Aus der 1. Klasse kennst du bereits Gleichungen, z.B. 3 x + 5 = 11. Das Ziel ist nun, für die Variable eine Zahl (oder Zahlen) zu finden so, dass die Gleichung richtig ist. Setzt man in der obigen Gleichung x = 2 ein, ist die Aussage richtig: 3 · 2 + 5 = 11, also 11 = 11 wahre Aussage Die Zahl 2 wird als Lösung der Gleichung bezeichnet. Die Lösung der Gleichung wird oft in einer Lösungsmenge angeschrieben: L = {2} Gleichung und Lösung einer Gleichung Zwei Terme, zwischen denen „=“ (Gleichheitszeichen) steht, bilden eine Gleichung. Tritt in einer Gleichung eine Variable auf, heißt eine Zahl, für die eine richtige Aussage entsteht, wenn man sie für die Variable einsetzt, Lösung der Gleichung. Die Lösungsmenge L ist die Menge aller Lösungen einer Gleichung. 484 Kreuze die Gleichungen an. a) b) 485 Kreuze die Lücken so an, dass eine richtige Aussage entsteht. Die Gleichung hat die Lösungsmenge . a) b) 5 = 2 x − 1 æ L = {‒ 3} æ 3 x – 1 = 2 æ L = {4} æ 4 = 1 + 3 x æ L = {‒ 2} æ 5 – 2 x = ‒ 3 æ L = {‒ 2} æ 4 x = 4 + 2 x æ L = {1} æ 1 + 2 x = 5 æ L = {‒ 1} æ ÓArbeitsblatt i8k3hf Merke DI 2 x + 6 = 10 23 + 12 = 2 x + 3 x + 1 23 − 11 = 0 9 = 5 x − 1 æ æ æ æ æ 12 – 3 = a 4 = 5 b – 1 0,5 – 2 = 2 y – y + 1 13 – 11 = 12 æ æ æ æ æ DI 18 Lösen von Gleichungen ææ Ich weiß, was Gleichungen sind. ææ Ich kann die Lösung einer Gleichung erkennen und angeben. ææ Ich weiß, was Äquivalenzumformungen sind. ææ Ich kann die Lösung einer Gleichung mit Äquivalenzumformungen bestimmen und Lösungsfälle erkennen. Peter erzählt seinem Freund Martin, dass er auf dem Dachboden alte Gewichte von seinem Opa gefunden hat. Er sagt: „Ich habe jetzt sechs Gewichte mit je einem Kilo und noch vier andere gleiche Gewichte. Ich weiß aber nicht, wie schwer die sind. Lege ich die sechs 1‑kg-Gewichte und noch eines der anderen Gewichte auf die eine Schale einer alten Küchenwaage und die restlichen großen Gewichte auf die andere Schale, ist die Waage im Gleichgewicht.“ Da schmunzelt Martin: „Na dann kannst du doch leicht das fehlende Gewicht bestimmen …“ 1 kg 1 kg 1 kg 1 kg 1 kg 1 kg x x x x Die antiken Mathematiker, insbesondere die Griechen, entwickelten schon Techniken zum Lösen von Gleichungen. Euklid behandelte in seinem Werk „Stoicheia“ (Elemente) verschiedene Arten von Gleichungen und entwickelte geometrische Methoden zu ihrer Lösung. 97 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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