Lösungswege 2, Schulbuch [Prüfauflage]

1. Auflage (Druck 0001) © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2023 www.oebv.at Alle Rechte vorbehalten. Jede Art der Vervielfältigung, auch auszugsweise, gesetzlich verboten. Schulbuchvergütung/Bildrechte © Bildrecht GmbH/Wien 2023 Redaktion: Brigitte Jug, Wien Herstellung: Alexandra Brych, Wien Umschlaggestaltung: Petra Michel, Gestaltung und Typografie, Amberg Layout: Petra Michel, Gestaltung und Typografie, Amberg Illustrationen: Angelika Citak, Wipperfürth Technische Zeichnungen: Da-Tex Gerd Blumenstein, Leipzig Satz: Da-TeX Gerd Blumenstein, Leipzig Druck: Ferdinand Berger & Söhne Ges.m.b.H., Horn Prüfauflage zu ISBN 978-3-209-12252-0, W6519-126 Lösungswege 2, Schülerbuch und E-Book Prüfauflage zu ISBN 978-3-209-12252-0, W6519-126 Dieses Werk wurde auf der Grundlage eines zielorientierten Lehrplans verfasst. Konkretisierung, Gewichtung und Umsetzung der Inhalte erfolgen durch die Lehrerinnen und Lehrer. Liebe Schülerin, lieber Schüler, du bekommst dieses Schulbuch von der Republik Österreich für deine Ausbildung. Bücher helfen nicht nur beim Lernen, sondern sind auch Freunde fürs Leben. Kopierverbot Wir weisen darauf hin, dass das Kopieren zum Schulgebrauch aus diesem Buch verboten ist – § 42 Abs. 6 Urheberrechtsgesetz: „Die Befugnis zur Vervielfältigung zum eigenen Schulgebrauch gilt nicht für Werke, die ihrer Beschaffenheit und Bezeichnung nach zum Schul- oder Unterrichtsgebrauch bestimmt sind.“ Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Mathias Bortenschlager Andreas Fischer Max Koller Julia Marsik Markus Olf Markus Wittberger Lösungswege Mathematik 2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

A Teiler und Vielfache natürlicher Zahlen....................... 6 TeilerundVielfache.......................... 7 Die Summen- und die Produktregel.. . . . . . . . . . 12 Teilbarkeitsregeln 14 Primzahlen und Primfaktorenzerlegung .. . . . . 20 Der ggT und das kgV mit Hilfe der Primfaktorenzerlegung.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Zusammenfassung .......................... 26 Selbstkontrolle.............................. 27 B Die ganzen Zahlen.................... 30 Darstellen und Vergleichen von ganzen Zahlen 31 Addieren und Subtrahieren zu/von einer ganzenZahl................................. 36 Zusammenfassung .......................... 40 Selbstkontrolle.............................. 41 C Grundlagen der Geometrie........... 42 DasKoordinatensystem...................... 43 Symmetrie und kongruente Figuren.. . . . . . . . . . 48 DieStreckensymmetrale.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Winkel...................................... 56 DieWinkelsymmetrale....................... 62 DIGI Geometrie mit Geogebra................ 66 Zusammenfassung .......................... 68 Selbstkontrolle.............................. 69 D Bruchrechnen.......................... 72 DarstellenvonBrüchen...................... 73 ErweiternundKürzen........................ 76 Brüche und Dezimalzahlen.. . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Vergleichen und Ordnen von Brüchen .. . . . . . . . 82 RechnenmitBruchteilen.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Brüche addieren und subtrahieren.. . . . . . . . . . . 90 Brüche multiplizieren und dividieren.. . . . . . . . . 96 Verbindung der vier Grundrechnungsarten.. . . 104 Rechnen mit Brüchen und Dezimalzahlen .. . . . 110 Zusammenfassung .......................... 112 Selbstkontrolle.............................. 113 E Dreiecke................................ 116 Eigenschaften von Dreiecken .. . . . . . . . . . . . . . . . 117 ArtenvonDreiecken......................... 120 Dreieckskonstruktionen – dieKongruenzsätze.......................... 124 Besondere Punkte des Dreiecks.. . . . . . . . . . . . . . 134 DerSatzvonThales.......................... 140 DIGI Geogebra und merkwürdige Punkte. . . . . 142 Zusammenfassung .......................... 144 Selbstkontrolle.............................. 145 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 2 Inhalt Zahlen und Maße Variable, funktionale Abhängigkeiten Geometrische Figuren und Körper Statistische Darstellungen und Kenngrößen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

