Allgemeine lineare funktionen 4.52 In einer Fritteuse befinden sich bereits 1,5 Liter Speiseöl. Eine Maschine füllt in diesen Behälter pro Minute gleichmäßig 0,4 Liter Speiseöl hinzu. Es sei t die Zeit in Minuten und V (t) das bereits vorhandene Speiseölvolumen zum Zeitpunkt t. 1) Stelle diese Zuordnung in einer Tabelle und durch den Graphen der Funktion V in einem Koordinatensystem dar! 2) Gib eine Termdarstellung der Funktion V an! 3) Wie viel Liter Speiseöl sind nach sieben Minuten in der Fritteuse? 4) Nach wie vielen Minuten sind 5,5 Liter Speiseöl in der Fritteuse? Lösung: 1) Tabelle: Koordinatensystem: t V (t) 0 1,5 1 1,9 2 2,3 3 2,7 2) V (t) = 0,4·t + 1,5 3) V (7) = 0,4·7 + 1,5 = 4,3 Nach sieben Minuten sind 4,3 Liter Speiseöl in der Fritteuse. (Kontrolliere am Graphen der Funktion V, ob V (7) = 4,3!) 4) V (t) = 5,5, das bedeutet: 5,5 = 0,4·t + 1,5 w 4 = 0,4·t w t = 10 Nach zehn Minuten sind 5,5 Liter Speiseöl in der Fritteuse. (Kontrolliere am Graphen der Funktion V, ob V (10) = 5,5!) Die Funktion V in Aufgabe 4.52 ist keine direkte Proportionalitätsfunktion, da V (0) ≠ 0. Ist f eine reelle Funktion mit f(x) = k·x + d, so nennt man f eine allgemeine lineare funktion. Dabei ist k die steigung der funktion (Geraden) und d der funktionswert an der stelle 0. Die Zahl k ist ein Maß dafür, wie stark der Graph steigt bzw. fällt. Ist k > 0, so steigt die Gerade. Ist k < 0, so fällt die Gerade. Ist k = 0, so spricht man von einer konstanten funktion. Eine konstante Funktion mit d ≠ 0 ist eine Gerade, die parallel zur 1. Achse liegt. Eine konstante Funktion mit d = 0 fällt mit der 1. Achse zusammen und klarerweise eine Gerade. Der Graph der Funktion V in Aufgabe 4.52 ist eine Gerade, die nicht durch den Ursprung des Koordinatensystems verläuft, da V (0) = 1,5. Der Graph einer allgemeinen linearen Funktion f ist stets eine gerade mit f (0) = d. Bemerkung: In der Funktionenlehre werden lediglich direkte Proportionalitätsfunktionen als lineare Funktionen bezeichnet. Eine Funktion f mit f (x) = k·x + d trägt den Namen affin-lineare Funktion. Dies bedeutet, dass der Graph von f eine um die Konstante d „verschobene“ Funktion einer linearen Funktion vom Typ f (x) = k·x ist. In diesem Buch bleiben wir aber der Einfachheit halber bei der Bezeichnung lineare Funktion für Funktionen f mit f (x) = k·x + d. Rk DI 1 2 3 4 5 6 7 1 O V(t) t 2 3 4 5 6 7 8 9 10 V 100 k2 VArIABlEn unD funkTIOnEn Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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