1 0 2 1 2 Arbeitsheft Mathematik verstehen SALZGER | GERM | RIEDLER | SINGER | ULOVEC
Mathematik verstehen 3, Arbeitsheft + E-Book Schulbuchnummer 220280 Mathematik verstehen 3, Arbeitsheft E-Book Solo Schulbuchnummer 220283 Mit Bescheid des Bundesministeriums Bildung vom 23. Mai 2025, GZ 2023-0.757.217, gemäß § 14 Absatz 2 und 5 des Schulunterrichtsgesetzes, BGBl. Nr. 472/86, und gemäß den derzeit geltenden Lehrplänen als für den Unterrichtsgebrauch an allgemein bildenden höheren Schulen - Unterstufe und Mittelschulen für die 3. Klasse im Unterrichtsgegenstand Mathematik (Lehrplan 2023) geeignet erklärt. Dieses Werk wurde auf der Grundlage eines zielorientierten Lehrplans verfasst. Konkretisierung, Gewichtung und Umsetzung der Inhalte erfolgen durch die Lehrerinnen und Lehrer. Liebe Schülerin, lieber Schüler, du bekommst dieses Schulbuch von der Republik Österreich für deine Ausbildung. Bücher helfen nicht nur beim Lernen, sondern sind auch Freunde fürs Leben. Kopierverbot Wir weisen darauf hin, dass das Kopieren zum Schulgebrauch aus diesem Buch verboten ist – § 42 Abs. 6 Urheberrechtsgesetz: „Die Befugnis zur Vervielfältigung zum eigenen Schulgebrauch gilt nicht für Werke, die ihrer Beschaffenheit und Bezeichnung nach zum Schul- oder Unterrichtsgebrauch bestimmt sind.“ Bildquellenverzeichnis: U1: plainpicture / Cavan Images; olaser / Getty Images - iStockphoto; S. 29: Peter Zurek / Thinkstock; S. 30: sandsun/Getty Images - iStockphoto; S. 32: AdamGilchrist / Thinkstock; S. 42: stephane106 / Thinkstock; S. 44: Colourbox.com; S. 59.1: Wavebreakmedia Ltd / Thinkstock; S. 59.2: shuchun ke - Thinkstock; S. 59.3: Emel Topalolu / Fotolia; S. 59.4: sorcerer11 / Fotolia; S. 59.5: Rinelle / iStockphoto; S. 59.6: MH Foto Design; S. 59.7: dispicture / Fotolia; S. 59.8: Elena Makarova / Fotolia; S. 59.9: Uros Petrovic / Thinkstock; S. 59.10: Ryan McVay / Thinkstock; S. 60.1: Merih Unal Ozmen / Thinkstock; S. 60.2: akiyoko / Thinkstock; S. 60.3: Hemera Technologies / Thinkstock; S. 64: Nelson Hernandez Chitiva / Getty Images - iStockphoto; S. 72: Catherine Yeulet / iStockphoto.com; S. 77.1: sulupress / Fotolia; S. 77.2: Matton Images; S. 77.3: Marat Musabirov / Getty Images - iStockphoto; S. 78: Максим Лебедик / Getty Images - iStockphoto; S. 79.1: miflippo / Getty Images - iStockphoto; S. 79.2: Serghei Starus / Getty Images – iStockphoto 1. Auflage (Druck 0001) © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2025 www.oebv.at Alle Rechte vorbehalten. Jede Art der Vervielfältigung, auch auszugsweise, gesetzlich verboten. Redaktion: Dipl.-Ing. Dr. Frederic Brünner, Wien Herstellung: Ing. Bianca Mannsberger, Wien Umschlaggestaltung: Jens-Peter Becker, normaldesign GbR, Schwäbisch Gmünd Layout: Jens-Peter Becker, normaldesign GbR, Schwäbisch Gmünd Illustrationen: Mag. Adam Silye, Wien Technische Zeichnungen: Ing. Mag. Dr. Herbert Löffler, Wien; Da-TeX Gerd Blumenstein, Leipzig Karten: Freytag-Berndt u. Artaria KG, Wien Satz: Da-TeX Gerd Blumenstein, Leipzig Druck: Ferdinand Berger & Söhne Ges.m.b.H., Horn ISBN 978-3-209-11905-6 (Mathematik verstehen AH 3 + E-Book) ISBN 978-3-209-13095-2 (Mathematik verstehen AH 3 E-Book Solo) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Mathematik verstehen Arbeitsheft OStR Prof. Mag. Dr. Bernhard Salzger Prof.in Mag.a Andrea Germ Prof.in Mag.a Barbara Riedler HS-Prof.in Mag.a Dr.in Klaudia Singer MMag. Dr. Andreas Ulovec Unter Mitarbeit von: Prof.in Mag.a Judith Bachmann, MPOS 3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Inhaltsverzeichnis K1: Zahlen und Maẞe 1 Mit ganzen Zahlen rechnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................... 3 2 Rationale Zahlen .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......................... 8 3 Potenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............................. 15 K2: Variablen und Funktionen 4 Mit Termen und Gleichungen arbeiten .. . . . . . . . . . . . . .............. 19 5 Verhältnisse und Proportionen . . . . . . . . . . . . . . . . . .................. 30 6 Wachstums- und Abnahmemodelle .. . . . . . . . . . . . . . . ................ 33 Lösungen zum Herausnehmen K3: Figuren und Körper 7 Dreiecke, Vierecke, Vielecke .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................... 40 8 Figuren vergröẞern und verkleinern . . . . . . . . . . . . . . ............... 53 9 Prisma und Pyramide .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................... 59 K4: Daten und Zufall 10 Statistische Kennzahlen und Verteilungen . . . . . . . . . . . ............ 69 11 Wahrscheinlichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................... 77 Die Kompetenzbereiche sind links neben der Aufgabennummer ersichtlich. … Modellieren und Problemlösen … Darstellen und Interpretieren … Rechnen und Konstruieren … Vermuten und Begründen Aufgaben zu fächerübergreifenden Themen werden mit Sternen neben der Aufgabennummer ausgezeichnet. In der Fußzeile kann das Thema abgelesen werden. MP DI RK VB 2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
1 Mit Ganzen Zahlen Rechnen 1 Schreibe das Maß mit einem Pluszeichen bzw. einem Minuszeichen an! a) Am Dienstag hatte es fünf Grad unter null. b) Illmitz liegt 117 Meter über dem Meeresspiegel. c) Vasco hat 15 Euro Schulden. d) Der Marianengraben liegt 11 022 Meter unter dem Meer. e) Eine Schispringerin landet einen Meter nach dem kritischen Punkt. f) Ottawa liegt in der Zeitzone fünf Stunden westlich von Greenwich. 2 Lies die Temperatur korrekt ab und schreibe sie mit einem Pluszeichen bzw. einem Minuszeichen an! a) b) c) d) e) °C °C °C °C °C 3 Überprüfe, ob das Vorzeichen des neuen Kontostands richtig ist! Korrigiere gegebenenfalls! a) Beträge in EUR b) Beträge in EUR c) Beträge in EUR alter Kontostand 750 300 ‒250 Gutschrift 50 200 100 Belastung ‒450 ‒150 ‒20 Gutschrift 120 50 200 Belastung ‒600 ‒450 ‒20 neuer Kontostand ‒130 50 ‒10 richtig falsch richtig falsch richtig falsch Korrektur: Korrektur: Korrektur: Nebenrechnungen: DI DI 1 0 1 2 3 4 5 2 3 4 5 1 0 1 2 3 4 5 2 3 4 5 1 0 1 2 3 4 5 2 3 4 5 1 0 1 2 3 4 5 2 3 4 5 1 0 1 2 3 4 5 2 3 4 5 RK DI 3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
