1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 III IV

Lösungswege 4, Schulbuch [Teildruck]

4 Bortenschlager | Fischer | Koller | Marsik | Olf | Wittberger Lösungswege Mathematik Teildruck Die Verkaufsauflage erscheint unter der ISBN 978-3-209-12254-4

Teildruck © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2026 www.oebv.at Alle Rechte vorbehalten. Jede Art der Vervielfältigung, auch auszugsweise, gesetzlich verboten. Redaktion: Mag. Melanie Zimmermann, Wien Herstellung: Ing. Bianca Mannsberger, Wien Umschlaggestaltung: Petra Michel, Essen Layout: Petra Michel, Essen Illustrationen: Angelika Citak, Wipperfürth Satz: Da-TeX Gerd Blumenstein, Leipzig Druck: Ferdinand Berger & Söhne Ges.m.b.H., Horn Teildruck zu ISBN 978-3-209-12254-4 (Die Lösungswege US SB 4 + E-Book) Lösungswege 4, Schulbuch + E-Book Teildruck zu ISBN 978-3-209-12254-4, W6519-166 Dieses Werk wurde auf der Grundlage eines zielorientierten Lehrplans verfasst. Konkretisierung, Gewichtung und Umsetzung der Inhalte erfolgen durch die Lehrerinnen und Lehrer. Liebe Schülerin, lieber Schüler, du bekommst dieses Schulbuch von der Republik Österreich für deine Ausbildung. Bücher helfen nicht nur beim Lernen, sondern sind auch Freunde fürs Leben. Kopierverbot Wir weisen darauf hin, dass das Kopieren zum Schulgebrauch aus diesem Buch verboten ist – § 42 Abs. 6 Urheberrechtsgesetz: „Die Befugnis zur Vervielfältigung zum eigenen Schulgebrauch gilt nicht für Werke, die ihrer Beschaffenheit und Bezeichnung nach zum Schul- oder Unterrichtsgebrauch bestimmt sind.“ Bildnachweis: S. 2.1: fstop123 / Getty Images; S. 2.2: Zocha_K / Getty Images; S. 3.1: pahham / Getty Images - iStockphoto; S. 3.2: Radachynskyi / Getty Images - iStockphoto; S. 4: Mariia Vitkovska / Getty Images; S. 5.1: Andrey Bandurenko / Fotolia; S. 5.2: mekcar / Fotolia; S.51: Andrey Popov/ Getty Images; S. 152: miniseries / Getty Images; S. 153: aydinmutlu / Getty Images; S. 158: subodhsathe / Getty Images - iStockphoto; S. 160: Maos / Getty Images - iStockphoto; S. 171.1: snygo - aboutpixel.de; S. 171.2: MH Foto Design; S. 175: photographer / Getty Images - iStockphoto; S. 178: gradt / Fotolia; S. 180: snygo - aboutpixel.de; S. 181: beekeepx / Getty Images - iStockphoto; S. 182.1: Jupiterimages / Thinkstock; Illustrationen: Angelika Citak, Wipperfürth: Seite 54.1; Seite 54.2; Seite 54.3; Seite 174.1; Seite 174.2; Seite 174.3; Seite 177; Seite 182.2; Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

 Mathias Bortenschlager Andreas Fischer Max Koller Julia Marsik Markus Olf Markus Wittberger Lösungswege Mathematik 4 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

A Die reellen Zahlen..................... 6 Die Menge der rationalen Zahlen.. . . . . . . . . . . . 7 Die Menge der reellen Zahlen.. . . . . . . . . . . . . . . 14 Rechnen mit Quadratwurzeln.. . . . . . . . . . . . . . . . 20 Rechnen mit Kubikwurzeln .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Zusammenfassung .......................... 28 Selbstkontrolle.............................. 29 DIGI Rechnen mit reellen Zahlen............ 32 B Der Lehrsatz des Pythagoras .. . . . . . . . 34 Der Lehrsatz des Pythagoras im rechtwinkligenDreieck....................... 