444 Berechne und vereinfache den Term so weit, wie möglich. a) (x2 – 3 y)2 – (2 x2 – y) (2 x2 + y) = b) (x3 – 2) (x3 + 2) – (2 x3 – 1)2 = c) 2 · (x2 + 5)2 + 3 · (2 – x2) (2 + x2) = d) – 1 _ 2 · (4 x 3 + 1)2 + 5 · (x3 – 2)(x3 + 2) = e) 2 · (x2 – 3) · (1 + x2) – (x2 + 2)2 + 8 x2 = f) – 3 (2 + x3)2 + (x3 – 1) (x3 + 1) + 13 + 2 x6 = g) (1 + 2 x2)2 – 3 (x – 2) (x + 1) – x · (x + 3) = h) – 2 (1 + 2 x) (x – 2) – (3 x – 1)2 + x · (13 x – 12) = Geometrische Veranschaulichung der binomischen Formeln Die Quadrate der Binome lassen sich geometrisch durch Flächeninhalte von Quadraten und Rechtecken veranschaulichen. Betrachte dazu das Quadrat mit der Seitenlänge a + b. Der Flächeninhalt dieses Quadrats wird mit der Formel (a + b) · (a + b) = (a + b)2 berechnet. Anhand der Zeichnung kann man erkennen, dass sich der Flächeninhalt des Quadrats mit der Seitenlänge a + b aus zwei kleineren Quadraten mit den Seitenlängen a und b sowie zwei Rechtecken mit den Seitenlängen a und b zusammensetzt: (a + b)2 = a2 + a b + a b + b2 = a2 + 2 a b + b2 445 Veranschauchliche anhand einer Zeichnung. a) (x + y)2 b) (e + f)2 c) (r + s)2 446 Ergänze den Text zur graphischen Herleitung der 2. binomischen Formel anhand der Zeichnung. Gegeben ist das große Quadrat mit der Seitenlänge . Verkleinert man die Seitenlänge dieses Quadrats um b, entsteht ein kleineres Quadrat mit der Seitenlänge und dem Flächeninhalt . Den Flächeninhalt des orangen Quadrats erhält man, wenn man den Flächeninhalt des großen Quadrats um die hellblauen Flächeninhalte der beiden Rechtecke mit den Seitenlängen und verringert und den dunkelblauen Flächeninhalt des Quadrats mit der Seitenlänge wieder hinzufügt, da man diesen ja zweimal abgezogen hat: (a − b)2 = a2 – – + Nach der Vereinfachung des Terms erhält man (a − b)2 = 447 Erkläre deiner Sitznachbarin bzw. deinem Sitznachbarn anhand einer Zeichnung Schritt für Schritt den Zusammenhang (x − y)2 = x2 − 2 x y + y2. O a + b a · b a2 b2 a · b a b b a a + b DI DI a · b (a – b)2 b2 a · b a a a – b a – b b b DI, V 88 17 Binomische Formeln Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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