4 Welche ganzen Zahlen sind durch Markierungen auf der Zahlengeraden dargestellt? a) b) c) d) e) 5 Stelle die angegebenen Zahlen durch Markierungen auf der Zahlengeraden dar! a) ‒8; ‒2; ‒1; 3; 9 b) ‒18; ‒13; ‒5; 5; 12 c) ‒75; ‒35; ‒15; 25; 55 d) ‒220; ‒185; ‒160; ‒145; ‒120 e) ‒1 550; ‒1100; ‒300; ‒150; 450 6 a) Begründe, dass ‒5 ≠ 5! Begründung: b) Begründe, dass ‒4 < 3! Begründung: DI 0 2 ‒6 ‒4 ‒2 ‒8 ‒10 ‒12 4 6 8 10 12 0 2 ‒6 ‒4 ‒2 ‒8 ‒10 ‒12 ‒14 ‒16 ‒18 ‒20 4 6 8 101214161820 0 10 ‒30 ‒20 ‒10 ‒40 ‒50 ‒60 ‒70 ‒80 ‒90 20 30 40 50 60 70 80 90 0 50 ‒150 ‒100 ‒50 ‒200 ‒250 ‒300 100 150 200 250 300 0 250 ‒750 ‒500 ‒250 ‒1 000 ‒ 1 250 ‒1 500 500 750 1 000 1 250 1 500 DI 0 1 ‒5 5 10 0 2 ‒10 ‒20 10 0 10 ‒50 50 ‒150 ‒200 0 ‒500 ‒1 000 ‒1 500 500 VB 4 K1 Zahlen und Maẞe Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
7 Setze das Kleiner-Zeichen oder das Größer-Zeichen korrekt ein! a) 4 ‒5 e) 15 ‒2 i) 0 ‒9 m) 20 ‒21 b) 10 ‒10 f) ‒3 3 j) 3 8 n) 17 0 c) ‒2 ‒5 g) 7 ‒8 k) 11 ‒13 o) ‒93 92 d) ‒1 0 h) 2 ‒12 l) 1 ‒2 p) 52 ‒52 8 Sind die folgenden Aussagen richtig oder falsch? Kreuze an! richtig falsch Der Vorgänger der Zahl ‒45 ist die Zahl ‒46. Jede ganze Zahl hat einen Vorgänger. Der Vorgänger einer ganzen Zahl ist stets um 1 kleiner als deren Nachfolger. Jede negative ganze Zahl ist kleiner als jede positive ganze Zahl. Die Zahl 0 ist weder positiv noch negativ. 9 Ergänze den Text durch korrektes Zuordnen der Begriffe! Der von ‒3 ist ‒2, der von 3 ist 2. Die Zahl ‒7 ist als 7, die Zahl 0 ist als jede negative ganze Zahl. Die Zahl 1 ist die positive ganze Zahl, die Zahl ‒1 ist die negative ganze Zahl. kleinste kleiner größte größer Vorgänger Nachfolger 10 An einem bestimmten Ort hat es in der Früh ‒3 °C, bis Mittag steigt die Temperatur um 5 °C an, bis 15 Uhr steigt sie ein weiteres Mal um 2 °C an, dann sinkt sie bis 20 Uhr um 3 °C und bis Mitternacht um weitere 5 °C ab. Kreuze die korrekte Temperatur an, die an diesem Ort um Mitternacht gemessen wird! ‒8 °C ‒4 °C 0 °C 2 °C 12 °C 11 Herrn Abrahams Konto ist mit 100 € im Minus. Er hebt dennoch 30 € ab, zahlt aber am nächsten Tag 50 € und am übernächsten Tag 20 € ein. Kreuze an, wie viel er noch einzahlen muss, damit sein Kontostand 0 € beträgt! (Eventuelle Verzugszinsen bleiben unberücksichtigt.) 0 € 10 € 30 € 60 € 100 € DI DI DI RK DI RK DI 1 5 Ganzen Zahlen Rechnen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
12 Gib in der vereinfachten Schreibweise an und berechne! a) (+2) + (+6) = = e) (‒4) + (+6) = = b) (+7) + (+4) = = f) (‒5) + (+2) = = c) (+3) + (‒9) = = g) (‒1) + (‒8) = = d) (+8) + (‒3) = = h) (‒5) + (‒6) = = 13 Gib in der vereinfachten Schreibweise an und berechne! a) (+5) – (+2) = = e) (‒8) – (+1) = = b) (+4) – (+9) = = f) (‒5) – (+5) = = c) (+1) – (‒7) = = g) (‒3) – (‒9) = = d) (+6) – (‒5) = = h) (‒7) – (‒3) = = 14 Gib in der vereinfachten Schreibweise an und berechne! a) (‒34) + (+12) + (‒37) – (+9) – (‒71) = = b) (+20) – (+24) + (‒42) + (‒18) – (+15) = = c) (‒30) – (‒60) – (+46) + (+19) + (‒96) = = d) (+21) + (‒43) – (‒72) – (‒10) + (+22) = = 15 Berechne! a) (+3)·(+7) = e) (‒2)·(+12) = i) (+11)·(+12) = b) (+6)·(+2) = f) (‒4)·(+10) = j) (‒8)·(+20) = c) (+8)·(‒8) = g) (‒1)·(‒16) = k) (+25)·(‒4) = d) (+5)·(‒9) = h) (‒9)·(‒9) = l) (‒50)·(‒50) = 16 Berechne! a) (+6)·(‒1)·(‒1) = c) (+5)·(‒1)·(‒1)·(‒1)·(‒1)·(‒1) = b) (‒4)·(‒1)·(‒1)·(‒1) = d) (‒2)·(‒1)·(‒1)·(‒1)·(‒1)·(‒1)·(‒1)·(‒1)·(‒1) = 17 Berechne! a) (+32)(+8) = d) (‒63)(+9) = g) (+88)(‒8) = b) (‒35)(‒7) = e) (‒121)(‒11) = h) (‒144)(+12) = c) (+72)(‒9) = f) (‒84)(+7) = i) (+240)(+15) = RK RK RK RK RK RK 6 K1 Zahlen und Maẞe Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
18 Sind die Aussagen richtig oder falsch? Kreuze an! richtig falsch Das Produkt zweier negativer ganzer Zahlen ist stets positiv. Multipliziert man eine negative ganze Zahl mit 0, ist das Ergebnis stets negativ. Dividiert man eine positive ganze Zahl durch eine negative, ist das Ergebnis stets positiv. Der Quotient zweier negativer ganzer Zahlen ist stets positiv. 19 Setze Klammern so, dass das Ergebnis stimmt! a) 5·3 – 5·7 = ‒70 b) 3 – 4·8 – 5 = ‒3 c) 2·4 + 84 – 6·7 = ‒36 20 Berechne! a) [(‒4) + (‒37)]·(‒12) – 55[(+43) + (‒38)] = b) [(+92) – (‒53) + (‒112)][(‒13) – (‒2)] – (+8)·(‒7) = 21 Schreibe als Rechnung an und ermittle das Ergebnis! a) Dividiere die fünffache Summe von (‒56) und (+35) durch das Produkt von (+3) und (‒7)! Rechnung: b) Addiere zum halben Produkt von (+24) und (‒16) den Quotienten von (‒84) und (‒7)! Rechnung: c) Subtrahiere von der zehnfachen Summe der Zahlen (‒18) und (‒21) das Produkt dieser beiden Zahlen! Rechnung: 22 Herr Osabal arbeitet in einem Hochhaus. Er steigt im 2. Untergeschoß in den Aufzug ein, fährt zwölf Stockwerke hinauf, dann dreimal zwei Stockwerke hinunter, dann acht hinauf, vier hinunter, zweimal drei Stockwerke hinauf und wieder 14 hinunter. Stimmt es, dass er sich danach im Erdgeschoß befindet? Begründe die Antwort durch eine Rechnung! Rechnung: Antwort: DI RK DI RK RK DI RK VB 1 7 Ganzen Zahlen Rechnen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
2 Rationale Zahlen 23 Trage in die Kästchen jene Zahlen ein, die auf der Zahlengeraden dargestellt sind! Verwende dafür die Bruchdarstellung bzw. die gemischte Form! 24 Trage in die Kästchen jene Zahlen ein, die auf der Zahlengeraden dargestellt sind! Verwende dafür in der oberen Zeile die gekürzte Bruchdarstellung bzw. die gemischte Form und in der unteren Zeile die Dezimaldarstellung! Nebenrechnungen: 25 Stelle die Zahlen ‒1,75; ‒1 1 _ 4 ; 1,5; 0; ‒ 3 _ 2 ; 0,3; 1,6 und 3 _ 5 durch Markierungen auf dem Zahlenstrahl dar! Wähle selbst eine geeignete Einheit! 26 Trage die richtigen Zahlen zu den Buchstaben in die Kleiner-Kette ein! A B C D E F G H < < < < < < < DI 0 1 ‒1 ‒2 ‒3 ‒4 ‒5 2 3 4 5 ‒41 4 DI 0 0,2 ‒0,2 ‒0,4 ‒0,6 ‒0,8 ‒1 0,4 0,6 0,8 1 1,2 ‒0,22 ‒11 50 DI 0 DI 0 + 1 ‒1 A B D F H C E G 8 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