35 Satz des Pythagoras in ebenen Figuren anwenden.................................. 40 Satz des Pythagoras in Quadern und Würfeln anwenden................................... 48 Satz des Pythagoras in quadratischen Pyramidenanwenden........................ 52 Zusammenfassung.......................... 56 Selbstkontrolle.............................. 57 DIGI Der Satz des Pythagoras mit Geogebra. 60 C Terme und Bruchterme. . . . . . . . . . . . . . . 62 Terme aufstellen und interpretieren.. . . . . . . . . . 63 RechnenmitTermen......................... 68 FaktorisierenvonTermen.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Bruchterme.................................. 78 Zusammenfassung .......................... 84 Selbstkontrolle.............................. 85 D Statistik................................ 88 Statistische Kennzahlen und Häufigkeitsverteilungen.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Kreuztabellen................................ 96 Zusammenfassung .......................... 100 Selbstkontrolle.............................. 101 E Gleichungen und Bruchgleichungen. . . 104 Lineare Gleichungen in einer Variablen .. . . . . . 105 Formeln..................................... 110 Bruchgleichungen........................... 114 Textgleichungen............................. 118 Zusammenfassung .......................... 122 Selbstkontrolle.............................. 123 F Der Kreis................................ 126 DerUmfangdesKreises...................... 127 Der Flächeninhalt des Kreises . . . . . . . . . . . . . . . . 132 DerKreisring................................ 136 Der Kreissektor und der Kreisbogen.. . . . . . . . . . 140 Zusammengesetzte Figuren.. . . . . . . . . . . . . . . . . 144 Zusammenfassung .......................... 148 Selbstkontrolle.............................. 149 G Funktionen .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 Zusammenhänge aus dem Alltag.. . . . . . . . . . . . 153 Funktionen – Grundbegriffe.. . . . . . . . . . . . . . . . . 160 DarstellenvonFunktionen.. . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 LineareFunktionen.......................... 170 NichtlineareFunktionen.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 Zusammenfassung .......................... 186 Selbstkontrolle.............................. 187 DIGI Analyse von Funktionen mit Excel .. . . . . 190 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2 Inhalt Zahlen und Maße Variablen und Funktionen Figuren und Körper Daten und Zufall Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

H Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 Lineare Gleichung mit zwei Variablen.. . . . . . . . 193 Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen graphisch lösen.. . . . . . . . . . . . . . 194 Rechnerische Lösungsverfahren .. . . . . . . . . . . . . 202 Textaufgaben zu linearen Gleichungs- systemen mit zwei Variablen.. . . . . . . . . . . . . . . . 208 Zusammenfassung .......................... 216 Selbstkontrolle.............................. 217 DIGI Lösen von Gleichungssystemen mit Geogebra............................ 220 I Zylinder und Kegel..................... 222 DasVolumendesZylinders.. . