Genau – mindestens – höchstens 9.39 Aus dem Behälter in nebenstehender Abbildung werden zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. 1) Zeichne dazu ein Baumdiagramm! 2) Berechne die Wahrscheinlichkeiten für folgende Ereignisse: • E1: Beide Kugeln sind blau (b). • E2: Genau eine Kugel ist rot (r). • E3: Mindestens eine Kugel ist schwarz (s). • E4: Höchstens eine Kugel ist blau (b). Lösung: 1) 2) • P(E1) = 4 _ 9 · 3 _ 8 = 1 _ 3 · 1 _ 2 = 1 _ 6 • P(E2) = P((b, r) oder (s, r) oder (r, b) oder (r, s)) = = P((b, r)) + P((s, r)) + P((r, b)) + P((r, s)) = = 4 _ 9 · 2 _ 8 + 3 _ 9 · 2 _ 8 + 2 _ 9 · 4 _ 8 + 2 _ 9 · 3 _ 8 = 7 _ 18 • P(E3) = P((b, s) oder (s, b) oder (s, s) oder (s, r) oder (r, s)) = = P((b, s)) + P((s, b)) + P((s, s)) + P((s, r)) + P((r, s)) = = 4 _ 9 · 3 _ 8 + 3 _ 9 · 4 _ 8 + 3 _ 9 · 2 _ 8 + 3 _ 9 · 2 _ 8 + 2 _ 9 · 3 _ 8 = 7 _ 12 • Für P(E4) müssten alle Produkte bis auf P((b, b)) addiert werden. Da (b, b) [„Beide Kugeln sind blau.“], dh. E1, das Gegenereignis zu E4 ist, darf man rechnen: P(E4) = 1 – 4 _ 9 · 3 _ 8 = 1 – 1 _ 6 = 5 _ 6 Manche Ereignisse setzen sich aus mehreren Wegen im Baumdiagramm zusammen. Können von mehreren Ereignissen eines Zufallsexperiments keine zwei gleichzeitig eintreten, werden diese Wahrscheinlichkeiten addiert. Addiert man die Wahrscheinlichkeiten aller Wege, zB P((b, b)) + P((b, s)) + … + P((r, r)), so erhält man 1, die Wahrscheinlichkeit für ein sicheres Ereignis. Zwei Ereignisse E1 und E2 eines Zufallsexperiments nennt man einander ausschließend, wenn sie nicht zugleich eintreten können. Die Wahrscheinlichkeit P(E1 oder E2) ist gleich der summe der Wahrscheinlichkeiten: P(E1 oder E2) = P(E1) + P(E2) Sei E ein Ereignis eines Zufallsexperiments. Das Gegenereignis ¬ E [lies: „nicht E“ oder „non E“] von E tritt genau bei jenen Versuchsausgängen ein, bei denen das Ereignis E nicht eintritt. Es gilt: P(¬ E) = 1 – P(E) Beispiele: E: Beim Würfeln kommt ein Sechser. ¬ E: Beim Würfeln kommt kein Sechser. E: Höchstens eine Kugel ist blau. ¬ E: Alle Kugeln sind blau. AufgABEn 9.40 Aus dem Behälter in nebenstehender Abbildung werden zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. 1) Zeichne dazu ein Baumdiagramm! 2) Berechne die Wahrscheinlichkeiten für folgende Ereignisse: • E1: Beide Kugeln sind schwarz (s). • E3: Mindestens eine Kugel ist rot (r). • E2: Genau eine Kugel ist blau (b). • E4: Höchstens eine Kugel ist schwarz (s). rk DI b b s s r r 4 9 3 8 2 3 8 8 2 9 3 9 b s r 4 8 2 2 8 8 b s r 4 8 1 3 8 8 DI rk 212 k4 DATEn und zufAll Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
RkJQdWJsaXNoZXIy MTA2NTcyMQ==