27 Sind die folgenden Aussagen richtig oder falsch? Kreuze an! richtig falsch Zwischen den Zahlen ‒2 und 5 liegen sieben ganze Zahlen. Die Zahl 0 hat keine natürliche Zahl als Vorgänger. Von zwei verschiedenen rationalen Zahlen ist stets eine größer als die andere. Die Zahl ‒62,5 ist größer als die Zahl ‒62. Zwischen den Zahlen ‒1 und 10 liegen nur natürliche Zahlen. 28 Kreuze alle ganzen Zahlen an! 0, _ 42 ‒ 8 _ 4 5 5 _ 8 0 1, ˙3 200 _ 1 000 2 000 _ 1 000 29 Welcher Zahlenmenge gehört die Zahl an? Kreuze an und beachte dabei, dass auch mehrere Antworten korrekt sein können! a) ‒0,85 N Z Q d) ‒2,56˙ N Z Q b) 48 % N Z Q e) 15 _ 3 N Z Q c) ‒56,00 N Z Q f) ‒ 2 _ 5 N Z Q 30 Setze das Kleiner-Zeichen, das Größer-Zeichen oder das Gleichheitszeichen korrekt ein! a) ‒1 4 _ 2 ‒3 f) ‒0, 6˙ ‒ 2 _ 3 k) 0 ‒3,55 p) 0,5 0,50 b) 4 % 0,4 g) 2,45 2,5 l) 0 _ 10 55 _ 55 q) 0,07 0,7 c) ‒2,5 ‒3 h) 4 _ 100 4 _ 1 000 m) 112 % 1,11 r) ‒9,3 ‒ 9 _ 1 d) ‒0,05 –0,04 i) ‒ 4 _ 100 ‒ 4 _ 1 000 n) ‒2 3 _ 2 ‒2 2 _ 3 s) 200 % ‒2 e) 0,05 0,04 j) ‒ 2 _ 500 ‒ 4 _ 1 000 o) ‒ 3 _ 2 ‒2 2 _ 3 t) 0,5 ‰ 0,005 Nebenrechnungen: 31 Petro behauptet: „Jede negative Zahl ist kleiner oder gleich ‒1.” Hat Petro Recht? Begründe die Entscheidung! Entscheidung: Begründung: 32 Ivana behauptet: „Jede Zahl hat eine eindeutige Darstellung.” Hat Ivana Recht? Begründe die Entscheidung! Entscheidung: Begründung: DI DI DI DI DI VB DI VB 2 9 Rationale Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
33 Ergänze fehlende Werte in der folgenden Tabelle! Außentemperatur (in °C) Veränderung (in °C) Endtemperatur (in °C) +12,4 +3,5 ‒15,3 ‒17,3 ‒3,2 ‒13,2 +23,5 +8,3 +12 +15 ‒3,8 ‒12,6 Nebenrechnungen: 34 Ergänze fehlende Werte in der folgenden Tabelle! alter Kontostand Ein- oder Auszahlung neuer Kontostand ‒520,30 € € ‒645,42 € ‒35,50 € +1 705,20 € € € ‒583,50 € ‒1 005,80 € 1 345,60 € € 345,20 € Nebenrechnungen: 35 Ordne die Temperaturerhöhungen und Temperatursenkungen richtig zu, indem du die danebenstehenden Buchstaben einträgst! Bei korrekter Zuordnung ergeben sich von unten nach oben gelesen drei sinnvolle Wörter. ‒2,4 °C ¥ +2,6 °C: 22,4 °C ¥ +2,6 °C: +2,4 °C ¥ 0 °C: ‒7 °C ¥ +8,2 °C: ‒2,4 °C ¥ ‒2,4 °C: +15,1 °C ¥ ‒15,1 °C: 2,4 °C ¥ ‒2,6 °C: ‒12,4 °C ¥ ‒2,6 °C: ‒10,4 °C ¥ ‒10 °C: ‒1,4 °C ¥ ‒2,6 °C: ‒2,4 °C ¥ +0,6 °C: ‒9,8 °C ¥ +10 °C: –19,8 °C E –1,2°C F 0 °C S –2,2 °C Z –4 °C A –5 °C E +30,2 °C B –2,4 °C K –4,8 °C S +0,4 °C O –0,4 °C I –20,4 °C H +15,2 °C I +10,2 °C B +0,2 °C C +8 °C K +3 °C H +5,0 °C N +19,8 °C R –2,4 °C G –1,8 °C W +5,2 °C U +15,2 °C I +9,8 °C O –10,2 °C I +25 °C Z +3 °C H +5,0 °C N +0,02 °C U –30,2 °C C Nebenrechnungen: Lösungswörter: RK DI RK DI RK DI 10 K1 Zahlen und Maẞe Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
36 Fülle die „Ratioschlange” korrekt aus! a) b) 37 Fülle die grünen Dreiecke aus, indem du jeweils die drei Zahlen in den angrenzenden drei Feldern addierst! RK ‒2,5 ‒ (+ 2.5) + (+ 10) 1 4 ‒ (‒4) 5 8 3 2 1 4 : (‒4) · (‒2) RK ‒ 0,4 0 ‒ 0,1 ‒ ‒ 0,001 ‒ 0,9 ‒ 0,01 7 0,05 ‒ 0,3 10 0,3 0,3 0,3 0,3 3 4 1 2 2 11 Rationale Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
38 Fülle die orangen Dreiecke aus, indem du jeweils die drei zahlen in den angrenzenden drei Feldern miteinander multiplizierst! 39 Ergänze den Text durch korrektes zuordnen der Begriffe! Jede zahl, die in so angeschrieben werden kann, dass jeweils zahlen sind, nennt man rationale zahl. Alle Grundrechenarten mit rationalen zahlen lassen sich in der Menge Q ausführen. Einzige ist die Division durch . 40 Setze zwei gleiche Rechenzeichen so ein, dass eine wahre Aussage entsteht! a) 1 _ 3 1 _ 3 1 _ 3 = 1 _ 27 b) 1 _ 3 1 _ 3 1 _ 3 = 1 c) “ ‒ 1 _ 2 § 1 _ 2 1 _ 2 = ‒ 3 _ 2 41 Selina schreibt bei einer Schularbeit: ‒ 8 _ 5 “ ‒1 3 _ 5 § = 0 Hat sie Recht? Begründe die Entscheidung! Entscheidung: Begründung: rK ‒ 1,5 3 ‒ 10 ‒ 32 ‒ ‒ 0,1 0,4 ‒ 0,1 ‒ 0,1 0 3 4 ‒ 3 4 ‒ 3 2 ‒ 3 10 1 2 6 3 2 5 di rK di di Vb Zähler und Nenner mit einer ohne negative kleinste vier positive Bruchdarstellung größte null ganze drei rationale oben und unten eins drei natürliche oben und unten Ausnahme 12 K1 Zahlen und Maẞe Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
42 Sind die Aussagen richtig oder falsch? Kreuze an! Gib bei falschen Aussagen ein Gegenbeispiel an! richtig falsch 1) x + x + x + x = 12, wenn x = ‒3. 2) (‒5)·4 = (‒5) + (‒5) + (‒5) + (‒5) 3) Multipliziert man eine rationale Zahl, die nicht 0 ist, mit sich selbst, so ist das Ergebnis stets positiv. 4) Das Produkt zweier rationaler Zahlen ist stets größer als die einzelnen Faktoren. 5) Der Quotient zweier rationaler Zahlen ist stets eine rationale Zahl. Gegenbeispiel(e) bzw. Richtigstellung: 43 Berechne die fehlenden Zahlen! 44 Berechne die fehlenden Zahlen und ergänze passende Rechenoperationen! DI RK . (‒ ) ‒ 9 + . (‒ 0,5) . (‒ 1) : (‒ 0,5) : (‒ 5) : 8 ‒ 10 ‒ 2,6 2 5 7 5 . (‒ ) 1 5 : (‒ ) 5 14 . (‒ ) 1 2 1 2 RK . (‒ ) + . 0,1 ‒ 1 0 ‒ ‒ 0,6 2 5 3 4 24 5 . (‒ ) 3 10 : (‒ ) 4 5 13 40 2 13 Rationale Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Unter Verwendung des Taschenrechners 45 René Antoine RÉAUMUR entwickelte um 1730 eine Temperaturskala, die man heute als Réaumur-Skala kennt. Die Umrechnung einer Temperatur tR in Grad Réaumur (°R) in eine Temperatur tC in Grad Celsius erfolgt über die Formel tc = 5 _ 4 ·t R. Vervollständige die folgende Tabelle! t C in °C ‒20,7 10,5 27,8 ‒150 0 t R in °R ‒250,3 15,4 ‒34.8 1 46 Marika hat ein Flüssigkeitsthermometer, auf welchem sich die Temperaturen auf 0,5 °C genau schätzen lassen. Sie misst an 20 Tagen jeweils zum selben Tageszeitpunkt die Außentemperatur und trägt sie in eine Tabelle ein. T in °C ‒5,5 ‒3,5 0 4,5 2 5,5 ‒1,5 ‒10 ‒3,5 3,5 T in °C ‒3 ‒2 ‒3,5 2,5 4 5,5 6 4 4,5 ‒0,5 a) Ermittle die durchschnittliche Temperatur der Messreihe! Die durchschnittliche Temperatur beträgt °C. b) Wie groß ist der Temperaturunterschied zwischen dem höchsten und dem niedrigsten Wert? Der Temperaturunterschied ist °C. c) Um wie viel Prozent liegt die höchste Temperatur über der zweithöchsten? Die höchste Temperatur ist um ca. % höher als die zweithöchste. 