Verhältnisse und Ähnlichkeit Verhältnis Das Verhältnis zweier Größen a und b ist der Quotient aus diesen: a : b = a _ b Das Ergebnis der Division nennt man Verhältniszahl oder Proportionalitätsfaktor. Taschengeld Shakira ___ Taschengeld Josef = 12 : 8 = 12 _ 8 = 3 _ 2 = 1,5 Shakiras Taschengeld ist 1,5‑Mal so hoch, wie Josefs . Verhältnisgleichung (Proportion) Eine Gleichung, die zwei Verhältnisse gleichsetzt, wird als Verhältnisgleichung (oder Propor‑ tion) bezeichnet. Eine Verhältnisgleichung kann auch in Bruchform angeschrieben werden: a : b = c : d bzw. a _ b = c _ d Zu jeder Verhältnisgleichung lässt sich eine Produktgleichung formulieren. Direkte und indirekte Proportionalitäten Direktes Verhältnis zwischen zwei Größen: Indirektes Verhältnis zwischen zwei Größen: 1. Größe 2. Größe a c b d 1. Größe 2. Größe a c b d a : b = c : d a : b = d : c Menge und Preis: Arbeitszeit und Arbeiter: € kg 9 3 6 2 h Anzahl Arbeiter 6 1 3 2 9 : 6 = 3 : 2 6 : 3 = 2 : 1 Ähnliche Figuren Wenn zwei Figuren gleich große Winkel haben und die Seitenlängen paarweise im selben Verhältnis zueinander stehen, dann sind sie zueinander ähnlich. Stimmen sie auch in ihrer Größe überein, dann handelt es sich um kongruente Figuren. Figur A Figur B Proportionales Vergrößern und Verkleinern Ähnliche Figuren erhält man durch proportionales Vergrößern bzw. Verkleinern. Die Verhältnis‑ zahl zwischen den Längen im neuen Bild zu den entsprechenden Längen im Originalbild nennt man Proportionalitätsfaktor k. Breite des neuen Bildes: 2,6 cm. Breite des originalen Bildes: 1,3 cm. w k = 2,6:1,3 = 2 w Der Proportionalitätsfaktor ist 2. Zentrische Streckung Durch zentrische Streckung durch ein Streckungs‑ zentrum Z um den Streckungsfaktor k entsteht immer eine proportional vergrößerte oder verklei‑ nerte Figur. Diese ist zum Originalbild ähnlich. Alle ihre Seiten sind k‑mal so lang wie die entsprechenden Seiten des Originals. Der Flächeninhalt des neuen Bildes ist k2‑mal so groß, wie der des Originals. Z A B C 2 cm A’ B’ C’ c b Außenglieder a : b = c : d É a ∙ d = b ∙ c É a _ b = c _ d Innenglieder 158 Zusammenfassung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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