486 Finde die Lösungsmenge der Gleichung durch Probieren. a) x + 15 = 25 b) 10 = 2 x c) 18 = x – 5 d) x : 6 = 4 e) 21 = x · 3 487 Finde die Lösungsmenge der Gleichung durch Probieren. a) 2 x + 12 = 20 b) 15=1+7y c) 8 + 3 z = 23 d) 16 – 2 a = 14 e) 6 b – 8 = 4 488 Finde mindestens zwei Gleichungen, die die angegebene Lösungsmenge besitzen. a) L = {2} b) L = {5} c) L = {‒ 3} d) L = {0} Die Lösungsmenge einer Gleichung kann auch rechnerisch bestimmt werden. Dabei wird die Lösung der Gleichung durch Äquivalenzumformungen bestimmt: d.h. ——auf beiden Seiten der Gleichung wird derselbe Term addiert bzw. subtrahiert. ——auf beiden Seiten der Gleichung wird mit derselben Zahl (≠ 0) multipliziert bzw. durch dieselbe Zahl (≠ 0) dividiert. Ziel ist es, dass die Variable allein auf einer Seite des Gleichheitszeichens steht. Die Zahl auf der anderen Seite ist die Lösung der Gleichung. Bildlich kann man sich eine Gleichung als Waage vorstellen, die durch Äquivalenzumformungen nie aus dem Gleichgewicht gebracht wird: x + 2 = 6 | – 2 x + 2 = 6 | + 1 Sind zwei x vier, ist ein x die Hälfte von 4: x + 2 − 2 = 6 − 2 x + 2 + 1 = 6 + 1 2 · x = 4 | : 2 x = 4 x + 3 = 7 2 · x : 2 = 4 : 2 x = 2 1 1 x x w 1 1 1 1 x x x x Die jeweilige Äquivalenzumformung wird hinter einem senkrechten Strich angegeben. Äquivalenzumformungen Bei einer Äquivalenzumformung wird —— auf beiden Seiten der Gleichung derselbe Term addiert bzw. subtrahiert. —— auf beiden Seiten der Gleichung mit demselben Term (≠ 0) multipliziert bzw. durch denselben Term (≠ 0) dividiert. Durch Äquivalenzumformungen bleibt die Lösungsmenge einer Gleichung von einer Umformung zur nächsten unverändert. 489 Schreibe die dargestellte Gleichung an und bestimme die Lösung. a) b) c) d) e) O O DI w 1 1 1 1 1 1 1 1 x 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x 1 1 1 1 x x 1 1 1 1 x x Wird 2 x verdoppelt, verdoppelt sich auch zwei. 2 x = 2 | · 2 (2 · x) · 2 = 2 · 2 4 · x = 4 Merke Ó Erklärvideo i957e4 O, DI 1 1 1 1 1 1 1 1 x 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x x x 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x x x 1 1 x 3 Während der Renaissance trugen Mathematiker wie François Viète und René Descartes zur Entwicklung von algebraischen Methoden zum Lösen von Gleichungen bei und beschrieben die Verwendung von Äquivalenzumformungen. Dabei war und ist es entscheidend, dass sich durch die Umformung die Lösung der Gleichung nicht verändert. (äquivalent = gleichwertig) 98 18 Lösen von Gleichungen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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