lösungen 1 reelle zahlen Mathematik und sprache 1.140 a) E ine irrationale Zahl hat eine unendliche, nicht periodische Dezimaldarstellung. Daher lässt sie sich nur mit beliebiger Genauigkeit angeben. b) D ie Wurzel aus einer positiven reellen Zahl kann eine natürliche, eine positive rationale oder eine positive irrationale Zahl sein. c) Kommutativgesetz der Multiplikation: a·b = b·a; Assoziativgesetz der Multiplikation: (a·b)·c = a·(b·c); Gesetz vom neutralen Element: a·1 = a; Gesetz von den inversen Elementen: a· 1 _ a = 1 (a ≠ 0) kompetenzcheck 1.143 1.144 1.145 1.146 Der Umfang des Bodens beträgt 6,4 m. 1.147 Die Kantenlänge des Kartons beträgt ca. 4,64 dm. 1.148 Es ist 49 eine Quadratzahl, 50 nicht. 1.149 a) ZB: 4 ª 9 __ 23 ª 5 c) ZB: 19 ª 9 ___ 399 ª 20 b) ZB: 10 ª 9 ___ 101 ª 11 1.150 a) a = 9cm b) a=4dm c) a = 7 mm 1.151 1.152 1.153 a) 8 b) 12 c) 9 d) 2 1.154 a) D ie Gleichung ist falsch, denn 9 __ a + 9 __ b ≠ 9 ____ a + b(a, b º 0) und somit: 14 ≠ 10. b) Die Gleichung ist richtig, denn 9 __ a · 9 __ b = 9 ___ a·b(a, b º 0) und somit: 20 = 20. c) Die Gleichung ist richtig, denn 9 ___ a·b = 9 __ a · 9 __ b(a, b º 0) und somit: 9 __ 60 = 9 ____ 4·15 = 9 __ 4 · 9 __ 15 = 2·9 __ 15 1.155 ≠ = = ≠ = = 1.156 1) Zwischen 12 und 13. 2) 12,728 1.157 Sie hat richtig gerechnet. Die Angabe von neun nachkommaziffern ist jedoch für ein Endergebnis nicht sinnvoll, da meist nur auf Millimeter genau gezeichnet werden kann. Eine sinnvolle Angabe wäre hier etwa h ≈ 6,1 cm. (Sollte aber mit dem Ergebnis weitergerechnet werden müssen, so wäre es zweckmäßig, dieses im Taschenrechner zu speichern und für weitere Eingaben damit weiterzurechnen.) 1.158 Ja, dies gilt für Zahlen 0 < x < 1, denn das Quadrat einer solchen Zahl x ist stets kleiner als x. ZB: 9 __ 1 _ 4 = 1 _ 2 , da “ 1 _ 2 § 2 = 1 _ 4 oder 9 ___ 0,01= 0,1, da 0,12 = 0,01. 1.159 nein, es handelt sich um eine rationale Zahl, da sie ja als Bruch 1 __ 17 dargestellt ist. Hätte er sich noch mehr nachkommaziffern angesehen, wäre etwa bei 0,058 823 529 411 764 705 882 352 941 176 470 588 2… erkennbar gewesen, dass es sich um eine Zahl in periodischer Dezimaldarstellung handelt: 1 __ 17 = 0, ______________ 058 823 529 411 764 7. 2 Terme und gleichungen Mathematik und sprache 2.160 a) ZB: Herausheben eines gemeinsamen Faktors, Ausmultiplizieren, Erweitern, Kürzen, … b) Ändert man in einer Formel oder Gleichung den Wert einer Größe, kann sich – abhängig vom Zusammenhang – der Wert anderer Größen ändern. Welche Größen betroffen sind und wie sie sich ändern, hängt von der Struktur der Gleichung sowie davon ab, welche Größen als veränderlich bzw. fest vorgegeben betrachtet werden. c) Das Lösen