von ihnen im letzten Monat gelesenen Bücher befragt. Das Ergebnis ist im untenstehenden Diagramm dargestellt. Welche Aussage ist richtig, welche falsch? Kreuze an! richtig falsch Es wurden 25 Jugendliche befragt. Im Durchschnitt hat jeder Jugendliche drei Bücher gelesen. 1 % der Jugendlichen hat sechs Bücher gelesen. 20 % der Jugendlichen haben weniger als zwei Bücher gelesen. Der Median dieser Datenliste ist 3. 8.30 Eine Umfrage wurde durchgeführt, um die Wahlbeteiligung bei einer simulierten Schülerwahl zu erfassen, aufgeschlüsselt nach Altersgruppen. Die Daten sind in einem Tabellenkalkulationsprogramm (zB Excel, Calc) erfasst: 1) Wie viele Schülerinnen und Schüler haben gewählt? 2) Welche Altersgruppe hatte die höchste Wahlbeteiligung? 3) Wie groß ist der Prozentsatz der Nichtwähler unter den Schülerinnen/Schülern über 15 Jahren? 8.31 Die folgende Kontingenztafel zeigt die Ergebnisse einer Umfrage unter 200 Personen, ob sie lieber Tee oder Kaffee trinken und ob sie morgens oder abends trinken. Trinkgewohnheit morgens abends gesamt Tee 50 70 120 Kaffee 60 20 80 gesamt 110 90 200 Kreuze den korrekten relativen Anteil jener Personen an, die morgens trinkt und dabei Kaffee bevorzugt! 8.32 Betrachte folgende Vierfeldertafel, welche die Ergebnisse einer Umfrage zur Lieblingssportart und zur bevorzugten Trainingszeit darstellt! Lieblingssport vormittags nachmittags gesamt Fußball 40 60 100 Tennis 30 20 50 gesamt 70 80 150 Kreuze die korrekte Aussage zu diesen Daten an! Tennis wird meist vormittags trainiert. Vormittags wird generell weniger trainiert. Fußball wird eher nachmittags trainiert. Die Vorliebe für die Trainingszeit ist unabhängig von der Sportart. rk DI 0 1 2 3 4 5 6 2 4 6 8 Anzahl der Bücher Anzahl der Jungendlichen rk DI DI 3 _ 10 5 _ 11 6 _ 11 3 _ 4 DI 202 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
8.33 Laut einer Erhebung der Statistik Austria aus dem Jahr 2024 sind 19,9 % der österreichischen Bevölkerung Mitglied in einem Sportverein. 54,9 % der Vereinsmitglieder üben nur Freizeitsport aus. Im Jahr 2023 haben ca. 9,18 Millionen Menschen in Österreich gelebt. 1) Ergänze die Vierfeldertafel! Freizeitsport kein Freizeitsport summe Vereinsmitglieder keine Vereinsmitglieder 6 617 862 summe 2) Beantworte mithilfe der Tabelle! – Wie viel Prozent der Gesamtbevölkerung sind Freizeitsportler in Vereinen? – Wie viel Prozent der Nicht-Vereinsmitglieder gibt es in der Bevölkerung? – Wie groß ist das Verhältnis von Vereinsmitgliedern zu Nicht-Vereinsmitgliedern? – Wie viele Personen sind Vereinsmitglieder, aber keine Freizeitsportler? 8.34 In einem Basketballverein trainieren 30 Mädchen und 32 Buben. 50 % der Mädchen sind mindestens 170 cm groß, bei den Buben sind 25 % kleiner als 170 cm. Wie groß ist die relative Häufigkeit aller Vereinsmitglieder, die 170 cm oder größer sind? Ergänze dazu die Tabelle! Buben Mädchen summe x º 170 cm x < 170 cm summe 8.35 Jedes Jahr wird die Kaufkraft der Österreicherinnen und Österreicher pro Kopf ermittelt. Im Jahr 2021 veröffentlichte GfK die folgenden Werte: Bundesland kaufkraft in Euro Niederösterreich 25 615 Vorarlberg 25 535 Burgenland 24 919 Oberösterreich 24 728 Salzburg 24 685 Steiermark 23 981 Kärnten 23 833 Tirol 23 579 Wien 22 659 1) Zeichne bei beiden Säulendiagrammen die 2. Achse ein! Skaliere und beschrifte sie korrekt! Welcher Eindruck zum Thema Kaufkraft in den einzelnen Bundesländern entsteht jeweils beim Betrachten der Darstellung? 