2.4 Mit Bruchtermen arbeiten Erweitern und kürzen 2.74 Ein Quader hat das Volumen 5 a __ 3 b und ein Würfel hat das Volumen 5 b __ 3 a . Dabei ist a < b mit a, b * R+. Gib an, welcher Körper das größere Volumen hat! Lösung: Ein Vergleich der beiden Terme ist in der vorliegenden Form nur schwer möglich. Haben aber beide Bruchterme denselben Nenner, kann der Vergleich durchgeführt werden: Dazu erweitern wir den ersten Bruchterm mit a: 5 a __ 3 b = 5 a·a ____ 3 b·a = 5 a2 ___ 3 a b Den zweiten Bruchterm erweitern wir mit b: 5 b __ 3 a = 5 b·b ____ 3 a·b = 5 b2 ___ 3 a b Da a < b und a, b * R+, ist a2 < b2 und daher 5 a 2 ___ 3 a b < 5 b2 ___ 3 a b , da 5 a 2 < 5 b2. Der Würfel hat ein größeres Volumen als der Quader. 2.75 Sind die beiden Terme 3 x __ y und 3 x y ___ y2 (mit y ≠ 0) äquivalent? Begründe die Antwort! Lösung: Ja, denn das Erweitern mit y ändert nichts am Wert des Terms. Werden zähler und Nenner eines Bruchterms mit demselben Term multipliziert, so ändert sich nur die Darstellung des Bruchterms. Dies nennt man Erweitern von Bruchtermen. A __ B = A·C ___ B·C (für Terme A, B, C mit B, C ≠ 0) 2.76 Stelle den Term a) 2 p2 ___ 4 p 5 (mit p ≠ 0), b) u 2 – v2 ____ u – v (mit u ≠ v) möglichst einfach dar! Lösung: a) 2 p2 ___ 4 p 5 = 2 p22 p2 _____ 4 p 52 p2 = 1 ___ 2 p3 oder einfacher: 2 p2 ___ 4 p5 = 1 ___ 2 p3 b) u 2 – v2 ____ u – v = (u + v)·(u – v) ________ u – v = (u + v)·(u – v)(u – v) ____________ (u – v)(u – v) = u + v ___ 1 = u + v oder einfacher: u 2 – v2 ____ u – v = (u + v)·(u – v) _________ u – v = u + v Werden zähler und Nenner eines Bruchterms durch denselben Term dividiert, so ändert sich nur die Darstellung des Bruchterms. Dies nennt man kürzen von Bruchtermen. A __ B = AC ___ BC (für Terme A, B, C mit B, C ≠ 0) AufgABEn 2.77 Stelle den Term möglichst einfach dar! Welche Bedingungen müssen gelten? a) 3 x __ x b) 4 x __ x2 c) 3 x2 y3 ____ 6 y d) 7 x3 y ___ 7 x3 y e) 24 a 4 b 5 c 4 ______ 72 a2 b c f) e x·7 e ____ 14 e2 Rk VB VB Rk VB 1 2 1 3 1 1 Rk VB 48 k2 variaBlen und funKtionen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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