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 Die Oberfläche des Zylinders.. . . . . . . . . . . . . . . . 226 DasVolumendesKegels..................... 230 DieOberflächedesKegels.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 Zusammengesetzte Körper.. . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 Zusammenfassung .......................... 240 Selbstkontrolle.............................. 241 J Wahrscheinlichkeitsrechnung .. . . . . . . . . 244 Wahrscheinlichkeitsrechnung – Wiederholung und Vertiefung .. . . . . . . . . . . . . . . 245 Wahrscheinlichkeit bei zweistufigen Zufallsexperimenten......................... 250 Zusammenfassung .......................... 258 Selbstkontrolle.............................. 259 K Wiederholung der Inhalte der Sekundarstufe 1 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 Arbeiten mit Zahlen und Maße.. . . . . . . . . . . . . . 263 Arbeiten mit Variablen und Funktionen . . . . . . . 266 Arbeiten mit Daten und Zufall.. . . . . . . . . . . . . . . 268 Arbeiten mit Figuren und Körper.. . . . . . . . . . . . . 270 Themenzentrierte Aufgaben.. . . . . . . . . . . . . . . . . 272 Anhang Lösungen der Selbstkontrollaufgaben . . . . . . . . 276 Sachregister................................ 285 Bildnachweis............................... 287 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 3 1. Scanne den QR-Code und lade die App auf dein Smartphone oder dein Tablet. 2. Scanne deinen Buchumschlag oder wähle dein Schulbuch in der App-Medienliste aus. 3. Scanne eine mit gekennzeichnete Buchseite oder wähle ein Audio/Video aus der App-Medienliste aus. 4. Spiele das Audio/Video ab. QuickMedia App Android iOS Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

4  12 Bruchterme æ Ich kann Bruchterme definieren und ihre die Definitionsmenge bestimmen. æ Ich kann mit Bruchtermen rechnen. Definition Bruchterm Einen Bruch, bei dem im Nenner mindestens eine Variable steht, nennt man Bruchterm. Z. B. 5 _ x ; 1 _ a + 1 ; b + 1 _ b + 2 368 Kreise alle Bruchterme ein. a) b) 369 Erstelle zum Text einen passenden Bruchterm. a) Ein Gewinn von 100 € wird auf x Personen aufgeteilt. w ___ Zwei Personen wollen ihren Anteil nicht. w ___ Es kommen weitere 20 € zum Gewinn dazu. w ___ b) Ein 80 cm langes Brett soll in s gleich lange Stücke geteilt werden. w ___ Die Anzahl der verkürzten Stücke s wird verdoppelt. w ___ Das Brett wird zuerst an einem Ende um t cm gekürzt. w ___ Definitionsmenge von Termen Eine Definitionsmenge beschreibt alle Zahlen, die für eine Variable eingesetzt werden dürfen. Ein Bruch ist eine Division. Da man nicht durch 0 dividieren kann, darf auch der Nenner in einem Bruchterm nicht 0 sein. Somit werden bestimmte Zahlen für die Definitionsmenge ausgeschlossen. Bestimme die Definitionsmenge des Bruchterms 1 _ x – 1 . x – 1 = 0 | +1 Wird für x die Zahl 1 eingesetzt, dann wird der Nenner 0. Somit muss 1 aus der x = 1 Definitionsmenge ausgeschlossen werden: „Die Definitionsmenge sind alle reellen Zahlen ohne 1.