5.202 Ja, denn der Flächeninhalt des Deltoids ist genau die Hälfte des Flächeninhalts des Rechtecks mit den Seitenlängen e und f, dh. A = e·f __ 2 = 7·4 ___ 2 = 14 (cm2). Kontrolle: A=(e–z)·f _ 2 + z· f _ 2 = e·f __ 2 – z·f __ 2 + z·f __ 2 = e·f __ 2 = 7·4 ___ 2 = 14 (cm2) 5.203 5.204 1) 2) d1 = a 9 __ 2 = 0,759 __ 2 ≈ 1,1 (m) d 2 = d3 = 9 _____ a2 + h2 = 9 ________ 0,752 + 1,52 = 9 _____ 2,8125 ≈ 1,7 (m) d = 9 ________ a2 + a2 + h2 = 9 __________ 2·0,752 + 1,52 = 9 ____ 3,375 ≈ 1,8 (m) 5.205 6 Die kreiszahl π Mathematik und sprache 6.85 a) Die Kreiszahl π misst das Verhältnis zwischen dem Kreisumfang und dem Kreisdurchmesser. Da der Umfang eines Kreises immer etwas länger als das Dreifache seines Durchmessers ist, ist π etwas größer als 3 und 3 damit ein näherungswert für π. Der Taschenrechner liefert nur eine näherung von π, weil π irrational ist und damit eine unendliche, nicht periodische Dezimaldarstellung hat. b) Teilt man eine Kreisfläche in viele Kreissektoren ein und reiht man diese nebeneinander so an, dass abwechselnd einmal die Spitze oben, einmal unten ist, ergibt sich annähernd ein Parallelogramm mit der Höhe r und der Grundseitenlänge r π. Da r·r π = r2 π, ist dies eine Möglichkeit, sich einer Formel für den Flächeninhalt eines Kreises anzunähern. c) E in Kreisbogen b ist ein Teil der Kreislinie. Seine Länge ist von seinem A nteil am Kreisumfang abhängig und wird berechnet durch: b = u _ 360° ·α = r·π·α _ 180° ; α = ¼BMA (= Zentriwinkel) E in Kreissektor ist ein Teil der Kreisfläche, der durch zwei Radien r und den Kreisbogen b begrenzt wird. Sein Flächeninhalt ist von seinem Anteil an der Kreisfläche AK abhängig und wird berechnet durch: A = AK _ 360° ·α = r2·π·α _ 360° = b·r _ 2 ; α = ¼BMA (= Zentriwinkel) kompetenzcheck 6.87 Der Kreisumfang ist das π-Fache des Kreisdurchmessers, denn das Verhältnis von Kreisumfang zu Kreisdurchmesser ist stets konstant, nämlich π, daher u _ d = π. 6.88 a) u = d·π = 4,5·π ≈ 14,1 (cm) b) u = 2·r·π = 2·0,9·π ≈ 5,7 (m) 6.89 u = d·π w d = u _ π = 6 _ π ≈ 1,9 (m) 6.90 Er wird verdreifacht. 6.91 a) b ≈ 7,85 cm b) α = 45° 6.92 Solveig hat den größeren Kreis gezeichnet. Der Flächeninhalt ihres Kreises beträgt ca. 227cm2, während Gibrils Kreis einen Durchmesser von ca. 15,8 cm hat. 6.93 A ≈ 314 m2 6.94 1) d = 25cm 2) u ≈ 78,5 cm 3) ≈ 190,87cm2 4) 6.95 ≈ 4,4 m 6.96 1) uB < uA < uC 2) AB < AA < AC Figur A ist Umkreis von Figur B und Inkreis von Figur C. Der Umfang/Flächeninhalt von Figur B ist untere Schranke, der Umfang/Flächeninhalt von Figur C ist obere Schranke für den Umfang/Flächeninhalt des Kreises (= Figur A). Es gilt daher: uB < uA < uC und AB < AA < AC. 6.97 ≈ 1178,10 cm2 6.98 6.99 1) u = 4·r·π A = 4 r2 ‒ “ r2 ‒ r 2·π _ 4 §·2 5·4 = 4 r2 ‒ 2r2 + r 2·π _ 2 5·4 = 2·r 2·π ‒ 4·r2 2) u = 4·10·π = 40·π (cm) A = 2·102·π ‒ 4·102 = 200·π ‒ 400 = 200·(π ‒ 2) (cm2) 6.100 1) A ≈ 1 944 cm2 2) Es werden ca. 30 % der Heckscheibe gesäubert. 6.101 6.102 Der Radius r2 muss ca. 70,71 % der Länge des Radius r1 haben. Lösungsweg: Ainnen = r2 2 π; A Kreisring = r1 2 π – r 2 2 π; r2 2 π = r 1 2 π – r 2 2 π w 2 r 2 2 π = r 1 2 π w 2 r2 2 = r 1 2 w r 2 2 = r 1 2 __ 2 w r2 = r 1 __ 9 __ 2 = r 1 9 __ 2 ___ 2 ≈ 0,7071·r1 7 rotationskörper Mathematik und sprache 7.100 a) Bei einem Rotationskörper wird die Oberfläche des Körpers durch Rotation einer erzeugenden Linie um eine Rotationsachse gebildet. Dabei liegen Linie und Achse zunächst in einer Ebene. 1) E in Drehzylinder entsteht durch Rotation eines Rechtecks, wobei eine Rechteckseite auf der Rotationsachse liegt. 2) Ein Drehkegel entsteht durch Rotation eines rechtwinkeligen Dreiecks, bei dem eine Kathete auf der Rotationsachse liegt. b) E in Drehzylinder besteht aus einer kreisförmigen Grundfläche und einer dazu kongruenten und parallelen Deckfläche sowie einer gekrümmten Mantelfläche. Die Mantelfläche ist – in der Ebene ausgerollt – ein Rechteck. Ein Drehkegel besteht aus einer kreisförmigen Grundfläche, einer Spitze und einer gekrümmten Mantelfläche. Die Mantelfläche ist – in der Ebene ausgerollt – ein Kreissektor. 1) VDrehzylinder = G·h = r 2·π·h; VDrehkegel = G·h _ 3 = r2·π·h _ 3 2) ODrehzylinder = 2·G + M = 2·r 2·π + 2·r·π·h; ODrehkegel = G + M = r 2·π + r·π·s kompetenzcheck 7.101 7.102 7.103 a) VDrehzylinder ≈ 211,72 cm3, VDrehkegel ≈ 70,57cm3 b) ODrehzylinder ≈ 199,05 cm2, ODrehkegel ≈ 112,24 cm2 7.104 ca. 8 cm ca. 10 cm ca. 23 cm ca. 31 cm a d1 d2 d3 a a a a a 2a M 20 cm 15 cm d A B C 15 cm Umfang des Kreises in cm D Flächeninhalt des Kreises in cm2 a Deckfläche Höhe Mantelfläche Erzeugende Grundfläche Radius Spitze Höhe Erzeugende Mantelfläche Grundfläche Radius 264 lösungen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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