47 Kreuze das korrekte Ergebnis der Rechnung ‒4,3 – 8 – (‒3) __ 2 – 4,25 – “ ‒ 1 _ 2 §· 2 an! ‒ 1 305 _ 1 000 ‒ 1 305 _ 10 ‒ 1 305 _ 100 ‒14,05 ein anderer Wert: 48 Vervollständige die Wertetabelle! x ‒0,75 3,25 1 ‒ 2 _ 3 2 5 _ 6 5 – x·x – 3 + x 49 Der Kontostand von Herrn Traber am 5. Oktober 2025 beträgt 234 €. Am 7. Oktober werden die Kosten für eine Reparatur abgebucht. Diese betragen 85,30 €. Am 8. Oktober hebt Herr Traber 120 € am Bankomaten ab. Am 15. Oktober erhält Herr Traber sein Gehalt in der Höhe von 1 843,50 € überwiesen. Für diverse Fixkosten muss er 72 % seines Gehalts aufwenden. Herr Traber kauft sich für die kalte Jahreszeit warme Kleidung und gibt dafür 184,90 € aus. Von seiner Frau erhält er zum Geburtstag einen Schal und Handschuhe. Dieses Geschenk kostet 43,79 €. Am 28. Oktober wird plötzlich die Waschmaschine kaputt und kann nicht mehr repariert werden. Herr Traber kauft um 299,90 € ein neues Gerät. Gib den nunmehrigen Kontostand an! Der Kontostand beträgt nun €. RK RK RK DI RK RK 14 K1 Zahlen und Maẞe Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
3 Potenzen 50 Benenne korrekt! 53 51 Vervollständige den Satz korrekt! a) In der Zahl 72 ist die Basis , der Exponent und die Potenz . b) In der Zahl 158 ist die Basis , der Exponent und die Potenz . c) In der Zahl (‒4)10 ist die Basis , der Exponent und die Potenz . d) In der Zahl 0,53 ist die Basis , der Exponent und die Potenz . 52 Stelle korrekt dar! a) Die folgende Potenz hat die Basis 8 und den Exponenten 3: b) Die folgende Potenz hat die Basis 25 und den Exponenten 12: c) Die folgende Potenz hat die Basis (‒20) und den Exponenten 5: 53 Schreibe in vereinfachter Darstellung an! a) 5 + 5 + 5 + 5 = d) (‒2)·(‒2)·(‒2)·(‒2)·(‒2)·(‒2) = b) 7·7·7·7·7·7·7·7·7 = e) c2 + c2 + c2 + c2 + c2 + c2 + c2 + c2 = c) (‒3) + (‒3) + (‒3) + (‒3) + (‒3) = f) n·n·n·n·n·n·n·n·n·n·n·n·n = 54 Stelle vereinfacht dar! a) 2·2·2·2·3·3·3·3·3·3·3 = d) 1 _ 2 · 1 _ 2 · 1 _ 2 · 1 _ 2 · 1 _ 2 · 1 _ 2 · 10·10 = b) (‒5)·(‒5)·(‒4)·(‒4)·(‒4) = e) 4·k·4·k·4·4·k·k·4 = c) 8,2·8,2·8,2·8,2·(‒2,5)·(‒2,5) = f) a·b·c·a·b·c·a·c·a·c·a·a·a = DI DI DI DI DI 15 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
55 Vervollständige die Tabelle! 2·x x2 3·x x3 4·x x4 x = 3 6 x = 4 64 x = ‒2 x = ‒5 625 x = 10 40 x = ‒10 56 Stelle das Produkt als eine Potenz dar! a) 52·57 = d) 258·2510·2516 = g) (‒c)6·(‒c)9 = b) (‒3)3·(‒3)5 = e) a2·a3·a4 = h) (‒d)2·(‒d)8·(‒d)14 = c) 0,14·0,16 = f) b12·b21 = i) (‒e)50·(‒e)50·(‒e)50 = 57 Stelle den Quotienten als eine Potenz dar! a) 7 6 _ 7 4 = d) 2 3·2 5 _ 2 2 = g) (‒12) 20 __ (‒12) 4·(‒12)7 = b) 10 10 _ 10 9 = e) a 15 _ a 10 = h) (‒b)2·(‒b) 9 __ (‒b) 3·(‒b) 4 = c) 3 8 _ 32·33 = f) 5 4·511 _ 514 = i) (‒c)20·(‒c)10 __ (‒c)2 = 58 Begründe, dass ‒32 ≠ (‒3)2! Begründung: 59 Stelle das Produkt als eine Potenz dar! a) 42·52 = d) 107·“ 1 _ 2 § 7 = g) 25·(‒12)5·55 = b) (‒8)3·23 = e) a9·b9 = h) (‒x)6·y6·(‒z)6 = c) (‒2)4·(‒3)4 = f) (‒c)8·d8 = i) (‒p)10·(‒q)10·(‒r)10 = RK DI DI VB DI 16 K1 Zahlen und Maẞe Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
60 Stelle den Quotienten als eine Potenz dar! a) 6 5 _ 3 5 = d) 7 10 _ (‒5) 10 = g) (‒c) 12 _ d 12 = b) (‒8) 7 _ (‒4) 7 = e) a 4 _ b 4 = h) n k _ m k = c) (‒10)3 _ 23 = f) b 9 _ (‒c)9 = i) x z _ (‒y)z = 61 Ordne gleichwertige Terme einander korrekt zu! Zeichne Verbindungslinien! d·d·d·e·e (d·e)6 d3·d3 + e3·e3 d·d2 + e·e2 d + d + d + e + e d·d·d + e·e d3 + e3 d6 + e6 d3·e2 d3 + e2 d6·e6 3·d + 2·e 62 Stelle mit einem einzigen Exponenten (einer einzigen Hochzahl) dar! a) (4 5) 6 = d) (‒5 8) 4 = g) (2,7 9) 9 = b) (8 2) 10 = e) (0,8 9) 5 = h) (w12)5 = c) (123) 8 = f) (‒35) 7 = i) (xy) z = 63 Eine Fläche besteht aus fünf Quadraten mit der Seitenlänge 3, aus acht Quadraten mit der Seitenlänge 5 und aus zehn Quadraten mit der Seitenlänge 6. 1) Schreibe für den Inhalt A der gesamten Fläche eine Formel mit Potenzen an! A = 2) Berechne den Inhalt A der gesamten Fläche! A = 64 Ein Körper besteht aus vier Würfeln mit der Kantenlänge 2, aus neun Würfeln mit der Kantenlänge 8 und aus zwölf Würfeln mit der Kantenlänge 10. 1) Schreibe für das Volumen V des gesamten Körpers eine Formel mit Potenzen an! V = 2) Berechne das Volumen V des gesamten Körpers! V = 65 Stelle die Zahl als Zehnerpotenz dar! a) 100 = d) 1 000 000 = g) 100 000 000 000 = b) 1 000 = e) 1 000 000 000 = h) 10 000 000 000 000 000 000 = c) 10 000 = f) 10 000 000 000 = i) 1 000 000 000 000 000 000 000 = DI DI DI RK DI RK DI DI 3 17 Potenzen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
66 Stelle die Zahl ohne Zehnerpotenz übersichtlich in Dreiergruppen dar! a) 104 = d) 1016 = b) 108 = e) 1021 = c) 1013 = f) 1026 = 67 Schreibe die Zahl in normierter Gleitkommadarstellung an! a) sieben Milliarden = e) drei Billiarden = b) 79 Milliarden = f) 25 Billiarden = c) elf Billionen = g) 47 Trillionen = d) 166 Billionen = h) acht Trilliarden = 68 Schreibe die Zahl in Festkommadarstellung an! a) 8,02·103 = d) 3,38·1011 = b) 1,39·106 = e) 9,940 22·1014 = c) 4,827 41·109 = f) 5,603 361 963·1019 = 69 Vervollständige den Satz korrekt! a) Die Zahl 6,34·108 hat in Festkommadarstellung Ziffern. b) Die Zahl 9,251 7·1012 hat in Festkommadarstellung Ziffern. Davon sind Ziffern Nuller. c) Bei der Zahl 1·1016 handelt es sich um Billiarden. Sie besteht aus einem Einser und Nullern. d) Der Exponent jener Zehnerpotenz, welche die Zahl 100 Trilliarden darstellt, lautet . 70 Die Lichtgeschwindigkeit beträgt im Vakuum 299792,458 km/s. Es wird gemessen, dass das Licht 33 Minuten für die Strecke Jupiter – Erde benötigt. Wie groß ist zu diesem Zeitpunkt der Abstand Jupiter – Erde? Schreibe das Ergebnis in normierter Gleitkommadarstellung an! Rechnung: Der Abstand Jupiter – Erde beträgt zu diesem Zeitpunkt ca. km. 71 Ein Mensch macht im Durchschnitt pro Minute ungefähr 15 Atemzüge. Berechne, ungefähr wie viele Atemzüge ein 13-jähriger Mensch seit seiner Geburt gemacht hat! Schreibe das Ergebnis in normierter Gleitkommadarstellung an! Rechnung: Ein 13-jähriger Mensch hat ungefähr Atemzüge gemacht. DI DI DI DI RK RK 18 K1 Zahlen und Maẞe Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
