Der flächeninhalt eines kreissektors 6.71 Der nebenstehende Kreis ist in vier gleich große Sektoren unterteilt. Berechne den Flächeninhalt A Vk des gelben Sektors, wenn r = 6 cm! lösung: Der Flächeninhalt A des Kreises ist A = 62·π = 36 π ≈ 113 (cm2). 1 _ 4 des Kreisflächeninhalts ist AVk = 1 _ 4 ·A = 1 _ 4 ·36 π = 9 π ≈ 28,3 (cm2). Ist A der Flächeninhalt eines Kreises, dann ist A hk = 1 _ 2 ·A der flächeninhalt des halbkreises, A Vk = 1 _ 4 ·A der flächeninhalt des Viertelkreises und A Ak = 1 _ 8 ·A der flächeninhalt des Achtelkreises. 6.72 Ein Glücksrad mit dem Radius r = 7dm hat drei unterschiedlich große Gewinnsektoren: Der Sektor für den 1. Preis hat das Zentriwinkelmaß α1 = 40°, jener für den 2. Preis α2 = 85°. Der restliche Sektor ist für Trostpreise vorgesehen. 1) Gib die Flächeninhalte der drei Sektoren an! 2) Wie viel Prozent des Kreisflächeninhalts macht der Inhalt des Sektors „1. Preis“ aus? lösung: 1) Der Flächeninhalt eines Kreissektors ist genau α _ 360 des gesamten Kreisflächeninhalts: Sektor „1. Preis“: A1 = 40 ___ 360 ·7 2·π = 1 960 ___ 360 ·π ≈ 17,1 (dm2) Sektor „2. Preis“: A2 = 85 ___ 360 ·7 2·π = 4 165 ___ 360 ·π ≈ 36,3 (dm2) Sektor „Trostpreis“: α3 = 360° – (40° + 85°) = 235° A3 = 235 ___ 360 ·7 2·π = 11 515 ____ 360 ·π ≈ 100,5 (dm2) 2) Es gilt: x % von 360° sind 40° w x ___ 100 · 360 = 40 w x = 11, • 1 Der Inhalt des Sektors „1. Preis“ macht ca. 11 % des Kreisflächeninhalts aus. Ist Ak der Flächeninhalt eines Kreises mit dem Radius r, gilt für den flächeninhalt As des kreissektors mit dem zugehörigen Zentriwinkelmaß α: As = α ___ 360 ·A k = α ___ 360 ·r 2·π Ist statt des Zentriwinkelmaßes α die Länge b des zugehörigen Kreisbogens gegeben, kann folgende Überlegung angestellt werden: Da b = α ___ 360 ·2 r π, erhält man durch Umformungen α = 360 b ____ 2 r π . In die Formel As = α ___ 360 ·r 2·π wird für α nun 360 b ____ 2 r π eingesetzt: As = α ___ 360 · r 2·π = α· 1 ___ 360 · r 2·π = 360 b ____ 2 r π · 1 ___ 360 · r 2·π = b ___ 2 r π · r 2·π = b r __ 2 Ist r der Radius des Kreises und b die Länge eines Kreisbogens, gilt für den flächeninhalt As des zugehörigen kreissektors: As = b·r ___ 2 AufgabEn 6.73 Berechne des Flächeninhalt eines a) Halbkreises mit dem Radius r = 7cm, b) Viertelkreises mit dem Radius r = 34mm, c) Achtelkreises mit dem Radius r = 0,7m! Rk DI r 1. Preis 2. Preis Trostpreise α1 α2 α3 Rk DI A b r r α Rk 168 k3 fIgurEn unD körPEr Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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