5.2 längen von hypotenuse und katheten ermitteln Berechnen der fehlenden seitenlänge 5.11 Von einem rechtwinkeligen Dreieck sind die Längen der Katheten a = 12 cm und b = 16 cm gegeben. Berechne die Hypotenusenlänge c! Fertige zuvor eine Skizze an! lösung: 122 + 162 = 144 + 256 = c2 400 = c2 Da 20·20 = 400, also 202 = 400, gilt: c = 20. Die Hypotenuse c ist 20 cm lang. Bemerkung: Es gilt auch (‒20)·(‒20) = (‒20)2 = 400. Da aber Streckenlängen stets positive Zahlen sind, ist nur c = 20 sinnvoll. 5.12 Von einem rechtwinkeligen Dreieck sind die Länge der Kathete a = 9 m und die Länge der Hypotenuse c = 41 m gegeben. Berechne die Kathetenlänge b! Fertige zuvor eine Skizze an! lösung: 92 + b2 = 412 b2 = 412 – 92 = 1 681 – 81 = 1 600 Da 9 ____ 1 600= 40, gilt: b = 40. Die Kathete b ist 40 m lang. Bemerkung: Es gilt 402 = 1 600, aber auch (‒40)2 = 1 600. Da 9 ____ 1 600eine Zahl ist und damit das Wurzelsymbol eindeutig ist, gilt nur 9 ____ 1 600 = 40. 5.13 Ein Sendemast wird an beiden Seiten durch so genannte Abspannseile gesichert. Diese sind an dem Mast in einer Höhe von 170 m befestigt und auf dem Boden in einem Abstand von 80m links und rechts vom Mast verankert. Berechne die Länge eines solchen Abspannseils, wenn es straff gespannt ist! Fertige zuvor eine Skizze an! lösung: Das linke Seil, der Mast und die horizontale Strecke von der linken Verankerung bis zum Mast bilden ein rechtwinkeliges Dreieck, dessen Kathetenlängen a = 80 m und b = 170 m sind. Es gilt also der pythagoräische Lehrsatz. 802 + 1702 = c2 und damit 9 _______ 802 + 1702 = c 9 _______ 802 + 1702 = 9 __________ 6400 + 28900= 9 _____ 35 300 = c Mit dem Taschenrechner erhält man c = 187,882 942 3 … ≈ 188. Das Abspannseil ist rund 188 m lang. Vorsicht: Im Allgemeinen gilt: 9 _____ a2 + b2 ≠ 9 __ a2 + 9 __ b2 ! Es seien a und b die kathetenlängen und c die hypotenusenlänge eines rechtwinkeligen Dreiecks. Dann gilt nach dem pythagoräischen Lehrsatz: a2 = c2 – b2 oder a = 9 _____ c2 – b2 b2 = c2 – a2 oder b = 9 _____ c2 – a2 c2 = a2 + b2 oder c = 9 _____ a2 + b2 a = 12 cm b = 16 cm c = ? Rk Rk a = 9 m c = 41 m b = ? 170 m 80 m c Rk 5 121 der pythaGoräische lehrsatZ und seine AnWendunGen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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