“ Man schreibt dies in der Sprache der Mathematik so an: ⅅ = R\{1} Merke Ó Erklärvideo r6f6ed DI x _ 2 5 1 _ 3 z2 7 _ 8 1 _ a 2 v _ 10 3 (a + 2) __ 4 a + b _ 5 x + y _ x – y y 3 __ 2 (x + 0) b2 __ 2 (3 + 1) 5 t _ 5 1 _ 3 f + 1 1 _ i 2 _ 3 k3 _ 2 k + 1 _ k – 1 k _ p DI Merke Muster Ó Erklärvideo r6ie4h Für eine Exkursion in ein Museum werden die Bus- und Eintrittskosten auf die Schülerinnen und Schüler aufgeteilt. Die Busfahrt kostet 450 € und der Eintritt kostet für die gesamte Gruppe 120 €. Evita stellt für die Reisekosten R eine Formel auf, wenn n Jugendliche mitfahren. R = 450 + 120 __ n Dann meint Evita: „Jetzt kann die Lehrerin für jede beliebige Anzahl an Teilnehmerinnen und Teilnehmern die Reisekosten berechnen.“ Ihre Sitznachbarin Aleyna sagt daraufhin: „Alle Zahlen darf sie für n aber nicht einsetzen!“ Weißt du, was Aleyna damit meint? ÓArbeitsblatt r6d374  Sprachliche Bildung und Lesen 78 Umkehraufgaben Gegeben ist der Umfang eines Kreises mit u = 5,0 m. Berechne den Radius und den Durchmesser des Kreises. Kreis u = d ∙ π | : π oder u = 2 ∙ r ∙ π | : 2 | : π u = 5,0 m u _ π = d r = d _ 2 u _ 2 ∙ π = r d = 2 ∙ r d ≈ ? d = 5 _ π r = 1,5915… __ 2 r = 5 _ 2 ∙ π d = 2 ∙ 0,7957… r ≈ ? d = 1,5915… ≈ 1,6 m r = 0,7957… ≈ 0,8 m r = 0,7957… ≈ 0,8 m d = 1,5915… ≈ 1,6 m 577 Berechne den Radius und den Durchmesser des Kreises. a) u = 3,0 cm b) u = 5,3 m c) u = 4,8 mm d) u = 0,12 km e) u = 36,1 m f) u = 2,5 dm g) u = 0,41 m h) u = 17,8 mm 578 Kreuze die Lücken so an, dass eine richtige Aussage entsteht. Ein Kreis mit einem Umfang von  , hat einen Durchmesser von  a)   b)   1 _ π Meter æ π Meter æ π Meter æ 1 _ π Meter æ 1 Meter æ 1 Meter æ 1 _ π Meter æ 2 π Meter æ π Meter æ 3,14 Meter æ 1 Meter æ 3 Meter æ Textaufgaben 579 Ein Kreis hat einen Radius von 5,0 m. a) Berechne seinen Umfang. b) Um das Wievielfache ändert sich der Umfang, wenn man den Radius i) verdoppelt? ii) verdreifacht? iii) halbiert? iv) verzehnfacht? 580 Gegeben sind ein Kreis mit dem Durchmesser d und ein Quadrat mit der Seitenlänge d. d = 10 cm b) d = 15 m c) d = 35 mm d) d = 0,8 m i) Um wie viel Meter ist der Umfang des Quadrates länger als jener des Kreises? ii) Um wie viel Prozent ist der Umfang des Quadrates länger als jener des Kreises? 581 Von einem runden Besprechungstisch ist die Länge des Durchmessers gegeben. a) d = 1,8 m b) d = 2,4 m c) d = 155 cm Wie viele Laufmeter Umleimer sind für den Besprechungs- tisch nötig? 582 Ein Rasensprinkler hat eine Reichweite von 4 m. Sebastian läuft 5-mal so um den Sprinkler, dass ihn das Wasser nicht berührt. Wie weit ist Sebastian dabei mindestens gelaufen? 583 Das größte Riesenrad der Welt steht in Dubai und hat einen Durchmesser von 250 m. Das Riesenrad im Wiener Prater hat einen Durchmesser von 56 m. Um wie viele Meter legt man im Riesenrad in Dubai pro Runde mehr zurück als in jenem in Wien? Muster Rechne mit dem Taschen- rechnerwert weiter. O DI M, O M, O M, O Umleimer sind Beschichtungen, die man an Seitenkanten von Platten anbringt M, O M, O So arbeitest Du mit Lösungswege 4 Die Lernziele eines Kapitels stehen direkt unter der Überschrift. Jedes Kapitel beginnt mit einer Aufgabe, die zeigt, wie die Inhalte des Kapitels mit Bereichen des täglichen Lebens in Zusammenhang stehen. Merke Im Merke-Kasten, befindet sich die wichtigste Theorie, mit der die folgenden Aufgaben gut zu lösen sind. Muster Ein Muster-Beispiel zeichnet einen möglichen Rechenweg vor, der zum Lösen der folgenden Aufgaben genutzt werden kann. 198 200 203 202 Eine grün markierte Aufgabennummer bedeutet, dass die Aufgabe dabei hilft, die Sprache der Mathematik zu erlernen. Sternchen verweisen auf die Übergreifende Kompetenz der Aufgabe. Der Code bei diesem Symbol führt zu zusätzlichen Materialien ins Digitale Zusatzmaterial. Ó pk6ht7 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