F Arbeiten mit Variablen................ 148 Gleichungen................................. 149 Textgleichungen............................. 154 Formeln..................................... 158 DIGI Arbeiten mit Variablen.................. 162 Zusammenfassung .......................... 164 Selbstkontrolle.............................. 165 G Arbeiten mit Modellen................ 168 Direkte Proportionalität.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 Indirekte Proportionalität .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 Proportionalitäten erkennen und darstellen.. . 176 DIGI Proportionalitäten graphisch darstellen................................... 180 Zusammenfassung .......................... 182 Selbstkontrolle.............................. 183 H Vierecke................................ 186 Eigenschaften von Vierecken . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 RechteckundQuadrat........................ 190 Parallelogramm und Raute.. . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 DasTrapez.................................. 196 Das Deltoid (Drachenviereck). . . . . . . . . . . . . . . . . 200 Zusammenfassung .......................... 204 Selbstkontrolle.............................. 205 I Flächeninhalte ebener Figuren....... 208 Flächeninhalt des Parallelogramms 209 Flächeninhalt des Trapezes.. . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 Flächeninhalt des Deltoids.. . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 FlächeninhaltderRaute.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 Flächeninhalte von Dreiecken 218 AufgabenausdemAlltag.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 Zusammenfassung .......................... 224 Selbstkontrolle.............................. 225 J Prozentrechnung....................... 228 Grundlagen der Prozentrechnung.. . . . . . . . . . . . 229 Berechnung des Prozentwerts. . . . . . . . . . . . . . . . 232 Berechnung des Prozentsatzes . . . . . . . . . . . . . . . 238 Berechnung des Grundwerts.. . . . . . . . . . . . . . . . 242 Vermischte Aufgaben zur Prozentrechnung.. . . 246 Zusammenfassung .......................... 252 Selbstkontrolle.............................. 253 K Statistik................................ 256 Statistische Kennzahlen und Häufigkeiten.. . . . 257 Graphische Darstellungen.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 Relative Häufigkeiten in Tabellen und Baumdiagramme............................ 266 DIGI Prozentstreifen und Prozentkreis........ 270 Zusammenfassung .......................... 272 Selbstkontrolle.............................. 273 Lösungen zu Selbstkontrollaufgaben 276 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Merke 4 So arbeitest Du mit Lösungswege 2 16 Vergleichen und Ordnen von Brüchen æ Ich kann Brüche vergleichen. æ Ich kann Brüche ordnen. Um Brüche vergleichen zu können, sind zwei Varianten möglich. 1. Man macht die Brüche vorher gleichnamig („auf den gleichen Nenner bringen“). 2. Man wandelt die Brüche mit einer Division in Dezimalzahlen um und vergleicht diese. Welcher Bruch ist größer: 3 _ 5 oder 1 _ 2 ? Gleichnamig machen: gemeinsamer Nenner: 10 ¥ 3 _ 5 = 6 _ 10 ; 1 _ 2 = 5 _ 10 6 _ 10 > 5 _ 10 darum ist 3 _ 5 > 1 _ 2 Dezimalzahlen vergleichen: 3 : 5 = 0,6 1 : 2 = 0,5 0,6 > 0,5 darum ist 3 _ 5 > 1 _ 2 372 Vergleiche die Brüche mit beiden Varianten miteinander. Setze das richtige Zeichen (<, >) ein. a) 1 _ 4 2 _ 6 b) 3 _ 4 2 _ 3 c) 1 _ 6 1 _ 4 d) 1 _ 5 3 _ 20 e) 3 _ 4 7 _ 8 373 Setze <, > oder = ein. a) 3 _ 4 5 _ 6 b) 5 _ 7 10 _ 14 c) 2 _ 9 1 _ 6 d) 7 _ 10 3 _ 4 e) 6 _ 11 18 _ 33 f) 1 _ 2 49 _ 100 g) 8 _ 25 3 _ 10 h) 9 _ 20 2 _ 5 374 Welcher Bruch ist größer? Kreise ihn ein. a) 2 _ 5 oder 3 _ 10 b) 3 _ 4 oder 5 _ 8 c) 8 _ 10 oder 3 _ 5 d) 7 _ 11 oder 13 _ 22 e) 1 _ 3 oder 2 _ 5 f) 4 _ 5 oder 3 _ 4 g) 3 _ 20 oder 1 _ 10 h) 22 _ 50 oder 41 _ 100 375 Setze <, > oder = ein. a) 1 _ 3 0,5 b) 3 _ 4 0,8 c) 0,1 7 _ 100 d) 0,6 3 _ 5 e) 2 _ 5 0,25 376 Aluna stellt folgende Behauptung auf. i) Schreibe ihr eine Nachricht, in der du ihr erklärst, warum ihre Behauptung falsch ist. ii) Erkläre ihr dabei den richtigen Rechenweg. Merke Ó Erklärvideo s993eu Muster O O O O O, DI, V 5 _ 11 muss größer sein als 2 _ 3 . Denn im Zähler ist 5 größer als 2 und im Nenner ist auch 11 größer als 3. Darum ist 5 _ 11 größer als 2 _ 3 ! Marie und Klara spielen sehr gerne Volleyball. Nach einem Match sagt Marie: „Ich habe einen dreiviertel Liter getrunken“ Darauf Klara: „Ich habe viel mehr getrunken, nämlich zwei drittel Liter“. Hat Klara recht? < … „ist kleiner als“ > … „ist größer als“ = … „ist gleich“  Sprachliche Bildung 82 Die Lernziele eines Kapitels stehen direkt unter der Überschrift. Jedes Kapitel beginnt mit einer Aufgabe, die zeigt, wie die Inhalte des Kapitels mit Bereichen des täglichen Lebens in Zusammenhang stehen. Eine WortspeicherBox gibt Auskunft darüber, warum manche Worte in der Mathematik genutzt werden, oder erklärt schwierige Begriffe. 326 327 328 323 326 327 328 323 Die Kästchen neben den Aufgabennummern geben an, wie schwer die Aufgabe ist. Ein Kästchen bedeutet leicht, zwei Kästchen bedeuten mittel und drei Kästchen bedeuten schwer. Der Code bei diesem Symbol führt zu zusätzlichen Materialien im Lehrwek Online. Ó Eine grün markierte Aufgabennummer bedeutet, dass die Aufgabe dabei hilft, die Sprache der Mathematik zu erlernen. Im Merke-Kasten, befindet sich die wichtigste Theorie, mit der die folgenden Aufgaben gut zu lösen sind. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Muster ] 5 Die History-Box gibt Einblicke in die Geschichte der Mathematik. 377 Klaus und Leon mögen gerne Gemüsequiche. Wer von den beiden hat mehr gegessen? Antworte mit einer Rechnung. Klaus: Ich habe meine Quiche in 10 gleich große Stücke geteilt und 7 davon gegessen. Leon: Ich habe meine Quiche in 8 gleich große Stücke geteilt und 6 davon gegessen. 378 Welcher Bruch ist größer? Versuche es herauszufinden ohne umzuwandeln. a) 4 _ 9 3 _ 5 b) 7 _ 8 8 _ 7 c) 1 _ 2 2 _ 3 d) 5 _ 8 6 _ 13 e) 8 _ 15 2 _ 5 f) 11 _ 10 19 _ 20 Ordne die Brüche der Größe nach. Erstelle dafür eine Ungleichungskette. 3 _ 4 ; 1 _ 2 ; 5 _ 8 Möglichkeit 1: gleichnamig machen Möglichkeit 2: in Dezimalzahlen umwandeln 1. Brüche gleichnamig machen: 6 _ 8 ; 4 _ 8 ; 5 _ 8 1. Brüche in Dezimalzahlen verwandeln: 0,75; 0,5; 0,625 2. Brüche ordnen: 4 _ 8 < 5 _ 8 < 6 _ 8 2. Dezimalzahlen ordnen: 0,5 < 0,625 < 0,75 Ungleichungskette mit den gegebenen Brüchen erstellen ¥ 1 _ 2 < 5 _ 8 < 3 _ 4 379 Erstelle eine i) steigende ii) fallende Ungleichungskette für folgende Brüche. a) 1 _ 4 ; 1 _ 2 ; 1 _ 8 ; 3 _ 8 b) 3 _ 4 ; 5 _ 6 ; 2 _ 3 ; 7 _ 12 c) 2 _ 3 ; 1 _ 3 ; 2 _ 5 ; 7 _ 15 d) 3 _ 4 ; 4 _ 5 ; 9 _ 10 ; 17 _ 20 380 Ordne folgende Brüche der Größe nach. Stelle sie in einem geeigneten Zahlenstrahl dar. a) 3 _ 4 ; 1 _ 2 ; 3 _ 8 ; 1 _ 4 b) 1 _ 2 ; 5 _ 6 ; 2 _ 3 ; 5 _ 12 c) 3 _ 10 ; 1 _ 2 ; 2 _ 5 ; 6 _ 10 381 Erstelle eine steigende Ungleichungskette. a) 2 _ 5 ; 1 _ 2 ; 1 _ 4 ; 1 _ 3 b) 5 _ 7 ; 7 _ 9 ; 4 _ 5 ; 7 _ 10 c) 4 _ 15 ; 1 _ 3 ; 7 _ 20 ; 3 _ 10 d) 9 _ 8 ; 7 _ 6 ; 13 _ 11 ; 19 _ 16 382 Erstelle für folgende Werte eine steigende Ungleichungskette. a) 5 _ 4 ; 1 1 _ 3 ; 1,2; 1,15 b) 2 1 _ 5 ; 2,15; 10 _ 4 ; 10 _ 3 ; 21 _ 10 c) 7 2 _ 3 ; 36 _ 5 ; 7 2 _ 5 ; 7,25; 7,52; 726 _ 10 383 Simon soll folgende Werte in aufsteigender Reihenfolge anordnen: 3 _ 5 ; 3 _ 4 ; 0,7; 0,8 i) Welchen dieser Lösungswege kannst du Simon empfehlen? Wandle alle Zahlen in Brüche um und ordne sie nach dem Nenner. Bringe alle Zahlen in Dezimaldarstellung und ordne sie danach. ii) Löse Simons Aufgabe. 384 Drei Freundinnen wissen, dass es gesünder ist, Wasser zu trinken als gesüßte Getränke wie z.B. Eistee. Sie haben auch in einer Statistik gelesen, dass 87% der Menschen in Österreich versuchen, täglich mindestens 1,5 l Wasser oder ungesüßten Tee zutrinken. (statista, Umfrage 1394594,2023) Susi hat 0,5 l Wasser getrunken. Hanna hat 7 _ 10 l getrunken und Tina hat noch etwas Wasser in ihrer Halb-Liter Flasche. Erstelle eine Reihenfolge mit der Menge an getrunkenem Wasser. Gecheckt? æ Ich kann Brüche vergleichen und ordnen. 385 Setze < oder > ein. a) 1 _ 4 2 _ 6 b) 3 _ 4 2 _ 3 c) 1 _ 6 1 _ 4 386 Erstelle aus den gegebenen Brüchen eine fallende Ungleichungskette. 2 _ 5 ; 3 _ 10 ; 3 _ 4 ; 7 _ 8 O O Muster ÓArbeitsblatt qd22x9 O O O O M, O O O ÓArbeitsblatt t9p7gf O Tipp: Ist der Bruch größer oder kleiner als 1 bzw. als 1 _ 2 ? Tipp: Wähle als Schrittweite den Bruch mit dem größten Nenner.  Gesundheitsförderung 83 D Bruchrechnen Ein Muster-Beispiel zeigt einen möglichen Rechenweg vor, der zum Lösen der folgenden Aufgaben genutzt werden kann. Eine Check-it-Box gibt nützliche Tipps, um die Aufgabe zu lösen. Dieses Würfel- Symbol zeigt, dass die Aufgabe ein Rätsel ist. Der Gecheckt?-Bereich ist der Abschluss eines Kapitels. Hier kann man überprüfen, ob die Inhalte des Kapitels verstanden wurde. Sternchen verweisen auf die übergreifende Kompetenz der Aufgabe. Der Code führt zu einer Seite, in der das dem Lehrplan zugrunde liegende Kompezenzmodell erklärt wird. Ózj775m Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

