5.5 Der pythagoräische lehrsatz in körpern Volumen, Oberflächeninhalt und Masse von Prismen 5.139 Berechne die Längen der Flächendiagonalen d1 und der Raumdiagonalen d eines Würfels mit der Kantenlänge 5 cm! lösung: d1 2 = 52 + 52 = 52·2 w d 1 = 5 9_ 2 ≈ 7,1 (cm) d2 = 52 + d 1 2 = 52 + (5 9 _ 2 )2 = 52 + 52·2 = 52·3 w d = 5 9 _ 3 ≈ 8,7 (cm) Sind a, b und h die kantenlängen eines Quaders, dann gilt nach dem pythagoräischen Lehrsatz für die Längen der flächendiagonalen d1, d 2 und d3 und der Raumdiagonalen d: d 1 = 9 _____ a2 + b2 , d 2 = 9 _____ a2 + h2 , d 3 = 9 _____ b2 + h2 , d = 9 ________ a2 + b2 + h2 Für einen Würfel mit der kantenlänge a gilt: d 1 = d 2 = d 3 = a· 9 __ 2 und d = a·9 __ 3 Für den Oberflächeninhalt O, das Volumen V und die Masse m eines Prismas, Quaders, Würfels gilt: O = 2·G + M und V = G·h und m = V·ρ. AufgabEn 5.140 Sind die Aussagen richtig oder falsch? Kreuzt an! richtig falsch Ein n-seitiges Prisma ist ein Körper, der von zwei kongruenten n-Ecken und n Parallelogrammen begrenzt wird. Ein Prisma ist eine Sonderform eines Quaders, ein Quader ist eine Sonderform eines Würfels. Der Oberflächeninhalt O eines Prismas ist die Summe aus Grundflächeninhalt G und Mantelflächeninhalt M. Für das Volumen eines Prismas gilt: V = G·h. Sind Grund- und Deckfläche eines Prismas regelmäßige Vierecke, so handelt es sich um einen Würfel. 5.141 Ergänzt den Text! Beachtet die Abbildung! Ein Quader hat die Flächendiagonalen: AC, , , , , , , , , , und die Raumdiagonalen: AG, , , . In einem Quader sind stets je Flächendiagonalen gleich lang, alle vier Raumdiagonalen haben Länge. Rk DI 5 5 5 d d1 a b h d d2 d3 d1 a a a d d1 B DI B DI D A B C G H E F 142 k3 fIgurEn unD körPEr Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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