4 Mit Termen und Gleichungen arbeiten Terme und Formeln aufstellen und interpretieren 72 Ergänze die Lücken im Text mit den angeführten Begriffen! Ein ist ein sinnvoller mathematischer Rechenausdruck. sind Stellvertreter für Zahlen und unbekannte Größen. Wenn alle Variablen eines Terms durch Zahlen ersetzt werden, kann man den eines Terms berechnen. Eine stellt einen Zusammenhang zwischen Termen dar, die durch Gleichheitszeichen voneinander getrennt sind, eine allgemeingültige Gleichung nennt man . Wert Term Variablen Formel Gleichung 73 Schreibe den Text als Term an! a) das Fünffache von a: b) Multipliziere 3 e mit f! c) der Quotient von 8 y und 3: d) Vermindere x um 16! e) Bilde das Produkt von y und dem Nachfolger von y! f) die Differenz aus dem Dreifachen von a und dem Doppelten von b: g) Bilde den Quotienten aus a und 2 b! 74 Kennzeichne alle Terme ohne Variablen mit roter Farbe, alle Terme mit Variablen grün und die Ausdrücke, die keine Terme sind, gelb! 2 a + 5 b 3 8 + – 124 + –12 124 – (17 + 3) 0,5(a + 2b) 14 – 132 2 x 13 + 24 82) 4(2 – 2) 1 _ 2 (2 a + 14 c) 5 2 2a+3b+4c+d 1 _ 2 (24 + 36) DI DI DI 19 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
75 Eine Schulklasse mit 24 Jugendlichen und zwei Lehrerinnen fährt mit dem Bus zu einem Tierpark. Ein Jugendlicher zahlt für den Bus a Euro und für den Eintritt in den Tierpark b Euro. 1) Was drücken die folgenden Terme in diesem Zusammenhang aus? 24 a 24 b 24 (a + b) 2) Für eine Tiervorführung zahlen die Jugendlichen und die Lehrerinnen jeweils c Euro Eintritt. Was bedeuten die folgenden Terme? 24 c 26 c 3) Drücke nun die Gesamtheit aller Kosten, die durch den Ausflug für die Jugendlichen ent- stehen, durch einen Term aus: 76 Die Variablen a und b können für die Länge von Strecken stehen. Wähle geeignete Längen für a und b und skizziere damit den Streckenzug, der dem angeführten Term entspricht! a) a + b b) 3 a c) 1 _ 2 (a + b) d) 2 a + b 77 Erstelle einen Term für den Umfang und den Flächeninhalt der folgenden Figur! a) Umfang: Flächeninhalt: b) Umfang: Flächeninhalt: c) Umfang: Flächeninhalt: d) Umfang: Flächeninhalt: DI DI DI a a + 3 b b b + 3 c c c + 3 c + 3 d 6 d d d + 6 20 K2 Variablen und Funktionen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Terme addieren und subtrahieren 78 Kann der jeweils angegebene Term durch Addieren (Subtrahieren) vereinfacht werden? Kreuze an und stelle ihn, wenn möglich, vereinfacht dar! Term ja nein Vereinfachung a + a 2 x + 5 x 3 z2 + 4 z 4 x y – 2 x y 5 b3 – 3 b2 y + 1 79 Vereinfache den Term! a) a + a + a + b + b = c) cd+4cd–2cd+1= b) x+2y+2x+5y= d) x–y+5x–3y= 80 Vereinfache den Term! a) a _ 2 + 3 a _ 2 + 7 a _ 2 = c) 2 c _ 3 + 4 c _ 3 – c _ 3 + 5 c _ 3 = b) b _ 5 – 2 b _ 5 + 8 b _ 5 = d) 7 d _ 8 – 5 d _ 8 – 3 d _ 8 – d _ 8 = 81 Vereinfache den Term! a) 4 x2 + 8 x2 – x2 + 3 = c) ‒x2 + y2 – 4 x2 – 2 y2 = b) 5 a2 b–7ab2 + a2 b–3ab2 = d) 2 c2 d–4cd2 + 2 c2 d+4cd2 = 82 Vereinfache den Term! a) a–2b+(a+2b)= c) 2 x2 +5x+(4x2 – 10 x) = b) 2a+b–(a–2b)= d) 8 x3 + 2 x2 – (‒3 x3 + 4 x2) = 83 Ordne jedem Term in der linken Tabelle den korrekt vereinfachten Term der rechten Tabelle zu! 1 5 a2 + 3 a2 – (a2 + a3) A 2 a3 – 5 a2 2 a3 – a2 + (a3 – 4 a2) B a3 + 7 a2 C –a3 + 7 a2 D 2 a3 + 3 a2 84 Vereinfache den Term! a) 2 a2 – 4 b2 – (3 a2 + 8 b2) + (a2 + b2) = b) 8 x2 y+7xy2 – (4 x2 y+3xy2) – (x2 y – x y2) = RK DI DI DI DI DI RK DI DI 4 21 Mit Termen und Gleichungen arbeiten Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Terme multiplizieren 85 Welche Umformung ist korrekt? Kreuze an! a) 2 x·x 3 x 3 x2 2 x2 2 x + 1 b) 3 a2·2 b 5 a2 b 6 a2 b 9 a2 b 6 (a b)3 c) 4 x3·5 x2 9 x 5 9 x6 20 x6 20 x5 d) 3 a2 b3·a b 3 a2 b3 4 a2 b3 3 a3 b4 4 a3 b4 86 Vereinfache den Term! a) 4 a·3 b + 5 a·2 b – 3 a·7 b = b) 2 x2·3y – 4x2·2 y + 16 x2·4 y = 87 Stelle als Summe oder Differenz dar! a) 2(a + 2b) = c) 4a(a – 6) = b) 3x(2x + 5) = d) 2 y (y2 – 5y) = 88 Stelle als Summe oder Differenz dar! a) (a + 2)·(a + 4) = c) (4x –7)·(9x – 8) = b) (2a – 3)·(4a –1) = d) (2 x2 – 3)·(x2 + 3) = 89 Um ein quadratisches Grundstück mit der Seitenlänge a wird ein Weg angelegt, der die Breite b hat. Welcher Term drückt den Flächeninhalt des Wegs aus? (b – a)·(b + a) 4 b2 + 4 a b (b – a)·(b – a) 4b(a–b) 90 Ergänze den fehlenden Term! a) ( )·(2b+1)=a+2ab+2b+1 b) (0,25 x + y2)·( ) = x2 + 4,25 x y2 + y4 91 Ein Term lautet: 2 a·(a + 3 b) + a2 (a + 3 b). Wo wurde richtig herausgehoben bzw. die Summe richtig in ein Produkt umgeformt? Kreuze an! (a + 3b)·2a3 a·(a + 3 b)·(2 + a) (a + 3b)·(2a + a2) DI DI DI DI DI RK DI 22 K2 Variablen und Funktionen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
92 Sind die Aussagen richtig oder falsch? Kreuze an! richtig falsch 8st +7ts – (7t – st) =14st –7t u·(x + y) – x·(u + y) = 0 (3 a)2 – 3 a2 – 3 a2 = 0 8u – 4uv = 4u(2 – v) 20a – 20 = 20(a –1) Übertrage korrekte Aussagen und stelle falsche richtig! richtig 93 Welche der angegebenen Umformungen sind richtig, welche falsch? Kreuze an! richtig falsch (3u – v)·(3u + v) = 9u2 –6uv–v2 (‒7u – 0,2 v)·(‒4 u – 0,5 v) = 28 u2 (3 a)2 – 3 a2 – 6 a2 = 0 25 z – 50 y z = 5 z (5 – 10 y) 3 a3 – 9 a2 = 3 a2 (a – 6) Wähle eine der falschen Umformungen aus und stelle sie richtig! Schreibe mögliche Gründe für die falsche Umformung auf! Umformung richtiggestellt: Mögliche Gründe für die falsche Umformung: RK DI RK DI VB 4 23 Mit Termen und Gleichungen arbeiten Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Die binomischen Formeln 94 Stelle als Summe dar! a) (a + 3)2 = c) (2x + 3y)2 = b) (2 a + 1)2 = d) (3 x2 + 4 y2)2 = 95 Stelle als Summe oder Differenz dar! a) (a – 4)2 = c) (4x – 3y)2 = b) (2 b – 1)2 = d) (0,5 x2 – 2 x)2 = 96 Vereinfache den Term! a) (a + 1)·(a – 1) = c) (0,5 x – 5)·(0,5 x + 5) = b) (2x + 5)·(2x – 5) = d) (7 x2 – 9)·(7x2 + 9) = 97 Ordne äquivalente Terme einander korrekt zu! Zeichne Verbindungslinien! (a + b)2 (a – b)2 (a + b)·(a – b) (b – a)·(b + a) (b – a)·(a – b) a2 – b2 a2 –2ab+b2 ‒a2 +2ab–b2 a2 +2ab+b2 b2 – a2 98 Zerlege in ein Produkt! a) 4 x2 – y2 = c) 144 a2 – 81 b2 = b) x2 – 121 y2 = d) 16 x4 – y2 = 99 Ergänze die Gleichung korrekt! a) ( + b)2 = + 4ab + b) (a – )2 = ‒ + 25 b2 100 Beschrifte die Seitenlängen des dargestellten Quadrats mithilfe der angegebenen Variablen und stelle den Flächeninhalt des Quadrats als Term auf zwei Arten dar! RK DI RK DI RK DI DI DI RK DI DI b2 a2 a . b a . b 24 K2 Variablen und Funktionen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Mit Bruchtermen arbeiten 101 Ermittle den Wert der Bruchterme mit den angeführten Zahlen! Bruchterm a = ‒2 a = ‒1 a = 0 a = 1 25 _ a – 2 2 a _ a 2 + 4 2 a + 5 _ a 2 – 1 10 a _ a 2 – 4 a + 2 _ a – 2 102 Ordne jedem Bruchterm die jeweils zutreffende Voraussetzung zu! Bruchterm Voraussetzung 1 _ x – 1 x ≠ 0 2 _ x2 – 1 x ≠ 1 1 _ x x ≠ ‒1, x ≠ 1 1 _ 2 x + 2 x ≠ ‒1 1 __ x (x2 – 1) keine Zahl 1 _ x2 + 1 x ≠ ‒1, x ≠ 0, x ≠ 1 Termstrukturen 103 Gib bei dem angeführten Term jeweils zwei verschiedene Möglichkeiten an, die Struktur A·B erkennbar zu machen! a) 1 _ 2 a b 1. Möglichkeit: 2. Möglichkeit: b) a 2 b c _ 4 1. Möglichkeit: 2. Möglichkeit: c) e f g h _ 4 1. Möglichkeit: 2. Möglichkeit: d) x2 y z _ 3 a 1. Möglichkeit: 2. Möglichkeit: e) k _ p q 1. Möglichkeit: 2. Möglichkeit: f) 5 _ 6 s 2 t 1. Möglichkeit: 2. Möglichkeit: g) 4 a2 – 16 b2 1. Möglichkeit: 2. Möglichkeit: RK DI DI 4 25 Mit Termen und Gleichungen arbeiten Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
104 Bilde die entsprechenden Terme in der jeweils angegebenen Struktur! Term A Term B Term C A·B A·B + C A·(B + C) A + B·C a a + b b b + 1 b + 2 b + 3 x2 x y y2 x 1 _ x 1 x2 x + 1 _ x2 x + 1 105 Sind die Terme eine Summe A + B oder ein Produkt A·B? Kreuze korrekt an und gib die Terme A und B an! Summe Produkt A B e (f + 3) 2cd+(c+d) 3 2 _ 5 (x2 – 4 x) x 3 x _ 8 · 4 _ 5 2 + 9 x2 Gleichungen und Formeln umformen 106 Forme die angeführte Formel nach a um! a) A = a·b a = b) A = a·b _ 2 a = c) u = 2(a + b) a = d) A = (a + c)·h __ 2 a = e) V = a·b·h _ 6 a = f) V = a 2·h _ 3 a = DI DI DI 26 K2 Variablen und Funktionen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
107 Gib den Umformungsschritt an, der die Gleichung in die nächste überführt! a) 5x–3=17 1 c) ‒2x–6=24 1 e) x – 2 _ 3 = 8 1 5x = 20 1 ‒2x = 30 1 x – 2 = 24 1 x = 4 x = ‒15 x = 26 b) 4 x + 7 = 27 1 d) ‒3x–5=‒8 1 f) 2 (x + 3) __ 5 = 4 1 4x = 20 1 3x+5=8 1 2(x + 3) = 20 1 x = 5 3x=3 1 x + 3 = 10 1 x = 1 x = 7 108 Der Oberflächeninhalt O eines Quaders mit den Kantenlängen a, b und h ist durch die Formel O=2ab+2ah+2bhgegeben. 1) Erstelle eine beschriftete Skizze des Netzes! 2) Stelle eine Formel für a auf! 3) Begründe diese Formel inhaltlich! Skizze und Formel für a: Inhaltliche Begründung: 109 Bei der folgenden Umformung wurde ein Fehler gemacht: v = v0 + a·t w t=v:a–v0 Erkläre mit eigenen Worten, um welchen Fehler es sich handelt, und drücke t durch die anderen Variablen richtig aus! DI DI VB VRBK DI VB VRBK Sprachliche Bildung und Lesen 4 27 Mit Termen und Gleichungen arbeiten Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Textaufgaben 110 Mayada und Amira sind zusammen 23 Jahre alt. Mayada ist sieben Jahre älter als Amira. Wie alt sind die beiden Mädchen? (Stelle zur Lösung dieser Aufgabe eine Gleichung auf!) Rechnung: 111 Wenn man zu einer Zahl die um vier größere Zahl addiert, erhält man 36. Wie lautet diese Zahl? (Stelle zur Lösung dieser Aufgabe eine Gleichung auf!) Rechnung: 112 Vier aufeinanderfolgende ungerade Zahlen haben die Summe 1 208! Welche der vier folgenden Gleichungen ist zur Lösung dieser Aufgabe geeignet? Kreuze an! richtig 1+2n+1+2n+3+2n+5=1208 a+a+1+a+2+a+3=1208 u+u+2+u+4+u+6=1208 2s+(2s+1)+(2s+3)+(2s+5)=1208 113 Eine Gleichung lautet: (x + 5)2 – 125 = x2 Setze im folgenden Text die jeweils passenden Textbausteine korrekt ein! Das einer um Zahl ist um 125 als das Quadrat . RK DI RK DI DI DI einer Zahl Quadrat kleiner fünf vergrößerten Produkt größer fünf kleineren dieser Zahl 28 K2 Variablen und Funktionen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
114 a) Das Dreifache einer Zahl ist um vier größer als das Doppelte dieser Zahl. Wie lautet diese Zahl? (Stelle zur Lösung dieser Aufgabe eine Gleichung auf!) Rechnung: b) Subtrahiert man von einer Zahl die Hälfte dieser Zahl, so erhält man 48. Wie lautet diese Zahl? (Stelle zur Lösung dieser Aufgabe eine Gleichung auf!) Rechnung: c) Subtrahiert man vom Doppelten einer Zahl die um 4 verkleinerte Zahl, so erhält man 16. Wie lautet diese Zahl? (Stelle zur Lösung dieser Aufgabe eine Gleichung auf!) Rechnung: 115 In einem rechtwinkeligen Dreieck ist ein spitzer Winkel doppelt so groß wie der andere. Berechne die Maße der beiden spitzen Winkel! (Stelle zur Lösung dieser Aufgaben eine Gleichung auf!) Rechnung: 116 In einem Kinosaal gibt es 200 Plätze. Der Preis für die vorderen Plätze beträgt 8 €, der für die hinteren Plätze 10 €. Wie viele Plätze der verschiedenen Kategorien gibt es, wenn an einem ausverkauften Termin 1760€ eingenommen werden? (Stelle zur Lösung dieser Aufgabe eine Gleichung auf!) Rechnung: RK DI RK DI RK DI 4 29 Mit Termen und Gleichungen arbeiten Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