A Teiler und Vielfache natürlicher Zahlen In der zweiten Klasse wirst du dich mit Teilern und Vielfachen beschäftigen. Dabei wurde z.B. folgende Frage behandelt: Wie viele gleich hohe Türme kann man mit 24 Bausteinen bauen? Um herauszufinden, ob bei einer Division Rest bleibt, muss man manchmal ganz schön viel rechnen. Weiters wirst du Tricks lernen, wie du relativ schnell herausfinden kannst, ob die Zahlen im Kasten rechts durch 2, 3, 4 oder 9 teilbar sind. Du wirst nach kurzer Denkpause sagen: Ja, die Zahl 123 456789 ist durch 3 teilbar oder 111 111 111 ist durch 9 teilbar! :-) Diese Tricks kannst du auch bei den Seriennummern der 10-Euro-Scheine anwenden, da diese durch 9 teilbar sein müssen. Du kannst das bei dem abgebildeten Schein überprüfen, wenn du für N 78 und für A 65 einsetzt. In diesem Abschnitt wirst du dich auch mit Primzahlen beschäftigen und herausfinden, was zusammengesetzte Zahlen sind. Primzahlen werden verwendet, um Nachrichten zu verschlüsseln. Wenn man von einem Konto auf ein anderes Konto Geld überweist, helfen diese besonderen Zahlen, dass das Geld nicht einfach auf ein anderes Konto umgeleitet werden kann. Um diese Vorgänge allerdings zu verstehen, ist viel mathematisches Wissen notwendig. Übrigens: Es finden sogar Wettbewerbe statt. Dabei geht es darum, dass man die nächste noch unbekannte Primzahl finden soll. Die größte bisher bekannte Primzahl hat über 24 Millionen Stellen. Reden wir darüber… Was versteht man unter Teilern? Betrachte die Zahlen im oberen rechten Kasten. Kannst du herausfinden, welche Zahlen durch 2 bzw. 10 teilbar sind? Kannst du hier eine Regel formulieren? Wofür könnten Teilbarkeitsregeln hilfreich sein? Hast du schon einmal von Primzahlen gehört? Welche Eigenschaften könnten diese Zahlen besitzen? ÓLesetext rf644h 6 123 456 789 111 111 111 454 454 87 123 450 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

1 Teiler und Vielfache ææ Ich kann Teiler und Vielfache erklären und angeben ææ Ich kann teilerfremde Zahlen erklären und erkennen ææ Ich kann gemeinsame Teiler und Vielfache von mehreren Zahlen bestimmen ææ Ich kann Textaufgaben mit Teilern und Vielfachen lösen Teiler In der Abbildung siehst du 8 Jugendliche. Ist es möglich hier Vierer- bzw. Fünfergruppen zu bilden? Um dies zu beschreiben, verwendet man in der Mathematik den Begriff Teiler: Da man 8 durch 4 ohne Rest dividieren kann, sind gleich große Vierergruppen möglich. Man schreibt: 4 | 8 (4 teilt 8 oder 8 ist durch 4 teilbar.) Da man 8 nicht durch 5 ohne Rest teilen kann, sind Fünfergruppen nicht möglich (es würden 3 Jugendliche überbleiben). Man schreibt: 5 ~ 8 (5 teilt 8 nicht oder 8 ist nicht durch 5 teilbar.) Teiler Kann man eine natürliche Zahl n durch eine natürliche Zahl t ohne Rest dividieren, dann nennt man t Teiler von n und schreibt: t | n (t teilt n oder n ist durch t teilbar.) Ist t kein Teiler von n, dann schreibt man: t ~ n (t teilt n nicht oder n ist nicht durch t teilbar.) 1 Gib an, ob du die Jugendlichen in gleich große i) Dreiergruppen ii) Vierergruppen iii) Fünfergruppen iv) Sechsergruppen aufteilen kannst. Verwende dazu auch das Zeichen | oder ~. a) b) c) 2 Setze das Zeichen | oder ~. a) 2 4 b) 3 12 c) 4 9 d) 7 21 e) 8 60 f) 10 35 g) 2 25 h) 3 14 i) 4 8 j) 7 25 k) 8 80 l) 10 90 m) 2 100 n) 3 1 o) 4 2 p) 7 3 q) 8 8 r) 10 57 3 Gib an, ob die Zahlen in der Spalte die Zahl teilen. Setze das Zeichen | oder ~. a) 84 b) 540 c) 510 d) 4 320 e) 4 800 f) 7 650 g) 7 992 4 8 15 36 ÓArbeitsblatt 533w28 Merke DI O O In eine Schulklasse gehen 14 Mädchen und 9 Buben. Die Mädchen und die Buben sollten sich in Gruppen (mit mindestens 2 Jugendlichen) aufteilen. Ist es möglich, dass gleich große Gruppen entstehen? Verwende zur Hilfe eine Division 7 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

4 Nimm jeweils eine Zahl aus der linken Box und eine Zahl aus der rechten Box und setze das Zeichen | oder ~. Insgesamt sind 25 Aussagen möglich. 12 18 6 24 2 12 18 6 24 2 5 Gib an, ob die Aussagen richtig oder falsch sind. a) b) c) Aussage richtig falsch Aussage richtig falsch Aussage richtig falsch 8 ist ein Teiler von 4 6 ist teilbar durch 3 3 | 115 12 teilt 6 24 | 12 4 ~ 620 4 | 1 1 ~ 4 9 ~ 1 008 6 Gib an, ob die vier Jugendlichen Recht haben und begründe deine Entscheidung. Teilermengen Alle Teiler einer natürlichen Zahl werden in der Teilermenge zusammengefasst. z.B. T12 = {1; 2; 3; 4; 6; 12} Jede Zahl ist durch 1 und sich selbst teilbar. Diese Teiler werden unechte Teiler genannt. Alle anderen Teiler nennt man echte Teiler. Bestimme die Teilermenge von 16. Findet man einen Teiler einer Zahl, hat man meist auch einen zweiten Teiler gefunden. Teiler treten meist paarweise (bzw. wie die Zahl 4, mit sich selbst) auf. Es hilft folgende Überlegung: 1 ∙ 16 2 ∙ 8 4 ∙ 4 w Nun kann man die Teiler in der Teilermenge zusammenfassen: T16 = {1; 2; 4; 8; 16} 7 Ergänze die fehlenden Teiler in der Teilermenge. a) T15 = {1; 3; ; } b) T24 = {1; ; 3; 4; 6; ; 12; 24} c) T28 = {1; 2; ; 7; ; 28} 8 Bestimme die Teilermenge der gegebenen Zahl. Wie lauten die unechten Teiler der Zahl? a) 4 b) 8 c) 14 d) 18 e) 32 f) 36 g) 38 h) 42 i) 50 j) 60 k) 100 9 Ein Kartenspiel besitzt die angegebene Anzahl an Karten. Wie viele Personen können mitspielen, wenn alle Karten gleichmäßig aufgeteilt werden, mindestens zwei Personen dabei sein sollten, und jede Person mindestens zwei Karten bekommen sollte? a) 15 b) 20 c) 30 d) 40 e) 52 10 ] Löse das Zahlenrätsel. a) Gib fünf Zahlen an, die nur unechte Teiler besitzen. b) Gib drei Zahlen an, die genau einen echten Teiler besitzen. c) Gib drei Zahlen, die mehr als drei echte Teiler besitzen. DI DI DI, V Jede natürliche Zahl besitzt mindestens zwei verschiedene Teiler Ich kann 1 durch jede natürliche Zahl teilen Wenn a eine Zahl b teilt, dann gilt unter bestimmten Umständen, dass b auch ein Teiler von a ist Teilt a eine Zahl b, dann teilt b auch a Aluna Max Maria Celina Merke Ó Erklärvideo 5vm7kw Muster Die Teilermenge erhälst du in Geogebra mit „Teilerliste (Zahl)“ O O M, O M, O 8 1 Teiler und Vielfache Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

