eXtraBlatt 2.7 gleichungen im Wandel der zeit Gleichungen der Form a·x + b = 0 (mit a ≠ 0) haben für die Variable x stets genau eine Lösung, und zwar: x = ‒ b _ a . Ist dies auch der Fall, wenn statt x die Potenz x2 in der Gleichung vorkommt? So kann zB die Gleichung 2 x2 – 18 = 0 so umgeformt werden: 2 x2 = 18, dh. x2 = 9. Jene Zahl x erfüllt nun diese Gleichung, die quadriert die Zahl 9 ergibt. Es sind aber zwei Zahlen, für die das gilt, nämlich 3 und ‒3, da 32 = 9 bzw. (‒3)2 = 9. Es gibt demnach Gleichungen, die mehr als eine Lösung haben. Vermutlich hängt dies damit zusammen, dass nicht mehr nur x, sondern x2 in der Gleichung vorkommt. Man könnte nun annehmen, dass alle Gleichungen, in denen die zweite Potenz einer Variablen vorkommt, auch zwei Lösungen haben. Probieren wir es aus: 5 x2 – 20 = 0 w 5 x2 = 20 w x2 = 4 Die Lösungen sind also x = 2 bzw. x = ‒2. 8 x2 = 0 w x2 = 0 Die einzige Lösung ist x = 0. 4 x2 + 100 = 0 w 4 x2 = ‒100 w x2 = ‒25 Keine reelle Zahl x erfüllt diese Gleichung. Diese drei Gleichungen zeigen, dass zumindest drei Lösungsfälle auftreten können: zwei Lösungen, eine Lösung oder keine Lösung. Die Entwicklung dieser Art von Gleichungen und deren Lösungsmethoden erstreckt sich über einen langen Zeitraum und verschiedene Kulturen. Einige der frühesten bekannten Beiträge stammen aus dem alten Mesopotamien und Ägypten, aber bedeutende Fortschritte wurden auch von indischen, arabischen und europäischen Mathematikern gemacht. Bereits die Babylonier und Ägypter beschäftigten sich mit Problemen, die zu solchen Gleichungen führten, auch wenn sie diese nicht in der heutigen Form darstellten. Einen wichtigen Beitrag leistete der indische Mathematiker Brahmagupta (597–668 n. Chr.). Er beschrieb 628 n. Chr. eine Formel zur Lösung dieser Gleichungen, die heutigen Lösungsformeln sehr ähnlich ist. Al-chwarizmi, ein persischer Mathematiker des 9. Jahrhunderts, spielte eine entscheidende Rolle bei der Weiterentwicklung und Verbreitung der Lösungsmethoden für diese Gleichungen. Sein Buch „al-Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ğabr wa-ʾl-muqābala“ (ca. 825 n. Chr.) enthält allgemeine Techniken zur Behandlung von Gleichungen. In Europa wurden die Methoden zur Lösung quadratischer Gleichungen durch Übersetzungen arabischer Werke bekannt. Michael stifel (1544) und françois Viète (posthum 1615) leisteten weitere wichtige Beiträge zur Entwicklung moderner Lösungsmethoden. Mehr zu dieser Art von Gleichungen erfahrt ihr in Mathematik verstehen 5. Bakhshali-Manuskript, Indien Al-Chwarizmi Interkulturelle Bildung 2 63 terMe und Gleichungen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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