5 Verhältnisse und Proportionen 117 Miriam verbringt täglich rund drei Stunden in sozialen Netzwerken. Stelle die Zuordnung Zeit (in Tagen) ¦ Social-Media-Zeit (in Stunden) 1) in der Tabelle, 2) mit Punkten in dem Diagramm dar! Zeit (in Tagen) Social-Media-Zeit (in Stunden) 0 1 5 10 25 30 118 Liest Patrick jeden Tag zehn Seiten seines Buches, so hat er das Buch nach zwölf Tagen ausgelesen. Stelle die Zuordnung Geschwindigkeit (in Seiten/Tag) ¦ Zeit (in Tagen) 1) in der Tabelle, 2) mit Punkten in dem Diagramm dar! Geschwindigkeit (in Seiten/Tag) Zeit (in Tagen) 1 2 3 4 5 6 8 10 119 Sechs 1,5 Liter-Flaschen Mineralwasser kosten 4,74 €. 1) Berechne den Preis für vier Flaschen Mineralwasser! Vier Flaschen Mineralwasser kosten €. 2) Sieben Flaschen Wasser kosten 5,53 €, zehn Flaschen 7,90 € und 15 Flaschen 11,85 €. Wie groß ist jeweils der Quotient „Preis durch Anzahl der Flaschen“? Was gibt der Quotient bei dieser Aufgabe an? Der Quotient beträgt Der Quotient gibt 120 Der Futtervorrat einer Tierpension reicht für zwölf Katzen 15 Tage. Nach einer Woche nimmt die Pension vier weitere Katzen auf. 1) Wie viele Tage könnte eine Katze mit dem Futtervorrat verpflegt werden? Eine Katze könnte Tage verpflegt werden. 2) Um wie viele Tage früher ist der Futtervorrat durch vier zusätzlichen Katzen verbraucht? Der Futtervorrat ist um Tage früher verbraucht. RK DI 10 20 30 40 50 70 80 90 100 60 2 O Social-Media-Zeit (in Stunden) Zeit (in Tagen) 8 14 20 4 10 16 6 12 18 22 24 26 28 30 RK DI 10 20 30 40 50 70 80 90 100 110 120 60 1 O Geschwindigkeit (in Seiten/Tag) 4 7 10 2 5 8 3 6 9 Zeit (in Tagen) RK DI RK 30 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
121 Vervollständige jeden Satz durch Streichen eines Wortes, sodass die Aussage richtig ist! 1) Führt die Verdopplung einer Größe zur Verdopplung/Halbierung der anderen Größe, so handelt es sich um eine indirekte Proportionalität. 2) Eine Zuordnung ist immer/nicht immer proportional. 3) Ist das Produkt/der Quotient der beiden Größen konstant, so sind die Größen direkt proportional. 122 Je drei Verhältnisse sind gleich. Finde und kennzeichne sie! 2 : 1,5 2 _ 5 : 1,2 1 : 2 a : 2 a 2 : 1 8 _ 10 : 4 _ 10 1 : 3 4 : 6 a _ 2 : a 2 : 3 20 : 15 4 : 3 0,5 : 3 _ 2 0,8 : 0,4 36 : 54 123 Welche Verhältnisse sind hier grafisch dargestellt? Lies ab und berechne die Verhältniszahl! Beachte, dass du aus jeder Darstellung mehrere Verhältnisse ablesen kannst (ab ≠ ba)! Gib jeweils alle Möglichkeiten an! a) c) b) d) 124 Zeige durch geeignete Berechnung, dass die angegebene Proportion ab = cd falsch ist. Ändere dann jeweils ein Glied, sodass die Proportion richtig ist! ab = cd Die Proportion ist falsch, weil … a b c d a) 210 = 35 b) 53 = 127 c) 1,24 = 0,83 d) 1 _ 2 : 3 _ 4 = 32 125 Streiche falsche Satzteile, sodass eine wahre Aussage entsteht! a) Das Verhältnis zweier Größen a und b ist das Produkt a·b/der Quotient ab/die Summe a + b. b) Bei Verhältnissen darf gekürzt/erweitert/Zähler mit Nenner vertauscht werden. c) ab = cd nennt man Verhältnisgleichung/Produktgleichung/Proportion. d) Rechnet man „Außenglied mal Außenglied gleich Innenglied mal Innenglied“, so führt man eine Proportion in eine Bruchgleichung/Produktgleichung/Verhältnisgleichung über. DI RK DI DI 1 b a a b c a b 1 a b c 2,5 Liter 1 Liter 0,5 Liter RK VB DI 5 31 Verhältnisse und Proportionen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
126 Das Modell eines Segelflugzeugs wird im Maßstab 124 gebaut. Mit welcher Proportion kann man die Spannweite von 21m in die Länge am Modell umrechnen? Kreuze die beiden richtigen Proportionen an und berechne die gesuchte Länge am Modell! 1x = 2124 124 = 21x x1 = 2124 124 = x21 127 Fred hat beim Lösen der Verhältnisgleichung Fehler gemacht. Beschreibe Freds Rechenweg, finde den Fehler und die richtige Lösung! a) Angabe: 3x = 69 Beschreibung und Korrektur: Lösung: x3 = 69 9·x = 3·6 9 x = 18 x = 2 b) Angabe: 52 = a8 Beschreibung und Korrektur: Lösung: a8 = 52 a _ 8 = 5 _ 2 a _ 8 : 5 _ 2 = 1 a5 _ 4 = 1 a = 4 _ 5 c) Angabe: 1,52,1 = 3p Beschreibung und Korrektur: Lösung: 1521 = 30p 57 = 10p 5 _ 7 = 10 _ p p = 14 128 Mit der Ausgabe von Bargeld wurde in der Europäischen Union (EU) am 1. Jänner 2002 der Euro (EUR) als Währung eingeführt. Das Vereinigte Königreich (UK) behielt bis zum „Brexit“ (Austritt des UK aus der EU, 2020) das Pfund Sterling (GBP) als Währung bei. (2002: 1 £ = 1,59 €, 2020: 1 £ = 1,12 €) 1) Berechne, wie viel Pfund Sterling man im Jahr a) der Euroeinführung, b) des Brexits für 1 000 000 € erhielt! Jahr 2002: 1 000 000 € = £; Jahr des Brexits: 1 000 000 € = £ 2) In welchem Jahr war der Kauf einer Immobilie um eine Million EUR aus finanzieller Sicht anzuraten? Begründe aus der Perspektive eines Käufers aus dem Vereinigten Königreich! Begründung: 129 Verwende den Währungsrechner der Europäischen Union (https://commission.europa.eu/ funding-tenders/procedures-guidelines-tenders/information-contractors-andbeneficiaries/ exchange-rate-inforeuro_de) um herauszufinden, 1) in welchem Monat des Jahres 2021 der Wechselkurs von Euro (€) in Pfund Sterling (£) am a) niedrigsten, b) höchsten war! Niedrigster Wechselkurs: 2021; Höchster Wechselkurs: 2021. 2) wie groß die Differenz in diesen Monaten beim Tausch von einer Million Euro war! Die Differenz zwischen 2021 und 2021 betrug £. DI RK RK DI RK DI VB DI Informatische Bildung Wirtschafts‑, Finanz‑ und Verbraucher/innenbildung 32 K2 Variablen und Funktionen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
6 Wachstums- und Abnahmemodelle 130 In eine Regentonne fließen pro Stunde 60 Liter Wasser. Stelle den Füllvorgang der Tonne mit den beiden Größen Zeit (in Stunden) und Wasservolumen (in ø) 1) in einer Tabelle, 2) in einem Liniendiagramm für 20 Stunden dar! Zeit (in Stunden) Volumen (in Liter) 0 1 5 10 20 131 In eine Regentonne fließen pro Stunde 90 Liter Wasser. Es befinden sich bereits 80 Liter Wasser in der Tonne. Stelle den Füllvorgang der Tonne mit den beiden Größen Zeit (in Minuten) und Wasservolumen (in ø) 1) in einer Tabelle, 2) in einem Liniendiagramm für 1,5 Stunden dar! Zeit (in Minuten) Volumen (in Liter) 0 20 90 132 Eine 60 cm lange Wunderkerze brennt gleichmäßig pro Sekunde drei Millimeter ab. Stelle diesen Vorgang mit den beiden Größen Zeit (in Sekunden) und verbleibende unverbrannte Länge (in Millimeter) 1) in einer Tabelle, 2) in einem Liniendiagramm dar! Wähle selbst geeignete Einheiten! 3) Nach circa wie vielen Minuten ist die Kerze völlig abgebrannt? Zeit (in Sekunden) verbleibende Länge (in mm) 0 200 Sie ist nach ca. völlig abgebrannt. RK DI 100 200 300 400 500 700 800 900 1 000 1 100 1 200 1 300 600 1 O Volumen (in ø) Zeit (in h) 4 7 10 13 19 16 2 5 8 11 14 20 17 3 6 9 12 15 21 18 RK DI 20 40 60 80 100 140 160 180 200 220 120 5 O Volumen (in ø) Zeit (in min) 20 35 50 65 95 80 10 25 40 55 70 100 85 15 30 45 60 75 90 RK DI Länge (in mm) Zeit (in s) 33 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