11 Eine Zahl heißt vollkommene Zahl, wenn sie die Summe aller ihrer Teiler (außer der Zahl selbst) ist. Überprüfe, dass die gegebene Zahl eine vollkommene Zahl ist. a) 6 b) 28 c) 496 Gemeinsame Teiler In einer Schulklasse gibt es 12 Burschen und 16 Mädchen. Die Lehrerin möchte die Klasse in gleich große Gruppen aufteilen, aber dabei nur reine Burschen- bzw. Mädchengruppen zulassen. Um mögliche Gruppengrößen zu erhalten, überlegt sie sich die Teilermenge von 12 und die Teilermenge von 16: T12 = {1; 2; 3; 4; 6; 12} T16 = {1; 2; 4; 8; 16} Für die gemeinsamen Teiler von 12 und 16 schreibt man: gT12, 16 = {1; 2; 4} Für den größten gemeinsamen Teiler schreibt man: ggT12, 16 = 4 Es sind daher Gruppen mit 1, 2 bzw. 4 Jugendlichen möglich. Die maximale Gruppengröße wären 4 Personen. ggT und teilerfremde Zahlen Der größte gemeinsame Teiler von mehreren Zahlen wird mit ggT abgekürzt. Er ist die größte Zahl, die in der gemeinsamen Teilermenge der Zahlen vorkommt. Ist der größte gemeinsame Teiler mehrerer Zahlen 1, dann nennt man diese teilerfremd. 12 Bestimme alle gemeinsamen Teiler und den größten gemeinsamen Teiler der gegebenen Zahlen. a) 12; 15 b) 8; 10 c) 18; 24 d) 30; 40 e) 15; 20 f) 48; 52 g) 11; 18 h) 25; 55 i) 12; 24 j) 65; 70 k) 40; 60 l) 27; 81 13 Bestimme alle gemeinsamen Teiler und den größten gemeinsamen Teiler der gegebenen Zahlen. a) 6; 12; 24 b) 30; 40; 50 c) 10; 20; 30 d) 9; 18; 21 e) 30; 45; 60 14 Gib an, ob die gegebenen Zahlen teilerfremd sind und begründe deine Entscheidung. a) 4; 9 b) 7; 16 c) 21; 28 d) 16; 20 e) 11; 19 f) 20; 24 15 Bestimme den gesuchten ggT im Kopf. a) ggT4, 8 = b) ggT14, 21 = c) ggT20, 30 = d) ggT33, 55 = 16 In eine Schulklasse gehen die angegebene Anzahl an Burschen und Mädchen. Der Lehrer möchte gleich große Gruppen bilden. In einer Gruppe sollen nur Burschen bzw. nur Mädchen sein. i) Welche Gruppengrößen sind möglich? Wie viele Burschen- bzw. Mädchengruppen gibt es dann? ii) Was ist die größte Anzahl an Jugendlichen pro Gruppe? a) 8 Burschen 12 Mädchen b) 18 Burschen 12 Mädchen c) 8 Burschen 16 Mädchen 17 Der Quader hat die gegebenen Seitenmaße und soll in gleich große Würfel unterteilt werden, wobei nichts übrig bleiben darf. Die Seitenlänge des Würfels sollte in ganzen Zentimetern sein. Welche maximale Kantenlänge für den Würfel ist möglich und wie viele Würfel passen in den Quader hinein? a) a = 12 cm, b = 18 cm, c = 24 cm b) a = 18 cm, b = 24 cm, c = 36 cm c) a=20cm,b=30cm,c=40cm O, DI Merke O O O, V O M, O O b a c Man weiß bis heute nicht, ob es unendlich viele vollkommene Zahlen gibt  Sprachliche Bildung 9 A Teiler und Vielfache natürlicher Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

18 Maria hat im Werkunterricht drei Holzstäbe zur Verfügung. Die Holzstäbe sind 84 cm, 21 cm und 56 cm lang. Maria möchte die Holzstäbe in möglichst lange gleich große Stücke unterteilen. Dabei soll nichts übrig bleiben. Wie lang sollten die Stäbe sein und wie viele Stück erhält sie dadurch? 19 Nach dem griechischen Mathematiker Euklid ist der euklidische Algorithmus benannt. Mit seiner Hilfe kann man den ggT zweier Zahlen auf eine andere Weise berechnen. Recherchiere im Internet, wie dieser Vorgang funktioniert und probiere ihn an den beiden Zahlen 1 024 und 78 aus. Vielfache und Vielfachenmengen Multipliziert man eine Zahl mit 1; 2; 3; …, dann erhält man Vielfache dieser Zahl. Diese kann man in einer Vielfachenmenge so anschreiben: z. B. V4 = {4; 8; 12; 16; 20; …} Beachte, dass jede Zahl (außer 0) unendlich viele Vielfache besitzt. 20 Trage die ersten zehn Vielfachen jeder Zahl in die Tabelle ein. 1 7 8 11 21 Bestimme die Vielfachenmenge mit den ersten fünf Vielfachen der gegebenen Zahl. a) 2 b) 4 c) 6 d) 9 e) 10 f) 13 g) 14 h) 17 i) 20 j) 30 k) 1 000 22 ] Ergänze die fehlenden Zahlen. a) V = { , , 21, , 35, , , 56 …} b) V = { , , , 48, , 72, , 96 …} 23 Gib an, ob die Aussagen richtig oder falsch sind. Aussage richtig falsch 20 ist ein Vielfaches von 20 5 ist ein Teiler von 20, da 20 ein Vielfaches von 5 ist Ist a ein Teiler von b, dann ist b ein Vielfaches von a Jede Zahl hat 1 als kleinstes Vielfaches 4 ist ein Teiler von 16 16 ist ein Vielfaches von 4 24 Maria behauptet: „Es gibt eine Zahl, die unendlich viele Teiler besitzt und nicht unendlich viele verschiedene Vielfache.“ Stimmt ihre Behauptung? Begründe deine Entscheidung. Gemeinsame Vielfache und das kleinste gemeinsame Vielfache Das kleinste gemeinsame Vielfache von mehreren Zahlen wird mit kgV abgekürzt. Es ist die kleinste Zahl, die in der gemeinsamen Vielfachenmenge (gV) der Zahlen vorkommt. Bestimme gemeinsame Vielfache sowie das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen 12 und 18. Es werden zuerst beide Vielfachenmengen aufgestellt: V12 = {12; 24; 36; 48; 60; 72; …} V18 = {18; 36; 54; 72; 90; …} Dann werden die gemeinsamen Vielfachen (gV) und anschließend das kgV bestimmt: gV12, 18 = {36; 72; 108; …} w kgV12, 18 = 36 M, O O, V Ó Arbeitsblatt zk2k85 Merke O O O, DI DI V Merke Muster  Informatische Bildung Sprachliche Bildung 10 1 Teiler und Vielfache Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

25 Bestimme gemeinsame Vielfache sowie das kleinste gemeinsame Vielfache der gegebenen Zahlen. a) 6; 8 b) 5; 15 c) 16; 20 d) 18; 30 e) 20; 60 f) 56; 16 g) 60; 80 26 Bestimme gemeinsame Vielfache sowie das kleinste gemeinsame Vielfache der gegebenen Zahlen. a) 6; 9; 12 b) 8; 12; 16 c) 5; 15; 20 d) 20; 24; 30 e) 24; 36; 72 f) 200; 300; 400 27 Bestimme das kgV der gegebenen Zahlen im Kopf. a) kgV4, 6 = b) kgV8, 10 = c) kgV15, 20 = 28 Die drei Mädchen haben sich einige Gedanken über den ggT und das kgV gemacht. Kontrolliere anhand der gegebenen Zahlen, ob ihre Aussagen stimmen könnten. Eine Aussage ist falsch. Welche? Erkläre dem Mädchen, was an ihrer Aussage falsch ist. Das Produkt zweier Zahlen ist immer das kleinste gemeinsame Vielfache der beiden Zahlen Das Produkt zweier Zahlen ist immer ein gemeinsames Vielfaches der beiden Zahlen Sind zwei Zahlen teilerfremd, dann ist das Produkt der beiden Zahlen auch das kgV Aluna Maria Susi i) 4; 7 ii) 12; 13 iii) 6; 8 iv) 4; 8 29 Bei einer Bushaltestelle fährt ab 6:00 regelmäßig alle acht Minuten der Autobus der Linie A, alle zehn Minuten der Autobus der Linie B und alle zwölf Minuten der Autobus der Linie C. i) Die Autobusse der Linien A und B fahren gleichzeitig ab. Nach wie vielen Minuten fahren sie wieder gleichzeitig von der Bushaltestelle ab? ii) Um wie viel Uhr fahren wieder alle drei Autobusse von der Bushaltestelle ab, wenn sie um 6:00 Uhr losgefahren sind? 30 Auf einer Modellrennbahn braucht das rote Auto 12 Sekunden, das blaue Auto 15 Sekunden und das grüne Auto 20 Sekunden für eine Runde. Alle Autos fahren zur gleichen Zeit los. i) Nach wie vielen Minuten kommen die drei Autos das erste Mal gemeinsam über die Ziellinie? ii) Wie viele Runden ist dabei jedes der drei Autos gefahren? iii) Wann kommen sie das zweite bzw. dritte Mal wieder gemeinsam über die Ziellinie? Gecheckt? ææ Ich kann Teiler und Vielfache erklären und angeben 31 Bestimme die Teilermenge und die Vielfachenmenge der Zahl 18. ææ Ich kann gemeinsame Teiler und Vielfache von mehreren Zahlen bestimmen 32 Bestimme das kgV bzw. den ggT. a) kgV20, 32 = b) ggT20, 32 = ææ Ich kann teilerfremde Zahlen erklären und erkennen 33 Erkläre, was man unter teilerfremden Zahlen versteht, und gib drei Beispiele dafür an. ææ Ich kann Textaufgaben mit Teilern und Vielfachen lösen 34 Vor einem Rathaus fahren zwei Straßenbahnen der Linien 1 und 2 gleichzeitig um 7:00 Uhr ab. Die Straßenbahnlinie 1 fährt alle acht Minuten, die Straßenbahnlinie 2 alle 10 Minuten. Um wie viel Uhr fahren die beiden Straßenbahnen wieder gleichzeitig vor dem Rathaus ab? O O O O M, O O O V ÓArbeitsblatt r2k2y3 M, O Überlege die Vielfachen der größeren Zahl  Sprachliche Bildung 11 A Teiler und Vielfache natürlicher Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