2) Der Durchschnittswert für eine Person in Österreich ist mit 24 232 € angegeben. Stimmt dieser mit dem arithmetischen Mittel der Liste überein? Begründe die Antwort! rk DI rk DI N V B O S St K T W N V B O S St K T W N V B O S St K T W DI VB Wirtschafts-, finanz- und verbraucher/innenbildung 8 203 Untersuchen von merKmalen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
k4 DATEn und zufAll 9.1 Laplace-Versuche 9.01 Aus einem Behälter mit je einer grünen, einer roten, einer blauen und einer gelben Kugel wird ohne hinzusehen eine Kugel gezogen. Diese soll rot sein. 1) Gib den Grundraum Ω an! 2) Gib die Ereignismenge M(E) an! 3) Berechne die Wahrscheinlichkeit P(E), eine rote Kugel zu ziehen! Lösung: 1) Ω = {grün, rot, blau, gelb} 3) P(E) = 1 _ 4 = 25 % 2) M(E) = {rot} Jede Kugel hat die gleiche Chance, zufällig gezogen zu werden. Ein Zufallsexperiment, bei dem jeder Ausgang die gleiche Chance des Eintretens hat, wird als Laplace-Versuch bezeichnet. Die Wahrscheinlichkeit P(E) für jedes Ereignis E ist das Verhältnis der Anzahl der günstigen (zutreffenden) Versuchsausgänge zur Anzahl aller möglichen Versuchsausgänge. Ist Ω die Menge aller möglichen Ausgänge eines Laplace-Versuchs, E ein Ereignis, M(E) die zugehörige Ereignismenge und P(E) die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von E, dann gilt: P(E) = Anzahl der für E günstigen (zutreffenden) Ausgänge ________ Anzahl aller möglichen Ausgänge DI 9 ZUFallSexpeRimeNTe Deine ziele in diesem kapitel: • Laplace-Wahrscheinlichkeiten ermitteln und deuten können. • Baumdiagramme erstellen und interpretieren können. • Wahrscheinlichkeiten bei ein- und zweistufigen Zufallsexperimenten ermitteln und interpretieren können. Wie lassen sich Wahrscheinlichkeiten bei Zufallsexperimenten berechnen? 204 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
AufgABEn 9.02 Ein fairer Würfel wird geworfen. Das Ereignis E soll das Würfeln einer geraden Zahl sein. 1) Gib den Grundraum Ω an! 2) Gib die Ereignismenge M(E) an! 3) Berechne die Wahrscheinlichkeit P(E), eine gerade Zahl zu erhalten! 9.03 Eine Münze wird geworfen. Das Ereignis E soll das Werfen der Münzseite Zahl sein. 1) Gib den Grundraum Ω an! 2) Gib die Ereignismenge M(E) an! 3) Berechne die Wahrscheinlichkeit P(E), die Münzseite Kopf zu werfen! 9.04 Ein fairer Würfel wird geworfen. a) Gib die Ereignismengen M(E1) und M(E2) für die Ereignisse E1: „Es kommt eine Zahl ª 3“ und E2: „Es kommt eine Zahl > 1“ an und berechne die Wahrscheinlichkeiten P(E1) und P(E2)! b) Gib eine mögliche Ereignismenge M(E) für ein Ereignis E mit P(E) = 5 _ 6 an und beschreibe dieses Ereignis auch in Worten! 