1.7 Übersicht über die zahlbereiche 1.129 Welche Zahlenmenge reicht jeweils aus, damit die jeweilige Gleichung gelöst werden kann? 1) 4 + x = 12 2) 23 + x = 20 3) 5x+4=3 4) x2 = 5 Lösung: 1) 4 + x = 12 x = 8 Die Menge der natürlichen Zahlen reicht aus: x * N 2) 23 + x = 20 x = ‒3 Die Menge der natürlichen Zahlen reicht nicht mehr aus. Die Menge der ganzen Zahlen reicht jedoch aus: x * Z 3) 5x+4=3 5 x = ‒1 x = ‒ 1 _ 5 Die Menge der ganzen Zahlen reicht nicht mehr aus. Die Menge der rationalen Zahlen reicht jedoch aus: x * Q 4) x2 = 5 x = √5 (oder x = ‒√5) Die Menge der rationalen Zahlen reicht nicht mehr aus. Die Menge der reellen Zahlen reicht jedoch aus: x * R Alle natürlichen Zahlen sind ganze Zahlen, zB: 9 * N, aber auch 9 * Z. Man sagt, die Menge N ist eine echte Teilmenge der Menge Z, und man schreibt dafür N ² Z. Alle ganzen Zahlen sind rationale Zahlen, zB: ‒3 * Z, aber auch ‒3 = ‒ 15 __ 5 * Q. Die Menge Z ist eine echte Teilmenge der Menge Q und man schreibt dafür Z ² Q. Alle rationalen Zahlen sind reelle Zahlen, da diese alle rationalen und irrationalen vereint. Die Menge Q ist eine echte Teilmenge der Menge R und man schreibt dafür Q ² R. Insgesamt erhält man: N ² Z ² Q ² R Natürliche und ganze zahlen lassen sich recht einfach auf der Zahlengeraden darstellen. Durch entsprechende Teilungen sind auch rationale zahlen als Punkte darstellbar. Somit entspricht jeder rationalen Zahl genau ein Punkt der Zahlengeraden. Aber nicht jedem Punkt der zahlengeraden entspricht eine rationale zahl. Die Lücken, welche die rationalen Zahlen auf der Zahlengeraden zurücklassen, werden durch die irrationalen zahlen geschlossen. Es gilt: N Z Q R Jeder reellen zahl entspricht genau ein Punkt auf der Zahlengeraden. Umgekehrt entspricht jedem Punkt auf der Zahlengeraden genau eine reelle zahl. AufgAbEn 1.130 Schreibe die Zahlen in Dezimaldarstellung an und gib jeweils die kleinste Zahlenmenge an, der die Zahl angehört! 1) 9 __ 81 2) 9 ___ 6,25 3) 9 __ 4 __ 81 4) 9_ 3 1.131 Hat die Gleichung eine Lösung in der Menge Z? Begründe die Antwort! a) 9 x + 13 = 166 b) 18,2 – 7x = 39,2 c) 5x+6=10 d) x2 + 4 = 8 1.132 Hat die Gleichung eine Lösung in der Menge Q? Begründe die Antwort! a) x – 8 = ‒31 b) 990x+2=85 c) 3 x2 = 27 d) x2 – 1 = 20 rk DI DI rk VB rk VB 1 31 reelle Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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