ææ Ich kann die Summenregel erklären und anwenden ææ Ich kann die Produktregel erklären und anwenden Die Summenregel Ist t ein Teiler von a und ein Teiler von b, dann ist t auch ein Teiler der Summe von a und b. kurz: t | a und t | b w t | (a + b) Beispiel: 5 | 10 und 5 | 15 w 5 | (10 + 15) 35 Setze | oder ~. a) 2 200 und 2 28 w 2 228 b) 2 500 und 2 23 w 2 523 c) 4 100 und 4 24 w 4 124 d) 4 300 und 4 21 w 4 321 e) 5 52 und 5 300 w 5 352 f) 5 500 und 5 40 w 5 540 36 Begründe mit Hilfe der Summenregel, dass die Behauptung stimmt. Zerlege dafür die Zahl passend. a) 2 | 202 b) 2 | 304 c) 2 | 508 d) 3 | 312 e) 3 | 636 f) 3 | 3 003 g) 4 | 104 h) 13 | 143 37 Verwende die angegebene Regel, um zu zeigen, dass die Aussage richtig ist: t | a und t ~ bw t ~ (a + b) a) 2 ~ 205 b) 2 ~ 309 c) 2 ~ 501 d) 3 ~ 304 e) 3 ~ 305 f) 3 ~ 3007 g) 4 ~ 101 h) 4 ~ 403 i) 4 ~ 407 j) 15 ~ 151 k) 13 ~ 133 l) 20 ~ 208 38 Susi hat in einer Packung 21 Zuckerln und in der anderen Packung 35 Zuckerln. Kann sie die Zuckerln so auf ihre sieben Freundinnen aufteilen, dass alle gleich viele Zuckerln bekommen? Begründe deine Entscheidung. 39 Zwei Klassen fahren gemeinsam auf Projekttage. In die 2A gehen 26 Jugendliche, in die 2B 22 Jugendliche. i) Kann die Lehrerin in der 2A bzw. in der 2B Vierergruppen bilden? ii) Kann die Lehrerin Vierergruppen bilden, wenn sie die Kinder der beiden Klassen zusammenzählt? Begründe deine Entscheidung. 40 Beim Handballtraining sind 28 Kinder anwesend. Der Trainer bildet für eine Übung Gruppen mit je sieben Kindern. Marko, Alex, Boris und John kommen zu spät. Alle Gruppen sollen gleich groß sein. Kann der Trainer die vier Jugendlichen auf die Gruppen aufteilen, ohne eine komplett neue Gruppeneinteilung zu machen? Wie wäre es gewesen, wenn er Gruppen mit vier Kindern gebildet hätte? Merke Ó Arbeitsblatt 9zg958 O V O, DI M, O, V M, O, V M, O, V 2 Die Summen- und die Produktregel Beim Fußballtraining sind 21 Kinder anwesend. Der Trainer bildet für eine Übung drei gleich große Gruppen. Markus, Fabian und Lukas kommen zu spät. Kann der Trainer die 3 Jugendlichen auf die Gruppen aufteilen, ohne eine komplett neue Gruppeneinteilung zu machen? Beachte, dass auch folgende Eigenschaft gilt: t | a und t ~ b w t ~ (a + b)  Sprachliche Bildung 12 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

41 ] Max meint, dass folgende Behauptung falsch ist: t ~ a und t ~ b w t ~ (a + b) a) Formuliere die falsche Behauptung in eigenen Worten. Verwende dabei die Begriffe teilbar, Teiler und Summe. b) Zeige anhand von drei verschiedenen Beispielen, dass die Behauptung wirklich nicht stimmt. Die Produktregel Ist t ein Teiler von a, dann teilt t auch jedes Vielfache von a. kurz: t | a w t | c ∙ a Beispiel: 5 | 20 w 5 | (7 ∙ 20) 42 Setze | oder ~ und begründe deine Entscheidung. a) 2 (20 ∙ 5) b) 2 (3 ∙ 8) c) 3 (27 ∙ 3) d) 4 (11 ∙ 8) e) 5 (10 ∙ 6) f) 6 (3 ∙ 18) g) 7 (21 ∙ 5) h) 8 (16 ∙ 5) i) 20 (40 ∙ 8) j) 21 (84 ∙ 2) k) 6 (12 ∙ 5) l) 9 (27 ∙ 4) 43 Erkläre mit Hilfe der Summen bzw. Produktregel, warum die Aussage stimmt. a) 3 | 711, weil 3 | (2 ∙ 300 + 3 ∙ 30 + 21) b) 4 | 828, weil 4 | (8 ∙100 + 28) c) 9 | 9108, weil 9 | (9∙1000 + 90 + 18) d) 4 | 3 548, weil 4 | (3 ∙ 1 000 + 5 ∙ 100 + 48) 44 Entscheide mit Hilfe der Summen- oder Produktregel, ob die Aussagen richtig oder falsch sind. a) b) Aussage richtig falsch Aussage richtig falsch 11 | 121 3 ~ 306 8 ~ 248 4 | 1024 15 | 165 5 ~ 704 13 | 143 16 ~ 160 12 | 132 3 | 96 45 Gib an, ob die Aussagen richtig oder falsch sind. Aussage richtig falsch 4 teilt 16 und 4 teilt 20, daher teilt 4 auch die Summe von 16 und 20 3 teilt 90, daher teilt 90 auch jedes Vielfache von 3 7 teilt 15 nicht und 7 teilt 6 nicht, daher teilt 7 auch die Summe von 15 und 6 nicht 6 teilt 18 und 6 teilt 29 nicht, daher teilt 6 auch das Produkt von 18 und 29 nicht 46 ] Max meint, dass folgende Behauptung falsch ist: t ~ a und t ~ b w t ~ (a ∙ b) a) Formuliere die Behauptung in eigenen Worten. b) Zeige anhand von verschiedenen Beispielen, dass die Behauptung wirklich nicht richtig ist. Gecheckt? ææ Ich kann die Summenregel erklären und anwenden ææ Ich kann die Produktregel erklären und anwenden 47 Erkläre die Summenregel und die Produktregel in eigenen Worten. 48 Setze | oder ~ und begründe deine Entscheidung. a) 3 300 und 3 27 w 3 327 b) 4 600 und 4 25 w 4 625 c) 5 400 und 5 55 w 5 455 d) 8 80 w 8 (80 ∙ 5) V Merke Ó Erklärvideo b9d4rn O O DI DI V V O, V Ó Arbeitsblatt aq9gj6  Sprachliche Bildung 13 A Teiler und Vielfache natürlicher Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