9.05 Ein fairer Würfel wird geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit P(E) für die Ereignismenge M(E)! a) M(E) = {1, 2, 3} b) M(E) = {5, 6} c) M(E) = {3, 4, 5, 6} d) M(E) = {2} 9.06 In einer Gruppe sind vier Frauen und drei Männer. Das Ereignis E ist das zufällige Auswählen eines Mannes. Die Chance, eine beliebige Person zu wählen, ist gleich groß. 1) Kreuze den korrekten Grundraum an! Ω = {4, 3} Ω = {Frau, Frau, Frau, Frau, Mann, Mann, Mann} Ω = {Frau, Mann} Ω = { 4 _ 7 , 3 _ 7 } 2) Kreuze die korrekte Ereignismenge M(E) an! M(E) = {Mann} M(E) = { 3 _ 7 } M(E) = {3} M(E) = {Mann, Mann, Mann] 9.07 Ein Kartenspiel hat 52 Karten. Jede Farbe (Pik, Treff, Karo, Herz) ist mit gleich vielen Karten in diesem Kartenspiel vertreten. Eine Karte wird zufällig gezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeit P(E), eine a) Karo-Karte, b) schwarze Karte zu ziehen! 9.08 Ein Glücksrad hat sechs gleich große Sektoren, von denen der goldene Sektor das Gewinnfeld ist. Das Rad wird einmal gedreht, sodass der Zeiger zufällig in einem der sechs Sektoren stehenbleibt. Berechne die Wahrscheinlichkeit P(E), dass der Zeiger im goldenen Gewinnsektor stehenbleibt! 9.09 Ein Laplace-Versuch hat drei mögliche Ausgänge: E1, E2 und E3. Die Wahrscheinlichkeiten für E1 und E2 sind jeweils 0, ˙3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für den Ausgang E 3? Kreuze an! P(E 3) = 0,3 P(E 3) = 0,4 P(E 3) = 1 P(E 3) = 0, ˙3 9.10 Ein Laplace-Versuch hat vier mögliche Ausgänge: E1, E2, E3 und E4. Die Wahrscheinlichkeiten für E1 und E2 sind jeweils 25 %. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für die Ausgänge E3 bzw. E4? Kreuze an! P(E 3) = 40%,P(E4) = 10 % P(E 3) = 10 %, P(E4) = 40 % P(E 3) = P(E4) = 25 % P(E 3) = P(E4) = 50 % DI rk DI rk DI rk DI DI MP DI rk DI rk DI MP DI MP sprachliche Bildung und lesen 9 205 ZUfallseXperiMente Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
9.2 Ermitteln von Wahrscheinlichkeiten Baumdiagramme 9.11 Familie Althaler plant einen Urlaub und kann zwischen einem Strandurlaub und einem Städtetrip wählen. Veranschauliche die beiden Möglichkeiten in einem Baumdiagramm! Lösung: Das Baumdiagramm zeigt die beiden Möglichkeiten der Entscheidungsfindung, die Strecken entsprechen den beiden Möglichkeiten. 9.12 Klaus und Markus planen am Wochenende einen Kinobesuch. Dabei könnten sie mit dem Fahrrad oder mit dem Bus zum Kino fahren und sich dort entweder einen Actionfilm oder einen Comedyfilm ansehen. 1) Veranschauliche in einem Baumdiagramm alle Möglichkeiten, die Klaus und Markus haben! 2) Ermittle die Anzahl der Möglichkeiten und schreibe diese als geordnete Paare an! Lösung: 1) Das Baumdiagramm zeigt die Möglichkeiten der Entscheidungsfindung, die Strecken entsprechen in jeder Stufe den jeweiligen Möglichkeiten. 2) Es gibt vier Möglichkeiten: (Fahrrad | Action), (Fahrrad | Comedy), (Bus | Action), (Bus | Comedy) Mithilfe von Baumdiagrammen lässt sich die Anzahl der Möglichkeiten gut veranschaulichen. AufgABEn 9.13 Sabrina überlegt, ob sie mit dem Auto oder dem Zug zur Arbeit fahren soll. Veranschauliche die beiden Möglichkeiten in einem Baumdiagramm! 9.14 Ein Unternehmen muss entscheiden, ob es in Marketing oder Forschung investieren soll. Veranschauliche die beiden Möglichkeiten in einem Baumdiagramm! 