von Gleichungen ist unter anderem wichtig bei Preis- und Kostenberechnungen, bei Aufgaben zu Zeit, Weg und Geschwindigkeit sowie bei Planungs- und Entscheidungsfragen (z.B. beim Vergleichen von Angeboten). kompetenzcheck 2.161 1) ZB: x + x 2) ZB: x – (‒x) 3) ZB: 4 x __ 2 2.162 Differenz 2.163 a) 5 y·(2 x ‒ 1) b) (‒3 a)·(a2 +2a+6) 2.164 2.165 ≠ ≠ = = ≠ ≠ = = = 2.166 2.167 2.168 a) 2 _ g b) 9 r2 – 1 ____ 9 r2 c) 2 d) 1 ___ u – v 2.169 a) 2 _ 5 b) ‒ 1 ___ 2 d f 2.170 (x2 – 9) = (x + 3) (x – 3), 3. binomische Formel 2.171 Gleichung: 5 ‒ u _ 8 ‒ u = 4 _ 5 ; u ≠ 8; Lösung: u = ‒7; Die Zahl lautet ‒7. 2.172 2.173 Die Länge des Rechtecks ist (p + q) da (p + q)·(p – q) = p2 – q2. 2.174 a) k ≠ ‒ 1 _ 3 ; k = ‒7 b) w ≠ ‒1, w ≠ 1; w = ‒2 c) z ≠ ‒2, z ≠ ‒1; keine Lösung 2.175 a) b) c) 2.176 1) 2 _ 3 x + x + (x + 5000) = 80000 Es sind x die Kosten der Firma B, auf die sich die Kosten der beiden anderen Firmen beziehen. 2) A: 18750 € B: 28125 € C: 33125 € 2.177 2.178 1) n+(n+1)=2n+1 2) (n + 1)2 – n2 =2n+1 In beiden Fällen handelt es sich um denselben Term. 3 gleichungen und gleichungssysteme in zwei Variablen Mathematik und sprache 3.68 a) Jedes Zahlenpaar (x 1 y), das eine lineare Gleichung in den Variablen x und y erfüllt, nennt man Lösung der Gleichung. b) a·x + b·y = c 1. Spezialfall: Gilt a = 0, so kann x beliebige Werte annehmen. Die grafische Darstellung der Lösungsmenge ist in diesem Fall eine Gerade parallel zur 1. Achse durch den Punkt “ 0 ! c _ b §. 2. Spezialfall: Ist b = 0, so kann y beliebige Werte annehmen. Die grafische Darstellung der Lösungsmenge ist in diesem Fall eine Gerade parallel zur 2. Achse durch den Punkt “ c _ a ! 0 §. c) substitutionsmethode: Eine Variable wird aus einer Gleichung durch die andere Variable ausgedrückt. Der erhaltene Term wird anschließend in die andere Gleichung eingesetzt. eliminationsmethode: Die Gleichungen werden bei Bedarf einzeln derart mit geeigneten Zahlen multipliziert, dass bei Addition der beiden Gleichungen eine Variable wegfällt. Komparationsmethode: Aus beiden Gleichungen wird die gleiche Variable durch die andere ausgedrückt. Dann werden die erhaltenen Terme gleichgesetzt. kompetenzcheck 3.69 1) 0,2·x + 0,5·y = 5 2) (25 | 0), (20 | 2), (15 | 4), (10 | 6), (5 | 8), (0 | 10) 3) N Z Q R N Z Q R 8 _ 2 9 ___ 196 15,7 ‒10 9 _ 3 0,123 123 123 … ‒2, • 6 424,0 0 ‒ 1 _ 7 9 ___ 900 0,5 9 __ 1 _ 64 30 9 _ 1 _ 4 1 _ 8 9 ___ 4 _ 100 0,2 9 ____ 2,25 0,04 9 _____ 0,0016 1,5 durchführbar nicht durchführbar Ergebnis 3 xy2 + y2 ‒4 a3 10 u3 + 2 u4 a b c d 5 10 15 5 O y x 10 15 20 25 262 lösungen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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