3 Teilbarkeitsregeln ææ Ich kann Teilbarkeitsregeln anwenden Teilbarkeitsregeln für 2, 5 und 10 49 Markiere in der Tabelle alle Zahlen, die durch 2 teilbar sind, rot, die durch 5 teilbar sind, blau und die durch 10 teilbar sind, grün. Was fällt dir auf? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 Teilbarkeitsregeln für 2, 5 und 10 Eine Zahl ist genau dann durch 2 teilbar, wenn ihre Einerstelle 0, 2, 4, 6 oder 8 ist. Eine Zahl ist genau dann durch 5 teilbar, wenn ihre Einerstelle 0 oder 5 ist. Eine Zahl ist genau dann durch 10 teilbar, wenn ihre Einerstelle 0 ist. Gib an, ob die Zahl 2 340 durch 2, 5 bzw. 10 teilbar ist. Da die Einerstelle der Zahl eine 0 ist, ist die Zahl durch 2, 5 und 10 teilbar. 50 ] Kreuze richtig (r) oder falsch (f) an und gib das Lösungswort an. a) b) c) r f r f r f 2 | 2 102 H V 5 | 12 100 E L 10 | 17 102 L Z 2 | 5 815 O A 5 | 14 305 N I 10 | 15 815 Ö E 2 | 12 313 L S 5 | 4 907 E T 10 | 15 810 H W 2 | 8 000 E T 5 | 5 812 B E 10 | 7 403 E N Lösungswort: Lösungswort: Lösungswort: 51 Ergänze die fehlende Ziffer so, dass die Aussage stimmt. Schreibe alle möglichen Zahlen auf. a) 2 | 8 00 b) 5 | 7 96 c) 10 | 123 45 d) 2 | 8 0 4 e) 5 | 98 76 f) 10 | 7 6 0 52 ] a) Gib alle Zahlen von 70 bis 100 an, die durch 2, 5 und 10 teilbar sind. b) Gibt es Zahlen, die durch 5, aber nicht durch 10 teilbar sind? Begründe deine Entscheidung. c) Gibt es Zahlen, die durch 2 und 5, aber nicht durch 10 teilbar sind? Begründe deine Entscheidung. ÓArbeitsblatt 2dd74q DI Merke Ó Erklärvideo md8f95 Muster DI O O, V Sieh dir die Aussagen der beiden Jugendlichen an. Haben sie Recht? Wie kommst du zu deiner Meinung? Ich habe 3 Geschwister Ich könnte deine Äpfel auch auf mich und meine Geschwister gleichmäßig aufteilen Ich habe in unserem Garten insgesamt 168 Äpfel aufgesammelt Diese kann ich auf mich und meine beiden Geschwister gleichmäßig aufteilen  Sprachliche Bildung 14 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

53 ] Vertausche die Ziffern so, dass du die i) kleinstmögliche ii) größtmögliche durch 2 teilbare Zahl erhältst. a) 658 b) 2 981 c) 3 412 d) 54 373 e) 15 864 Teilbarkeitsregeln für 3 und 9 Um die Teilbarkeitsregeln für 3 und 9 zu erhalten, ist ein neuer Begriff notwendig. Ziffernsumme einer Zahl Um die Ziffernsumme einer Zahl zu erhalten, addiert man alle Ziffern der gegebenen Zahl. z.B. 7 912 w Ziffernsumme = 7 + 9 + 1 + 2 = 19 54 Bilde die Ziffernsumme der gegebenen Zahl. a) 438 b) 2 399 c) 27 809 d) 32 999 e) 3 200 000 008 f) 111 111 111 111 55 Bilde die Ziffernsumme der gegebenen Zahlen und überprüfe dann, ob die Ziffernsummen durch 3 bzw. durch 9 teilbar sind. Gib auch an, ob die Zahlen durch 3 bzw. durch 9 teilbar sind. Was fällt dir auf? Die erste Zeile ist bereits ausgefüllt. Zahl Ziffernsumme 3 | Ziffernsumme 3 | Zahl 9 | Ziffernsumme 9 | Zahl 18 9 ja ja ja ja 12 81 1209 2 400 9 002 Teilbarkeitsregeln für 3 und 9 Eine Zahl ist genau dann durch 3 teilbar, wenn ihre Ziffernsumme durch 3 teilbar ist. Eine Zahl ist genau dann durch 9 teilbar, wenn ihre Ziffernsumme durch 9 teilbar ist. Gib an, ob die Zahl 3 456 003 durch 3 bzw. 9 teilbar ist. 1. Es wird die Ziffernsumme der Zahl berechnet: 3 + 4 + 5 + 6 + 0 + 0 + 3 = 21 2. Da 21 durch 3 teilbar ist, ist die Zahl durch 3 teilbar. w 3 | 3 456 003 Da 21 nicht durch 9 teilbar ist, ist die Zahl nicht durch 9 teilbar. w 9 ~ 3 456 003 56 Setze | oder ~ und begründe deine Entscheidung. a) 3 111, weil b) 3 4 703, weil c) 3 12 918, weil d) 9 702, weil e) 9 112 112 100, weil 57 Setze | oder ~. 954 1 803 9 807 12 506 987 499 5 489 222 986 525 424 3 9 O, DI Merke O O, DI Merke Muster O, V O 15 A Teiler und Vielfache natürlicher Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

58 Vervollständige den folgenden Satz, sodass er richtig ist. Eine Zahl ist durch  teilbar, wenn  .   2 æ ihre letzte Ziffer 0, 3, 6 oder 9 ist æ 3 æ ihre Ziffernsumme durch 3 teilbar ist æ 9 æ ihre Ziffernsumme durch 2 teilbar ist æ 59 Markiere alle Zahlen, die durch 3, aber nicht durch 9 teilbar sind. 5 408 5 670 12 300 40 533 999 999 999 996 13 452 60 Setze die fehlende Ziffer so ein, dass die Zahl durch 9 teilbar ist. a) 479 8 5 b) 478 351 c) 400 00 d) 3 516 7 4 e) 9 6 111 785 61 Setze die Ziffer so ein, dass du die größtmögliche durch 3 teilbare Zahl erhältst. a) 345 480 b) 1 234 5 9 800 c) 412 39 d) 9 875 55 e) 9 6 111 345 62 Kreuze jene Zahlen an, die durch 2, 3 und 9 teilbar sind. a) æ 122 301 æ 111 456 æ 486 æ 22 314 æ 586 100 241 æ 401 202 b) æ 23 888 æ 111 111 æ 702 æ 24 306 æ 3 921 804 æ 999 999 63 ] Löse das Rätsel. a) Finde die größtmögliche vierstellige Zahl, die durch 9 teilbar ist. b) Finde die größtmögliche dreistellige Zahl, die durch 3, aber nicht durch 9 teilbar ist. c) Gib die größtmögliche dreistellige Zahl an, die durch 2, 3, 5 und 10, aber nicht durch 9 teilbar ist. d) Gib die kleinste vierstellige Zahl an, die durch 2, 3, 5, 9 und 10 teilbar ist. 64 Kreuze an, ob die Aussagen richtig oder falsch sind und begründe deine Entscheidung. Aussage richtig falsch Jede Zahl, die durch 10 teilbar ist, ist auch durch 2 und 5 teilbar Jede Zahl, die durch 9 teilbar ist, ist auch durch 3 teilbar Jede durch 3 teilbare Zahl ist durch 9 teilbar Jede Zahl, die durch 10 teilbar ist, ist auch durch 9 teilbar Es gibt Zahlen, die durch 9 und durch 10 teilbar sind 65 Die Jugendlichen erzählen von ihren Erlebnissen. Überprüfe mit Hilfe der Teilbarkeitsregeln, ob die Aussagen stimmen könnten. DI O O O O O DI, V O, DI Bei meinem Volleyballfest waren wir 85 Kinder Wir haben in Fünfergruppen Spiele gespielt Bei einem Fest von meinem Fußballverein haben wir in Dreiergruppen Spiele gespielt Insgesamt waren wir 134 Kinder In meiner Packung waren 136 Erdnüsse Ich habe diese gemeinsam mit meinen acht Freundinnen so aufgeteilt, dass jede gleich viele Erdnüsse bekommen hat Nein, doch nicht Ich habe um eine mehr bekommen ; -) Aluna Thomas Susi  Sprachliche Bildung / Lesen 16 3 Teilbarkeitsregeln Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

