6.4 Der flächeninhalt von kreisen und kreisteilen 6.28 Schätze, wie groß der Flächeninhalt A eines Kreises mit dem Radius r = 1 cm ist! lösung: Der Flächeninhalt A eines Kreises mit dem Radius r = 1 cm ist sicher kleiner als der eines umgeschriebenen Quadrats (4cm2) und sicher größer als der eines eingeschriebenen Quadrats (2 cm2). Wir können die Flächeninhalte der beiden Quadrate als Schranken ansehen: 2cm2 <A<4cm2 Der Flächeninhalt des Kreises beträgt ca. 3 cm2. Jetzt lässt sich natürlich vermuten, dass der Flächeninhalt nicht 3 cm2, sondern vermutlich π cm2 groß ist. Wie schon beim Ermitteln des Verhältnisses von Kreisumfang zu Kreisdurchmesser kann dazu eine genauere Einschrankung mit regelmäßigen n-Ecken herangezogen werden: 6.29 Schreibe einem Kreis mit dem Radius r = 1 ein regelmäßiges Sechseck ein und ein regelmäßiges Sechseck um, berechne jeweils den Flächeninhalt der beiden Sechsecke und ermittle damit Schranken für den Flächeninhalt A des Kreises! lösung: flächeninhalt Ae des eingeschriebenen sechsecks: Das regelmäßige Sechseck besteht aus sechs gleichseitigen Dreiecken, die alle die Seitenlänge 1 haben: Ae = 6· 12 __ 4 ·√3 = 3 _ 2 ·√3 ≈ 2,6 flächeninhalt Au des umgeschriebenen sechsecks: Das regelmäßige Sechseck besteht aus sechs gleichseitigen Dreiecken, die alle die Höhe 1 haben. Für die Seitenlänge a des umgeschriebenen Sechsecks gilt nach dem pythagoräischen Lehrsatz: “ a _ 2 § 2+ 12 = a2 w a2 – “ a _ 2 § 2 = 1 w 3 a 2 ___ 4 = 1 w 3 a 2 = 4 w a2 = 4 _ 3 w a = 2 __ 9 __ 3 Au = 6· “ 2 __ 9 __ 3 § 2 ___ 4 ·√3 = 6· 4 _ 3 _ 4 ·√3 = 6· 1 _ 3 ·√3 = 2 √3 ≈ 3,46 Da Ae < A < Au, gilt 2,6 < A < 3,46. 6.30 Ermittle wie in Aufgabe 6.29 Schranken für den Flächeninhalt eines Kreises mit dem Radius r = 2! Ist der Flächeninhalt doppelt so groß wie der des Kreises mit r = 1? Begründe! lösung: flächeninhalt Ae des eingeschriebenen sechsecks: Ae = 6· 22 __ 4 ·√3 = 6·√3 ≈ 10,4 flächeninhalt Au des umgeschriebenen sechsecks: “ a _ 2 § 2 + 22 = a2 w a2 – “ a _ 2 § 2 = 4 w 3 a 2 ___ 4 = 4 w 3 a 2 = 16 w a2 = 16 __ 3 w a = 4 _ 9 _ 3 Au = 6· “ 4 _ 9 _ 3 § 2 _ 4 ·√3 = 6· 16 __ 3 __ 4 ·√3 = 6· 4 _ 3 ·√3 = 8 √3 ≈ 13,86 Da Ae < A < Au, gilt 10,4 < A < 13,86. nein, der Flächeninhalt eines Kreises mit r = 2 ist viermal so groß wie der eines Kreises mit r = 1. Verdopplung aller Seitenlängen führt zu einer Vervierfachung des Flächeninhalts. 1 Rk DI Ó Werkzeug d28uc7 1 1 1 Rk DI Rk DI 162 k3 fIgurEn unD körPEr Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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