9.15 Ein Restaurant bietet die Wahl zwischen zwei Hauptgerichten und zwei Desserts. 1) Veranschauliche in einem Baumdiagramm alle Möglichkeiten der Zusammenstellung! 2) Ermittle die Anzahl der Möglichkeiten und schreibe diese als geordnete Paare an! 9.16 Theresa hat in einer Schublade 20 blaue und in einer anderen Schublade 20 schwarze Kugelschreiber. Bei sieben blauen und bei fünf schwarzen Kugelschreibern ist die Mine eingetrocknet. Theresa zieht aus jeder Lade einen Kugelschreiber. 1) Veranschauliche in einem Baumdiagramm alle Möglichkeiten, die sie erhalten kann! 2) Ermittle die Anzahl der Möglichkeiten und schreibe diese als geordnete Paare an! DI Strandurlaub Städtetrip DI Fahrrad Bus Action Comedy Action Comedy DI DI DI DI 206 k4 DATEn und zufAll Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Einstufige zufallsexperimente 9.17 Ein Behälter enthält fünf rote und drei blaue Kugeln. Das gewünschte Ereignis E lautet: Es soll ohne hinzusehen eine blaue Kugel gezogen werden. 1) Gib den Grundraum Ω an! 2) Gib die Ereignismenge M(E) an! 3) Stelle dieses einstufige Zufallsexperiment mithilfe eines Baumdiagramms dar! 4) Ermittle die Wahrscheinlichkeit P(E)! Lösung: 1) Ω = {rot, blau} 3) 4) P(E) = 3 _ 8 2) M(E) = {blau} In Aufgabe 9.17 gibt es zwei mögliche Versuchsausgänge: Entweder erhält man eine rote oder eine blaue Kugel. Die Wahrscheinlichkeit eines Versuchsausgangs in einem einstufigen zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit entlang des Wegs, der im Baumdiagramm zu diesem Versuchsausgang gehört. Der Grundraum Ω beinhaltet alle möglichen Versuchsausgänge im einstufigen Zufallsexperiment. Die Elemente der Ereignismenge M(E) sind alle günstigen (zutreffenden) Versuchsausgänge. AufgABEn 9.18 Ein fairer Würfel wird geworfen. Das gewünschte Ereignis E lautet: Es kommt eine Augenzahl, die größer als 3 ist. 1) Gib den Grundraum Ω an! 2) Gib die Ereignismenge M(E) an! 3) Stelle dieses einstufige Zufallsexperiment mithilfe eines Baumdiagramms dar! 4) Ermittle die Wahrscheinlichkeit P(E)! 9.19 Ein Stapel Karten besteht aus 20 Karten. Es gibt jeweils fünf Herz-, Karo-, Treff- und Pik-Karten. Das gewünschte Ereignis E lautet: Eine schwarze Karte wird gezogen. 1) Gib den Grundraum Ω an! 2) Gib die Ereignismenge M(E) an! 3) Stelle dieses einstufige Zufallsexperiment mithilfe eines Baumdiagramms dar! 4) Ermittle die Wahrscheinlichkeit P(E)! 9.20 Ein Experiment besteht darin, zufällig eine Zahl von 1 bis 10 zu wählen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E, eine Primzahl zu wählen? Kreuze an! P(E) = 10 % P(E) = 20 % P(E) = 30 % P(E) = 40 % 9.21 Auf einem Glücksrad steht in jedem der acht gleich großen Sektoren eine Zahl von 1 bis 8. Das Glücksrad wird einmal gedreht. Man gewinnt, wenn das Ereignis E eintritt: Der Zeiger bleibt im Sektor „7“ oder im Sektor „8“ stehen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E? Kreuze an! P(E) = 0,125 P(E) = 0,25 P(E) = 0,5 P(E) = 0,75 DI rk rot blau 3 8 5 8 DI rk DI rk DI rk DI rk 9 207 ZUfallseXperiMente Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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