66 Max möchte anhand der Zahl 423 erklären, wieso die Teilbarkeitsregel für 9 funktioniert. i) Erkläre die einzelnen Schritte. Wo kommt die Ziffernsumme der Zahl in der Rechnung vor? Probiere die einzelnen Schritte anhand der Zahl 846 aus. 423 = 400 + 20 + 3 = = (4 ∙ 99 + 4) + (2 ∙ 9 + 2) + 3 = = (4 ∙ 99 + 2 ∙ 9) + (4 + 2 + 3) ii) Erweitere die Idee von Max auf vierstellige Zahlen (z.B. 8 324). Wie kann man mit diesen Überlegungen die Teilbarkeitsregeln für 3 und 9 begründen? Teilbarkeitsregeln für 4 und 8 67 Die Zahlen sind als Summe dargestellt. i) Erkläre, nach welchem Muster die Zahlen zerlegt wurden. ii) Setze das Zeichen | oder ~ in die Lücken. Verwende die Summenregel. iii) Formuliere eine Teilbarkeitsregel für 4. 428 = 400 + 28 w 4 400 und 4 28 w 4 428 940 = 900 + 40 w 4 900 und 4 40 w 4 940 1 236 = 1 200 +36 w 4 1200 und 4 36 w 4 1 236 Teilbarkeitsregeln für 4 Eine Zahl ist genau dann durch 4 teilbar, wenn ihre letzten beiden Stellen eine durch 4 teilbare Zahl bilden. 68 Setze | oder ~ und begründe deine Entscheidung. a) 4 111, weil b) 4 4 700, weil c) 4 12 928, weil d) 4 702, weil 69 Ersetze die fehlende Ziffer so, dass die Zahl durch 4 teilbar ist. Schreibe alle Möglichkeiten in dein Heft. a) 479 8 2 b) 478 31 c) 400 00 d) 3 567 1 4 e) 96 896 43 70 ] Kreuze richtig (r) oder falsch (f) an und gib das Lösungswort an. a) b) c) r f r f r f 4 | 3 712 V F 4 | 12 145 V D 4 | 17 102 F N 4 | 5 816 I A 4 | 14 308 R I 4 | 15 815 R E 4 | 12 388 E U 4 | 4 914 A E 4 | 15 810 E I 4 | 8 011 L R 4 | 5 824 I R 4 | 7 474 E N Lösungswort: Lösungswort: Lösungswort: 71 Schaltjahre sind Jahre, die einen zusätzlichen Tag haben. Dabei gilt folgende Regel: Ein Jahr ist ein Schaltjahr, wenn es durch 4, aber nicht durch 100, teilbar ist. Ausnahme: Jahre, die durch 400 teilbar sind, sind dennoch Schaltjahre. Markiere alle Jahre, die ein Schaltjahr sind und begründe deine Entscheidung. 2028 2030 2044 2080 2100 2176 2135 2300 2400 V O, V Denke an die Produktregel: 4 | 100 w 4 teilt jedes Vielfache von 100 Merke O, V O O, DI O, V  Sprachliche Bildung / Lesen 17 A Teiler und Vielfache natürlicher Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

72 ] Löse das Rätsel. a) Gib die größte dreistellige Zahl an, die durch 4 teilbar ist. b) Gib die größte vierstellige Zahl an, die durch 4 und durch 9 teilbar ist. c) Gib die kleinste dreistellige Zahl an, die durch 3 und durch 4 teilbar ist. d) Gib die größte dreistellige Zahl an, die durch 3, 4 und 5 teilbar ist. 73 Julia und Susi diskutieren über die Teilbarkeitsregel von 4. Susi versucht Julia zu erklären, dass ihre Formulierung nicht stimmt. Erkläre Julia, wieso ihre Formulierung nicht richtig ist. Julia: „Eine Zahl ist nur durch vier teilbar, wenn die letzten beiden Ziffern durch 4 teilbar sind.“ Susi: „ Das stimmt so nicht. Sieh dir die Zahl 4712 an. Diese Zahl ist auch durch 4 teilbar.“ Teilbarkeitsregel für 8 Eine Zahl ist genau dann durch 8 teilbar, wenn ihre letzten drei Stellen eine durch 8 teilbare Zahl bilden. 74 Setze | oder ~ und begründe deine Entscheidung. a) 8 3 088, weil b) 8 4 128, weil c) 8 12 712, weil d) 8 80 324, weil e) 8 112 816, weil f) 8 9 804, weil 75 Überprüfe, ob die Zahlen durch 4 bzw. 8 teilbar sind. Setze | oder ~. 412 1 224 12 440 12 248 987 499 5 489 200 986 525 488 4 8 76 Begründe die Teilbarkeitsregel für 8 anhand eines Beispiels. Verwende dafür die Summen- und Produktregel. Denke daran, dass 1 000 durch 8 teilbar ist. Teilbarkeitsregel für 6 Eine Zahl ist genau dann durch 6 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 3 teilbar ist. 77 Setze | oder ~. 1 112 4 704 10 725 50 709 986 100 5 411 222 986 589 426 2 3 6 78 Zwei dieser Aussagen sind falsch. Finde diese, indem du ein Gegenbeispiel angibst. i) Eine Zahl ist durch 20 teilbar, wenn sie durch 4 und durch 5 teilbar ist. ii) Eine Zahl ist durch 15 teilbar, wenn sie durch 3 und durch 5 teilbar ist. iii) Eine Zahl ist durch 8 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 4 teilbar ist. iv) Eine Zahl ist durch 100 teilbar, wenn sie durch 20 und durch 5 teilbar ist. M, O V Merke O O V Merke O DI, V  Sprachliche Bildung 18 3 Teilbarkeitsregeln Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

79 Hier kannst du alle gelernten Regeln anwenden. Setze | oder ~. 87 126 480 756 3 465 12 324 1 211 400 2 3 4 5 6 8 9 10 80 Andreas hat eine Teilbarkeitsregel für 7 herausgefunden: Eine Zahl ist genau dann durch 7 teilbar, wenn du 1) die letzten beiden Ziffern der Zahl nimmst, 2) den verbleibenden Rest der Zahl verdoppelst und 3) den verdoppelten Rest zu den letzten beiden Ziffern addierst. 4) Ist die aus diesem Vorgang entstandene neue Zahl durch 7 teilbar, dann ist auch die ursprüngliche Zahl durch 7 teilbar. Er probiert diese Teilbarkeitsregel anhand der Zahl 8 491 aus. 1. Schritt: 91 + 2 ∙ 84 = 259 Nun wendet er die Regel noch einmal an: 2. Schritt: 59 + 2 ∙ 2 = 63 w Da 63 durch 7 teilbar ist, ist auch 8 491 durch 7 teilbar. Wende die Regel an der gegebenen Zahl an. a) 7 805 b) 9 403 c) 7 742 d) 16 888 e) 21 040 Gecheckt? ææ Ich kann Teilbarkeitsregeln anwenden 81 Kreuze an, ob die Teilbarkeitsregeln richtig oder falsch sind. Aussage richtig falsch Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn die Ziffernsumme durch 2 teilbar ist Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer 0, 3 oder 9 ist Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn ihre Ziffernsumme durch 9 teilbar ist Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer 0 oder 5 ist Eine Zahl ist durch 10 teilbar, wenn ihre Ziffernsumme durch 10 teilbar ist 82 Setze | oder ~. a) 2 1 256 890 b) 5 123 c) 10 1 245 987 2 1 234 589 5 1 450 10 1 555 880 2 1 234 558 5 12 480 10 12 500 83 Setze | oder ~. a) 3 1 345 b) 9 423 c) 6 4 865 3 6 654 9 1 458 6 786 3 12 000150 9 12 480 6 125 010 84 Setze | oder ~. a) 4 724 4 1 208 b) 8 2 040 8 4 808 O O DI O O O Ó Arbeitsblatt i2t9g4  Sprachliche Bildung / Lesen 19 A Teiler und Vielfache natürlicher Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

