3.70 1) ZB: (–1 | –2), (0,2 | 0), “ 1 | 4 _ 3 §, (2 | 3) 2) Alle Zahlenpaare (x | y) mit x, y * R, welche die Gleichung 5 x – 3 y = 1 erfüllen: 3.71 2x+y=4 3.72 3.73 Ja, es ist möglich, da es Zahlenpaare als Lösungen der Gleichung 6 x + 10 y = 200 gibt, deren Koordinaten natürliche Zahlen sind. Das sind (0 1 20) oder (10 1 14). So kann Alina also zB zehn 6-Cent- und 14 10-Cent-Marken aufkleben. 3.74 Ja, es gibt die Zahlenpaare (1 1 9), (4 1 7), (7 1 5), (10 1 3), (13 1 1) als Lösung. 3.75 1) 3.76 Lösung: (7 1 ‒1) 3.77 Es gibt zehn Einzel- und 30 Stockbetten. 3.78 ZB: ‒3x ‒ 5y =14 2x+3y=‒8 3.79 Gleichungssystem: x + y = 14 ‒x + y = 6 Er bekommt vier Diskusfische und zehn Regenbogenfische. 3.80 nein, das ist nicht möglich, da eine Gerade und damit die Lösungsmenge aus unendlich vielen Punkten besteht. 3.81 3.82 a = ‒13,5 3.83 ZB: 12 x + 5 y = 1 3.84 a = 3, b = ‒8 3.85 1) x + y = 4 Lösung: (3 1 1) x+3y=6 4 funktionen Mathematik und sprache 4.99 a) Man kann Funktionen in einer Termdarstellung, als Funktionsgraph oder durch eine Tabelle darstellen, in der jeder Ausgangsgröße in der ersten Spalte oder Zeile genau eine reelle Zahl in der zweiten Spalte bzw. Zeile zugeordnet wird. b) Lässt sich eine Termdarstellung einer reellen Funktion f in der Form f (x) = k·x + d angeben, so nennt man f eine lineare Funktion. Dabei ist k die Steigung der Funktion (Geraden) und d der Funktionswert an der Stelle 0. c) L ässt sich eine Termdarstellung einer reellen Funktion f in der Form f (x) = k _ x (mit k ≠ 0, x ≠ 0) angeben, so nennt man f eine indirekte Proportionalitätsfunktion. Das bedeutet, das Produkt x·f (x) ist stets k. kompetenzcheck 4.101 nur in den angekreuzten Fällen wird jedem Argument genau ein Funktionswert zugeordnet. 4.102 4.103 4.104 1) 4.105 4.106 1) 2) g (x) = x2 ‒ 1 4.107 4.108 CDBA 4.109 1) 2) 3) h (t) = 10 t + 100 4) Nein, h (0) ist nicht 0. 4.110 In diesen Fällen ist V (0) = 0, dh. das Gefäß ist zu Beginn leer. Das Wasservolumen nimmt bis zu 10 Liter gleichmäßig zu und bleibt dann gleich. 4.111 4.112 Beide haben Recht. Die derzeitige Geschwindigkeit beträgt 6 km/h. Bleibt diese gleich, erreichen sie das Ziel in einer weiteren Stunde. Mit halber Geschwindigkeit, also mit 3 km/h, erreichen sie das Ziel in zwei Stunden, benötigen also insgesamt drei Stunden. 