eXtraBlatt 7.7 Die kugel in formeln Volumen der kugel In zwei Gefäße wird gleichzeitig und gleichmäßig Wasser eingefüllt. Das erste ist ein Drehzylinder, aus dem ein Drehkegel mit gleichem Radius und gleicher Höhe herausragt, sodass sich das Wasser nur um den Kegel herum sammeln kann. Von oben betrachtet kann man stets einen Kreisring aus Wasser erkennen. Das zweite Gefäß ist eine Schale in Halbkugelform. Von oben betrachtet kann man stets eine Kreisfläche aus Wasser erkennen. Beim Einfüllen ist der Wasserstand jeweils stets gleich. Beide Gefäße haben dasselbe Volumen. Am Querschnitt der beiden Gefäße erkennt man, dass die Breite des Kreisrings im ersten Gefäß h ist, da die Erzeugende des Kegels um 45° geneigt ist. Für den Flächeninhalt des Kreisrings im ersten Gefäß gilt daher: A kreisring = r 2 π – (r – h)2 π = (r2 – (r – h)2)·π = (r2 – r2 +2rh–h2)·π =(2rh–h2)·π = (2r – h)·π h Im zweiten Gefäß lässt sich der Radius x der Kreisfläche mit dem pythagoräischen Lehrsatz herleiten: x2 = r2 – (r – h)2. Für den Flächeninhalt der Kreisfläche im zweiten Gefäß gilt daher: A kreisfläche = x 2 π = (r2 – (r – h)2)·π = (r2 – r2 +2rh–h2)·π =(2rh–h2)·π = (2r – h)·π h Die Inhalte von kreisring und kreisfläche sind gleich. Das Prinzip von CAVALIERI (siehe Mathematik verstehen 3, Seite 229) besagt, dass zwei Körper mit gleicher Höhe h das gleiche Volumen haben, wenn die Inhalte aller ebenen Schnittflächen miteinander übereinstimmen, die parallel zu einer vorgegebenen Ebene in jeder Höhe durchgeführt werden. Daher sind die Wasservolumina in beiden Gefäßen gleich. Sind nun beide Gefäße vollständig gefüllt, gilt für das Wasservolumen V1 im ersten Gefäß: V1 = VDrehzylinder – VDrehkegel = r 2 π·r – r 2 π·r ____ 3 = 3 r3 π ___ 3 – r3 π ___ 3 = 2 r3 π ___ 3 Da die Volumina in beiden Gefäßen gleich sind, gilt V1 auch für das zweite Gefäß mit dem Wasservolumen V2, die Halbkugel: V2 = 2 r3 π _ 3 . Das Volumen V einer Kugel ist nun das Doppelte des Volumens der Halbkugel V2, also: V = 2·V2 = 2· 2 r3 π _ 3 = 4 r3 π _ 3 Oberflächeninhalt der kugel Die Oberfläche einer Kugel ist gewölbt und lässt sich nicht flach abrollen. Zur Berechnung des Oberflächeninhalts O greifen wir zu einem Trick: Stellt man sich die Kugeloberfläche in sehr viele sehr kleine Teilflächen aufgeteilt vor und verbindet man nun die vier Eckpunkte dieser Flächen mit dem Mittelpunkt M der Kugel, so entstehen kleine pyramidenähnliche Körper mit der Höhe r und jeweils sehr kleinen Grundflächeninhalten G1, G2, G3, …, Gn. Die Summe der Volumina aller dieser kleinen „Pyramiden“ sollte das Volumen V der Kugel ergeben: V ≈ G1·r _ 3 + G2·r _ 3 + G3·r _ 3 + … + Gn·r _ 3 = r _ 3 · (G1 + G2 + G3 + … + Gn) = r _ 3 ·O ≈ 4 r3π ___ 3 w O ≈ 4 r 3 π _ 3 r _ 3 = 4 r3 π _ 3 · 3 _ r = 4 r 2 π Mit Hilfe der höheren Mathematik kann sogar die Gleichheit zwischen O und 4 r2 π gezeigt werden. Ó Info kb5x4w M h r r h r r‒h h 45° 45° r r‒h r x 7 189 rotationsKörper Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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