4 Primzahlen und Primfaktorenzerlegung ææ Ich kann Primzahlen erklären, erkennen und angeben ææ Ich kann zusammengesetzte Zahlen erklären, erkennen und angeben ææ Ich kann die Primfaktorenzerlegung einer Zahl angeben Primzahlen Primzahlen sind besonders wichtig in der Mathematik und werden unter anderem eingesetzt, um geheime Nachrichten zu versenden. Man kann sie nicht in ein Produkt natürlicher Zahlen (ohne 1) zerlegen. Primzahlen Primzahlen sind natürliche Zahlen, größer als 1, die nur durch 1 und sich selbst teilbar sind. Es gibt unendlich viele Primzahlen. Die Menge der Primzahlen wird mit P bezeichnet. P = {2; 3; 5; 7; 11; …} 85 a) Gib alle Primzahlen an, die kleiner als 15 sind. b) Gib alle Primzahlen an, die größer als 15 und kleiner als 30 sind. c) Gib die kleinste Primzahl an, die größer als 50 ist. 86 In der Liste sind fünf Primzahlen. Markiere diese. a) 4 7 11 31 53 12 45 81 116 68 114 100 17 999 b) 5 70 80 600 13 6 19 333 23 56 51 42 12 15 61 106 225 305 87 Der deutsche Mathematiker Christian Goldbach hat von 1690 bis 1764 gelebt. Goldbach formulierte eine Vermutung, die nach ihm benannt wurde: „die Goldbach’sche Vermutung“. Bis heute konnte diese Vermutung nicht bewiesen werden. Sie besagt: Jede natürliche gerade Zahl, die größer als 2 ist, kann als Summe zweier Primzahlen dargestellt werden. Überprüfe die Goldbach’sche Vermutung anhand der gegebenen Zahlen. a) 6 b) 8 c) 12 d) 16 e) 20 f) 22 g) 24 h) 26 i) 30 j) 34 k) 40 ÓArbeitsblatt j96dt3 ÓArbeitsblatt ze579u Merke Ó Erklärvideo u8qj45 O O O Verwende die Teilbarkeitsregeln als Hilfe „Primzahl“ kommt aus dem Lateinischen „primus“ und bedeutet „Erster, Vorderster“ Gemeint ist, dass man aus den Primzahlen alle anderen natürlichen Zahlen (außer 0 und 1) erzeugen kann Eratosthenes war ein griechischer Mathematiker, der vor rund 2 300 Jahren lebte. Er entwickelte ein Verfahren um besondere Zahlen zu finden. Es wird das „Sieb des Eratosthenes“ genannt. Probiere sein Verfahren aus: 1) Schreibe die Zahlen von 1 bis 100 aufgeteilt in zehn Zeilen an (oder verwende nebenstehende Online-Ergänzung). 2) Streiche die Zahl 1 und markiere die Zahl 2. 3) Streiche alle Vielfachen von 2 durch. Markiere die nächste noch nicht durchgestrichene Zahl. 4) Streiche wieder alle Vielfachen dieser Zahl durch. Wiederhole dieses Verfahren bis alle Zahlen entweder durchgestrichen oder markiert sind. Welche Eigenschaften besitzen die markierten Zahlen? 20 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

88 Gegeben sind Aussagen über Primzahlen. Kreuze an, ob die Aussagen richtig oder falsch sind und begründe deine Entscheidung. Aussage richtig falsch Alle Primzahlen sind ungerade Zahlen Primzahlen sind natürliche Zahlen, die genau zwei verschiedene Teiler besitzen Primzahlen sind natürliche Zahlen, größer als 1, die nur unechte Teiler besitzen Alle Zahlen, die nur echte Teiler besitzen, sind Primzahlen 89 ] Löse die Aufgabe. a) Primzahlenzwillinge sind zwei Primzahlen, deren Differenz 2 ist (z.B. 3 und 5). Gib vier verschiedene Primzahlenzwillinge an. b) Primzahlendrillinge sind drei Primzahlen der Form a – 2, a, a + 2, wobei a eine natürliche Zahl ist. Es gibt genau einen Primzahldrilling. Gib diesen an. Zusammengesetzte Zahlen und Primfaktorenzerlegung Das Besondere an Primzahlen ist, dass man sie nicht als Produkt zweier natürlicher Zahlen (ohne 1) darstellen kann. Alle anderen natürlichen Zahlen (größer als 1) besitzen eine eindeutige Zerlegung, die Primfaktorenzerlegung: Zusammengesetzte Zahlen Alle natürlichen Zahlen, größer als 1, die keine Primzahlen sind, nennt man zusammengesetzte Zahlen. Jede zusammengesetzte Zahl kann man als Produkt von Primzahlen darstellen. Diese Darstellung nennt man Primfaktorenzerlegung. z.B. 18 = 2 ∙ 3 ∙ 3 0 und 1 sind keine Primzahlen und auch keine zusammengesetzten Zahlen. Bilde die Primfaktorenzerlegung der Zahl 126. 126 2 Dividiere durch die kleinste Primzahl, die 126 teilt. (126 : 2 = 63) 63 3 Schreibe den Quotienten an und dividiere wieder durch die kleinste Primzahl. 21 3 Das machst du so lange, bis du 1 als Endzahl erhältst. 7 7 Die Primfaktorenzerlegung ist dann das Produkt der gefundenen Primzahlen. 1 w Primfaktorenzerlegung: 126 = 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 7 90 Bilde die Primfaktorenzerlegung der gegebenen Zahl. a) 24 b) 36 c) 49 d) 52 e) 58 f) 62 g) 64 h) 70 i) 100 j) 104 91 Bilde die Primfaktorenzerlegung der gegebenen Zahl. a) 273 b) 256 c) 385 d) 162 e) 180 f) 192 g) 1 482 h) 1 089 i) 945 j) 1 224 92 Erkläre, warum die Darstellung keine richtige Primfaktorenzerlegung ist. a) 16 = 2 ∙ 2 ∙ 4 b) 32 = 2∙16 c) 100 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 5 d) 100 = 2 ∙ 2 ∙ 25 93 ] Gib vier Zahlen an, die nur a) 2 b) 3 c) 2 und 7 d) 5 und 11 als Primfaktoren haben. Gecheckt? ææ Ich kann Primzahlen erklären, erkennen und angeben ææ Ich kann zusammengesetzte Zahlen erklären, erkennen und angeben ææ Ich kann die Primfaktorenzerlegung einer Zahl angeben 94 a) Erkläre, was man unter einer Primzahl und einer zusammengesetzten Zahl versteht. b) Markiere alle Primzahlen rot und alle zusammengesetzten Zahlen grün. 4 7 9 16 11 13 21 31 64 108 2 95 Gib die Primfaktorenzerlegung der Zahl an. a) 72 b) 105 DI, V O, DI Merke Muster O O V O V Ó Arbeitsblatt x2877m O  Sprachliche Bildung 21 A Teiler und Vielfache natürlicher Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

5 Der ggT und das kgV mit Hilfe der Primfaktorenzerlegung ææ Ich kann den ggT von Zahlen mit Hilfe der Primfaktorenzerlegung bestimmen ææ Ich kann das kgV von Zahlen mit Hilfe der Primfaktorenzerlegung bestimmen ææ Ich kann Textaufgaben mit Hilfe des größten gemeinsamen Teilers, und mit Hilfe des kleinsten gemeinsamen Vielfachen lösen Der größte gemeinsame Teiler (ggT) In Kapitel 1 wurde der größte gemeinsame Teiler von mehreren Zahlen mittels Teilermengen bestimmt. Dies ist gerade bei größeren Zahlen recht mühsam, da das Finden der Teiler schwierig ist. Eine weitere Methode ist die Primfaktorenzerlegung. Hierbei wird folgende Überlegung verwendet: Jeder Primfaktor des ggTs von einem oder mehreren Zahlen muss auch ein Primfaktor der Zahlen sein. Aus diesem Grund muss man zur Bestimmung des ggTs alle gemeinsamen Primfaktoren finden. Finde den größten gemeinsamen Teiler von 252 und 420. 252 2 420 2 1) Zuerst werden die Primfaktoren von 252 und 420 126 2 210 2 angeschrieben. 63 3 105 3 2) Dann werden jene Primzahlen unterstrichen, 21 3 35 5 die bei beiden Zerlegungen vorkommen. 7 7 7 7 3) Der ggT ist das Produkt der gemeinsamen Primzahlen. 1 1 w ggT252, 420 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 7 = 84 96 Berechne den ggT der beiden Zahlen. i) Löse im Kopf. ii) Löse mit Hilfe von Teilermengen. iii) Löse mit Hilfe der Primfaktorenzerlegung. a) 12; 18 b) 14; 18 c) 22; 33 d) 8; 32 e) 20; 28 f) 40; 60 97 Gegeben ist die Primfaktorenzerlegung von zwei Zahlen. Berechne ihren ggT. a) 105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 b) 24 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 c) 5 187 = 3 ∙ 7 ∙ 13 ∙ 19 1 050 = 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 7 180 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 5 1 235 = 5 ∙ 13 ∙ 19 ggT105, 1 050 = ggT24, 180 = ggT5 187, 1 235 = 98 Berechne den ggT der beiden Zahlen. a) 120; 528 b) 315; 126 c) 270; 945 d) 280; 240 e) 2700; 630 f) 512; 576 99 Berechne den ggT der drei Zahlen. a) 180; 210; 462 b) 1 650; 220; 735 c) 405; 1 260; 990 d) 294; 126; 1 470 ÓArbeitsblatt j4uu25 Muster O O O O Julia und Finn sprechen über eine Aufgabe. Überlege, warum die Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers hier so „anstrengend sein könnte“. Hier müssen die Primfaktoren bei allen Zahlen vorkommen Puh, das ist aber ganz schön anstrengend Ich muss den ggT von 1 024 und 778 berechnen 22 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

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