133 Karat (engl. carat) definiert die Masse eines Diamanten. Fünf Karat entsprechen 1 g. 1) Stelle die Masse eines Diamanten (in g) in Abhängigkeit von der Anzahl der Karat in der Tabelle rechts dar! 2) Stelle die Masse eines Diamanten (in g) in Abhängigkeit von der Anzahl der Karat in einem Liniendiagramm dar! 3) Paul kauft einen Ring mit einem 3 _ 4 Karat. Lies aus dem Diagramm die Masse m des Steins ab! m = 4) Ermittle mithilfe des Diagramms die Anzahl der Karat eines Steins mit einer Masse von 0,75 Gramm! Der Diamant hat Karat. 5) Es sei x die Anzahl der Karat und m die Masse eines Diamanten. Wie groß ist die Masse eines Diamanten (in g) bei x Karat? m = 6) Im November 2015 wurde in Botswana ein Diamant mit unglaublichen 1111 Karat gefunden. Ermittle die Masse m dieses Diamanten! m = 134 Conny mag das Märchen von Rapunzel. Darin heißt es „ … Rapunzel wurde das schönste Kind unter der Sonne. Wie es aber zwölf Jahre alt war, so schloss es die Fee in einen hohen hohen Turm, der weder Tür noch Treppe hatte. Nur ganz oben war ein kleines Fensterchen. Wenn nun die Fee hinein wollte, so stand sie unten und rief: ‚Rapunzel, Rapunzel, lass dein Haar herunter.‘ …” Nimm an, dass zum Zeitpunkt des Einsperrens der Abstand von Rapunzels Haarspitzen zum Boden 12 m beträgt und Rapunzels Haar pro Jahr um 15 cm wächst. Ein Prinz möchte am Haar hinaufklettern. 1) Stelle den Abstand der Haarspitzen zum Erdboden mit den beiden Größen Zeit (in Jahren nach dem Einsperren) und verbleibender Abstand der Haarspitzen zum Boden (in Meter) in einer Tabelle dar! 2) Stelle diesen Vorgang mit denselben beiden Größen in einem Liniendiagramm dar, wobei auf der 1. Achse die Zeit und auf der 2. Achse der noch verbleibende Abstand der Haarspitzen zum Boden aufgetragen wird! Wähle selbst geeignete Einheiten! 3) Ermittle mithilfe des Diagramms, wie alt Rapunzel wäre, wenn der Abstand zum Boden nur mehr 4 m beträgt und der Prinz nun mithilfe einer Leiter so weit hinaufklettern könnte, um ihre Haare zu fassen! Zeit (in Jahren) Abstand (in m) 0 10 Rapunzel wäre Jahre alt. Anzahl der Karat Masse (in g) 0,25 0,5 6 RK DI 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 0,6 0,5 O Masse (in g) Karat 2 3,5 5 6,5 1 2,5 4 5,5 1,5 3 4,5 6 DI VB RK 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 6 5 O Abstand zum Boden (in m) Zeit nach dem Einsperren (in Jahren) 20 35 50 65 70 75 80 10 25 40 55 15 30 45 60 34 K2 Variablen und Funktionen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
135 In der folgenden Tabelle findest du Abmessungen und die Masse unserer Geldmünzen. 1 Cent 2 Cent 5 Cent 10 Cent 20 Cent 50 Cent 1 Euro 2 Euro Durchmesser in mm 16,25 18,75 21,25 19,75 22,25 24,25 23,25 25,75 Dicke in mm 1,67 1,67 1,67 1,93 2,14 2,38 2,33 2,20 Masse in g 2,30 3,06 3,92 4,10 5,74 7,80 7,50 8,50 a) Du stapelst 2-Euro-Münzen aufeinander. Vervollständige die Tabelle, die diesen Vorgang mit den Größen Anzahl der Münzen und Höhe des Stapels (in Millimeter) beschreibt! Anzahl der Münzen 1 5 20 22 Höhe (in mm) 8,8 22 66 b) Stelle dir vor, du bildest auf dem Boden eine lange Reihe, indem du die gleiche Art Geldmünzen ohne Abstand aneinander legst! Dazu ist ein Diagramm mit den Größen Anzahl der Münzen und Länge der Reihe (in Millimeter) dargestellt. 1) Schreibe auf die Linie, welche Art Münzen aneinandergereiht wurden! 2) Ergänze zum Diagramm die Werte in der Tabelle! -Münzen c) Clarissa hat einen Becher mit 1-Euro-Münzen, der 375 g wiegt. Sie nimmt jeden Tag zwei Münzen aus dem Becher. Stelle diesen Vorgang mit den beiden Größen Zeit (in Tagen) und verbleibender Masse (in Gramm) 1) in der Tabelle, 2) in einem Punktdiagramm dar! Zeit (in Tagen) Masse (in g) 0 1 5 10 15 20 3) Der Becher selbst hat 150 g. Ermittle mithilfe der Tabelle oder des Diagramms, wie lang Clarissa Geld entnehmen kann und wie viel Geld im Becher war! A: RK DI Anzahl der Münzen Länge (in mm) 0 400 800 1 200 2 000 4 000 6 000 8 000 10 000 12 000 14 000 16 000 18 000 20 000 O Länge (in mm) Anzahl der Münzen 400 1 000 1 200 1 400 200 800 600 20 40 60 80 100 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 120 O Masse (in g) Zeit (in Tagen) 4 10 16 2 8 14 20 6 12 18 6 35 Wachstums- und Abnahmemodelle Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
136 Die folgenden Tabellen und Diagramme beschreiben lineare Prozesse mit den Größen x und y. Ergänze fehlende Werte und verbinde jede Tabelle mit dem zugehörigen Diagramm! a) Größe x Größe y Größe x Größe y Größe x Größe y Größe x Größe y 0 5 2 0,5 1 2 1 20 2 8 10 2,5 2 4 3 16 10 20 20 5 3 6 5 12 12 15 x 0 5 10 15 2 O y x 8 14 20 4 10 16 6 12 18 5 10 15 2 O y x 8 14 20 4 10 16 6 12 18 5 10 20 15 2 O y x 8 14 20 4 10 16 6 12 18 5 10 20 15 2 O y x 8 14 20 4 10 16 6 12 18 b) Größe x Größe y Größe x Größe y Größe x Größe y Größe x Größe y 0 0 0 0 30 0 30 2 5 2 2 25 10 25 8 4 10 12 30 x 3·x 10 0 11 5 10 15 20 25 30 2 O y x 8 4 10 6 12 5 10 15 20 25 30 2 O y x 8 4 10 6 12 5 10 15 20 25 30 2 O y x 8 4 10 6 12 5 10 15 20 25 30 2 O y x 8 4 10 6 12 137 Gegeben sind vier Ausschnitte von Tabellen. Nur in einer Tabelle können die beiden dargestellten Größen direkt proportional sein. Kreuze die passende Tabelle an und begründe! Größe 1 Größe 2 Größe 1 Größe 2 Größe 1 Größe 2 Größe 1 Größe 2 0 0 1 2 1 30 1 30 2 4 2 4 2 27 5 150 5 25 3 6 3 24 10 300 10 100 5 8 4 21 100 3 000 1 000 10 000 6 12 5 18 120 3 600 Begründung: DI DI VB 36 K2 Variablen und Funktionen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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