1.2 rationale und irrationale zahlen 1.11 Drei quadratische Grundstücke haben die unterschiedlichen Flächeninhalte A1, A2 und A3. Berechne die Seitenlängen a1, a2 und a3! In welcher Eigenschaft unterscheiden sich diese? a1 a2 a3 A1 = 16 m2 A2 = m2 A3 = 24 m2 81 4 Lösung: a1 = 4 m, a2 = 9 _ 2 m, a3 = 9__ 24 m Die Maße für a1 und a2 lassen sich in Bruchdarstellung angeben, das Maß für a3 nicht. 1.12 Gegeben sind die Zahlen 4 _ 9 und √2. Versucht beide Zahlen in der Dezimaldarstellung anzuschreiben! Was haben beide Zahlen gemeinsam? Worin liegen die Unterschiede? 4 _ 9 = √2 = Zahlen in der Darstellung z _ n mit z * Z und n * N* sind rationale zahlen. Somit ist die Menge Q der rationalen zahlen folgendermaßen definiert: Q = { z _ n | z * Z und n * N* } Dabei ist auch jede ganze Zahl z und damit auch jede natürliche Zahl n eine rationale Zahl, denn dafür kann jeweils n _ 1 = 2 n __ 2 = 3 n __ 3 = … bzw. z _ 1 = 2 z __ 2 = 3 z __ 3 = … geschrieben werden. Zahlen in unendlicher periodischer Dezimaldarstellung sind ebenso rationale Zahlen, da sich diese in Bruchdarstellung angeben lassen, zB: 0,444 444 4… = 0, • 4 = 4 _ 9 . Gibt es nun überhaupt Zahlen, die nicht rational sind? Ist die Dezimaldarstellung von √2 endlich oder periodisch oder etwa unendlich, aber nicht periodisch? 1.13 Zeige, dass 9 _ 2keine ratinale Zahl ist! Lösung: Wir führen einen so genannten indirekten Beweis. Dabei wird das Gegenteil der Behauptung angenommen und versucht, einen Widerspruch zu erzielen. Dann muss nämlich die zuvor aufgestellte Behauptung gelten. Die Annahme lautet nun: Es gibt eine rationale Zahl d mit d2 = 2. Dann muss sich d in der Form z _ n mit z * Z und n * N* darstellen lassen. Weiters wird vorausgesetzt, dass z _ n so weit wie möglich durchgekürzt ist und n > 1. Denn wäre n = 1, müsste d eine ganze Zahl sein. Das ist aber nicht möglich, da es keine ganze Zahl gibt, deren Quadrat gleich 2 ist. Da nun z _ n so weit wie möglich durchgekürzt ist, kann auch d 2 = z _ n · z _ n nicht weiter gekürzt werden. Somit ist auch d2 keine ganze Zahl. Und das ist ein Widerspruch zur Annahme d2 = 2. Daher kann √2 keine rationale Zahl sein. Die Zahl √2 hat keine endliche und keine periodische Dezimaldarstellung, sondern eine unendliche, nicht periodische Dezimaldarstellung: √2 = 1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 698 078 569 671 875 376 948 073 176 679 737 990 … rk DI B DI rk DI 16 k1 Zahlen und Maẞe Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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