Volumen, Oberflächeninhalt und Masse von Pyramiden 5.166 Die Mykerinos-Pyramide hat eine Grundkantenlänge a von ca. 103 m und eine Höhe h von heute ca. 62 m. Berechne 1) die Höhe ha einer Seitenfläche, 2) die Länge s einer Seitenkante! lösung: 1) ha 2 = h2 + “ a _ 2 § 2 = 622 + “ 103 _ 2 § 2 = 622 + 51,52 ha = 9 ______ 622 + 51,52 = 9 _____ 6 496,25 ≈ 80,6 (m) 2) d2 = a2 + a2 = 2 a2 w d = a 9 _ 2 s2 = h2 + “ d _ 2 § 2 = 622 + “ 103 9_ 2 _ 2 § 2 = 622 + 103 2·2 _ 4 = 62 2 + 103 2 _ 2 s = 9 ____ 9 148,5 ≈ 95,6 (m) Für eine regelmäßige vierseitige Pyramide mit der Basiskantenlänge a, der seitenkantenlänge s, der körperhöhe h, der seitenflächenhöhe ha und der Grundflächendiagonalen d gilt nach dem pythagoräischen Lehrsatz (1) durch Diagonalschnitt: (2) durch Mittelschnitt: (3) anhand einer seitenfläche: s = 9 ______ h2 + “ d _ 2 § 2 = 9 _____ h2 + a 2 __ 2 h a = 9 ______ h2 + “ a _ 2 § 2 s = 9 _______ h a 2 + “ a _ 2 § 2 Für n-seitige Pyramiden kann der pythagoräische Lehrsatz angewendet werden, wenn in Körperschnitten rechtwinkelige Dreiecke als Teilfiguren vorkommen. Es sei G der Grundflächeninhalt, M der Mantelflächeninhalt und ρ die Dichte des Körpers. Für den Oberflächeninhalt O, das Volumen V und die Masse m jeder Pyramide gilt: O = G + M und V = G·h ___ 3 und m = V·ρ. AufgabEn 5.167 Sind die Aussagen richtig oder falsch? Kreuzt an! richtig falsch Jeder Körper der eine Spitze hat, ist eine Pyramide. Alle Pyramiden haben quadratische Grundflächen. Die Höhe einer geraden Pyramide ist der Normalabstand zwischen Grundfläche und Spitze. Eine n-seitige Pyramide hat n Begrenzungsflächen, n Ecken und n Kanten. Die Grundfläche einer regelmäßigen Pyramide ist ein regelmäßiges Vieleck, die Seitenflächen sind kongruente, gleichschenkelige Dreiecke. Rk DI h s d 2 h ha a 2 ha s a 2 B DI 146 k3 fIgurEn unD körPEr Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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