5 Die pythagoräische lehrsatz und seine Anwendungen Mathematik und sprache 5.187 a) ZB: Addiert man in einem rechtwinkeligen Dreieck die Flächeninhalte der beiden Quadrate über den Katheten, so erhält man den Flächeninhalt des Quadrats über der Hypotenuse. b) D er pythagoräische Lehrsatz kann in jedem rechtwinkeligen Dreieck bzw. in jeder geometrischen Figur und jedem geometrischen Körper angewendet werden, in denen rechtwinkelige Dreiecke als Teilfiguren vorkommen. c) 1) d1 = 9 _____ a2 + b2 , d 2 = 9 _____ a2 + h2 , d 3 = 9 _____ b2 + h2 , d = 9 ________ a2 + b2 + h2 2) d1 = d2 = d3 = a· 9 __ 2, d = a·9 __ 3 kompetenzcheck 5.190 72 + 152 ≠ 162, weil 49 + 225 = 274, aber 162 = 256. 5.191 1) e2 + r2 = w2 (zusätzlich: e2 = m2 + t2 und r2 = m2 + x2) 2) r2 = x·w und e2 = t·w 3) m2 = t·x 5.192 u ≈ 18,91 cm; A ≈ 14,63 cm2 5.193 _ PQ = 9 ______ 122 + 52 = 9 ___ 169= 13 (LE) 5.194 ZB: Wie lang muss der schräge Holzbalken sein, wenn die äußerste rechte Holzlatte x Meter lang und der gesamte Zubau y Meter breit ist? 5.195 d2 = a2 + b2 w d = 9 ________ 1222 + 682 = 9 _____ 19 508 ≈ 140 (cm) d : 2,54 ≈ 140 : 2,54 ≈ 55 (Zoll) 5.196 Ist A1 der Flächeninhalt des großen, A2 der Flächeninhalt des kleinen Quadrats und A3 der Flächeninhalt der gesuchten blauen Dreiecksfläche, dann gilt: A3 = (A1 – A2)4 A1 = a 2 = 1602 = 25 600 (cm2) A2 = d2 __ 2 = 1802 ___ 2 = 16 200 (cm2) A3 = (25 600 – 16 200)4 = 2 350 (cm2) 5.197 5.198 Der Radfahrer hat eine Steigung von ca. 12 % zu überwinden. 5.199 A = a29 __ 3 _ 4 w a 2 = 4·A _ 9 __ 3 = 4·1,3 _ 9 __ 3 = 3,002… w a = 9 ______ 3,002…≈ 1,7 (m) h = a9 __ 3 _ 2 = 1,7·9 __ 3 _ 2 ≈ 1,5 (m) 5.200 x = 9 _____ b2 – h a 2 = 9 ________ 4,42 – 3,22 ≈ 3 (cm) e = 9 _________ (a + x)2 + h a 2 = 9 ___________ (6,5 + 3)2 + 3,22 ≈ 10 (cm) f = 9 _________ (a – x)2 + h a 2 = 9 ___________ (6,5 – 3)2 + 3,22 ≈ 4,7 (cm) 5.201 1) b = 9 _____ x2 + x2 = 9 ___ 2x2 = x9 __ 2 2) d = 9 _______ (2 x)2 + x2 = 9 ___ 5x2 = x9 __ 5 3) A = (3 x + x)·x __ 2 = 4 x2 _ 2 = 2 x 2 4) u=3x+2·x9 __ 2+x=4x+2x9 __ 2 =2x(2+9 __ 2 ) 2 –2 4 2 –2 O y x 4 2 –2 4 6 8 1 2 3 –2 –1 O y x 4 1 -1 -2 2 3 1 -2 -1 O y x 2 3 4 5 6 funktion keine funktion Volumen in V in m3 0,091 0,754 557,43 495,793 1 2 3 4 5 6 Mär. 21 Apr. 21 Mai 21 Jun. 21 Jul. 21 Aug. 21 Sep. 21 Okt. 21 Nov. 21 Dez. 21 Jän. 22 Feb. 22 O % zu Vorjahr Monate x ‒2 ‒1 0 10 f (x) = 4·x – 2 ‒10 ‒6 ‒2 38 x ‒2 ‒1,5 ‒1 ‒0,5 0 0,5 1 x2 – 1 3 1,25 0 ‒0,75 ‒1 ‒0,75 0 5 f(x) x 1 -1 2 3 4 O 1 -3 -2 -1 2 3 f t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 h (t) 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 8 10 h(t) t 50 100 150 200 O 2 4 6 h 1 –1 –5 –4 –3 –2 –1 –2 –3 2 3 1 O 2. Achse 1. Achse 2 3 4 5 6 7 8 9 P X Q 263 lösungen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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