502 Susi „beweist“ Pia und Zlatko, dass 5 = 2 ist. Finde den Fehler und erkläre ihn. a) 5=2+3 | · (5 – 2) 5 · (5 – 2) = (2 + 3) · (5 – 2) | ausmultiplizieren 25 – 10 = 10 + 15 – 4 – 6 | – 15 25 – 10 – 15 = 10 – 4 – 6 | faktorisieren 5 · (5 – 2 – 3) = 2 · (5 – 2 – 3) | : (5 – 2 – 3) 5 = 2 Sonderfälle beim Lösen von Gleichungen Beim Lösen von Gleichungen mit Äquivalenzumformungen kann es vorkommen, dass alle Variablen wegfallen. Das führt zu zwei Sonderfällen bei den Lösungen dieser Gleichungen: 1. Sonderfall: 4 (2 x − 1) + 3 = 2 (1 + 4 x) 8 x − 4 + 3 = 2 + 8 x 8 x − 1 = 2 + 8 x | – 8 x ‒ 1 = 2 falsche Aussage Die Variable fällt weg, und man erhält eine falsche Aussage. D.h. die Ausgangsgleichung hat keine Lösung. Die Lösungsmenge ist somit die leere Menge. L = { } 2. Sonderfall: 2 x + 3 (1 − x) = ‒ x + 3 2 x + 3 − 3x = ‒ x + 3 ‒ x + 3 = ‒ x + 3 | + x 3 = 3 richtige Aussage Die Variable fällt weg, und man erhält eine richtige Aussage. D. h. jede mögliche rationale Zahl ist eine Lösung der Gleichung. Die Lösungsmenge besteht aus unendlich vielen Zahlen. L = ℚ 503 Welcher Lösungsfall liegt vor? a) 6 x = 3 · (2 x − 1) + 3 b) 5 · (2 − 3 x) + 1 = ‒ 15 x c) 3 (4 x − 1) = 2 (1 + 6x) d) 3 (2 x – 1) + 3 – 6 x = 0 e) 3 (– x + 7) – 1 = – 3 x + 20 f) 2 (4 x – 1) + 2 x = 2 (5 x – 2) g) 2 (x – 1) – 4 x = –2 (x + 1) h) 3 (1 – x) –2 (x + 3) = – 5 x i) 3 + 4 (1 – x) + 4 x = 7 Gecheckt? ææ Ich weiß, was Gleichungen sind und kann die Lösung einer Gleichung erkennen. 504 Kreise alle Gleichungen ein. 6 x − 2 = 0 x + 1 ‒ 2 x + 1 = x 15 – 6 8 x = 5 x – 4 2·10 – 8 2 x – 1 = 7 505 Kreise die Gleichungen ein, die die Lösungsmenge L = {5} besitzen. i) 2 ( x − 1) = x + 3 ii) x (x − 5) = x2 − 25 iii) 3 x + 2 = x − 1 iv) 2 (x − 1) + 2 = 3 x v) x2 + 15 = x (x + 3) ææ Ich weiß, was Äquivalenzumformungen sind. 506 Ergänze die passende Äquivalenzumformung. a) 3 x + 4 = 25 | b) 16 = 2 x | c) 6 – 3 x = 2 x + 1 | 3 x + 1 = 22 4 = 1 _ 2 x 6 = 5 x + 1 | 5 = 5 x | 1 = x ææ Ich kann die Lösung einer Gleichung mit Äquivalenzumformungen bestimmen und Lösungsfälle erkennen. 507 Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. a) 2 (x + 4) − 3 x = 2 (x + 7) + 30 b) 4 (2 − x) + 3 = ‒ 2 (2 x + 1) c) 14 x − 6 = 2 (‒ 3 + 4 x) + 6 x DI, V ÓErklärvideo i9bc5f DI Ó durchgerechnete Lösungen i9f3zu DI DI DI O Ó Arbeitsblatt i9kd59 101 E Gleichungen und Formeln Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
RkJQdWJsaXNoZXIy MjU2NDQ5MQ==