Gleichungen und Formeln Gleichung Zwei Terme, zwischen denen „=“ steht, bilden eine Gleichung. 4 x + 1 = 2 x – 3 Lösung einer Gleichung bzw. Lösungsmenge Eine Zahl, für die die Gleichung richtig ist, heißt Lösung der Gleichung. Diese Zahl steht in der Lösungsmenge L. 4 x + 1 = 2 x – 3 Die Zahl x = ‒ 2 ist die Lösung der Gleichung, da gilt: 4 · (‒ 2) + 1 = 2 · (– 2) − 3 ‒ 7 = ‒ 7 L = {– 2} Äquivalenzumformungen Auf beiden Seiten einer Gleichung – wird derselbe Term addiert bzw. subtrahiert. – wird mit derselben Zahl (≠ 0) multipliziert bzw. durch dieselbe Zahl (≠ 0) dividiert. Die Lösungsmenge ändert sich dadurch nicht. 3 x + 1 – 1 = 5 − 1 | – 1 3 x : 3 = 4 : 3 | : 3 x = 4 _ 3 Spezielle Lösungsfälle einer Gleichung Eine Gleichung kann – keine Lösung besitzen. Die Lösungsmenge ist leer. Man schreibt: L = { } – unendlich viele Lösungen besitzen. Die Lösungs‑ menge ist die Menge der rationalen Zahlen. Man schreibt: L = Q 3 (x − 1) = 3 x + 5 3 x − 3 = 3 x + 5 | – 3 x − 3 = 5 … falsch d.h. L = {} 2 x + 1 = 2 (x − 1) + 3 2 x + 1 = 2 x − 2 + 3 2 x + 1 = 2 x + 1 | – 2 x 1 = 1 … richtig d.h. L = Q Lösen einer Textgleichung – Lies den Text aufmerksam durch und wähle für die gesuchte Größe eine Variable, z.B. x. – Übertrage die Informationen aus dem Text in eine Gleichung. – Löse die Gleichung. – Überprüfe anhand des Textes, ob die berechnete Lösung der Gleichung zum Text passt. – Schreibe einen Antwortsatz. Das Dreifache einer Zahl ist um vier größer als 23. x … gesuchte Zahl 3 x = 23 + 4 3 x = 27 | : 3 x = 9 Das Dreifache von neun ist 27. Die Zahl 27 ist um vier größer als 23. Die gesuchte Zahl ist 9. Formel Eine Formel ist eine besondere Gleichung. Sie beschreibt den Zusammenhang zwischen mehreren Variablen, die für Größen stehen. Umfang u des Dreiecks mit den Seitenlängen x, y und z: u = x + y + z Formeln umformen Durch Äquivalenzumformungen kann jede Variable durch die anderen ausgedrückt werden. 9 a – 2 b = c | + 2 b 9 a = c + 2 b | : 9 a = (c + 2 b) : 9 a = c + 2 b _ 9 110 Zusammenfassung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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