5.6 Beweise Beweis nach Thabit ibn Qurra Der arabische Mathematiker THABIT ibn QURRA (826 – 901) hat den pythagoräischen Lehrsatz mit einer Flächenteilungsüberlegung bewiesen. Der Engländer Henry PERIGAL hat diesen Beweis im Jahr 1873 verfeinert: In zwei nebeneinanderliegende Quadrate mit den Seitenlängen a und b werden zwei kongruente rechtwinkelige Dreiecke mit den Kathetenlängen a und b und der Hypotenusenlänge c eingezeichnet (Abb. 8.1). Der Flächeninhalt der Figur setzt sich aus dem Flächeninhalt a·a = a2 des linken Quadrats und dem Flächeninhalt b·b = b2 des rechten Quadrats zusammen a 2 + b 2 . Verschiebt man nun die beiden rechtwinkeligen Dreiecke wie in Abbildung 8.2, so entsteht ein Quadrat mit der Seitenlänge c, dessen Flächeninhalt c·c = c 2 ist (Abb. 8.3). Die grüne Fläche, die in beiden Fällen nicht von den beiden Dreiecken überdeckt ist, bleibt dieselbe. Daher muss gelten a 2 + b 2 = c 2. Abb. 8.1 Abb. 8.2 Abb. 8.3 Beweis nach fibonacci Der pythagoräische Lehrsatz lässt sich auch mit Hilfe ähnlicher Dreiecke beweisen. LEONARDO von Pisa, genannt FIBONACCI, (ca. 1170 – ca. 1250) hat einen dieser Beweise in seiner Schrift „Practica Geometria“ angeführt. In ein rechtwinkeliges Dreieck ABC wird die Höhe auf die Hypotenuse c eingezeichnet und der Schnittpunkt der Höhe mit c wird H genannt. Die Dreiecke CAH und ABC sind ähnlich, da sie in allen drei Winkeln übereinstimmen. Daher gilt: _ AH _ AC = _ AC _ AB _ AH· _ AB = _ AC 2 Die Dreiecke BCH und ABC sind ähnlich, da sie in allen drei Winkeln übereinstimmen. Daher gilt: _ HB _ BC = _ BC _ AB _ HB· _ AB = _ BC 2 Aus diesen beiden Überlegungen folgt nun: _ BC 2 + _ AC 2 = _ HB· _ AB + _ AH· _ AB = ( _ HB + _ AH)· _ AB = _ AB· _ AB = _ AB 2 Da _ BC= a, _ AC= b und _ AB= c, wird aus _ BC 2 + _ AC 2 = _ AB 2 der pythagoräische Lehrsatz a 2 + b 2 = c 2. Ó Demo x2d8ph b b a c c a b b a c c c c a b c c c c a a b c A H B C 5 149 der pythaGoräische lehrsatZ und seine AnWendunGen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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