5 584 Ein Pferd läuft an einer x Meter langen Voltigierleine. Wie viele Runden muss das Pferd laufen, damit es eine Gesamtstrecke von einem Kilometer zurücklegt? a) x = 3 m b) x = 5 m c) x = 2 m 585 Ein Seil wird entlang des Äquators um die Erde (Erdradius: 6 378 km) gespannt. a) Wie lang müsste dieses Seil sein? b) Wie viele Zentimeter von der Erde entfernt wäre das Seil, wenn man es um 100 m verlängert? c) Wie lang müsste das Seil sein, damit Amira mit einer Größe von 1,70 m aufrecht darunter durchgehen kann? 586 Bei einem Traktor sind die Vorder- und Hinterreifen unterschiedlich groß. i) Welche Strecke legt der Vorder- bzw. der Hinterreifen pro Umdrehung zurück? ii) Wie oft muss sich der Vorderreifen drehen, bis sich der Hinterreifen einmal gedreht hat? a) vorne: d = 80 cm; hinten: d = 120 cm b) vorne: d = 60 cm; hinten: d = 180 cm 587 Tarek und Naomi laufen auf der Laufbahn in Laufhausen. Die Laufbahn hat die Maße wie im Bild. Naomi läuft auf der innersten Linie und Tarek läuft auf der äußersten Linie. Um wie viele Meter muss Tarek mehr laufen, wenn die vier Bahnen je 0,6 m breit sind? 588 Evas Schulweg ist 2,8 km lang. Wie oft dreht sich das Rad ihres Fahrrads dabei um die eigene Achse, wenn es a) 16 Zoll hat? b) 18 Zoll hat? c) 21 Zoll hat? Gecheckt? æ Ich kenne die Kreiszahl π und ihre Eigenschaften. 589 Vervollständige den Lückentext. Der U in einem Kreis ist immer ca. 3, -mal so lang wie sein D . æ Ich kann den Umfang eines Kreises berechnen. 590 Berechne den Umfang des Kreises mit a) d = 5,4 m b) r = 22,3 mm. æ Ich kann Umkehraufgaben zum Umfang des Kreises lösen. 591 Berechne den Radius und den Durchmesser eines Kreises mit einem Umfang von 78 cm. æ Ich kann Textaufgaben zum Umfang des Kreises lösen. 592 Ein Rad hat einen Durchmesser von 18 Zoll (1 Zoll š 2,54 cm). Wie viele Meter legt das Rad zurück, wenn es sich 15-mal dreht? Beim Voltigieren führt man auf dem Rücken eines Pferdes turnerische Übungen aus. M, O M, O M, O M, O 36,50 m 84,40 m Mit der Zollangabe wird der Raddurchmesser angegeben. 1 Zoll š 2,54 cm M, O Ó durchgerechnete Lösungen rp26ux DI O O M, O Ó Arbeitsblatt rp58zn 131 F Der Kreis Eine WortspeicherBox gibt Auskunft darüber, warum manche Worte in der Mathematik genutzt werden oder erklärt schwierige Begriffe. Eine Check-it-Box gibt nützliche Tipps, um die Aufgabe zu lösen. 198 200 203 202 Die Kästchen neben den Aufgabennummern geben an, wie schwer die Aufgabe ist. Ein Kästchen bedeutet leicht, zwei Kästchen bedeuten mittel und drei Kästchen bedeuten schwer. Der Gecheckt?- Bereich ist der Abschluss eines Kapitels. Hier kann man überprüfen, ob der Inhalt des Kapitels verstanden wurde. Prozesse des Kompetenzmodells – M Modellieren und Problemlösen – O Operieren (Rechnen und Konstruieren) – DI Darstellen und Interpretieren – V Vermuten und Begründen Die History-Box bzw. eine derart formatierte Aufgabe geben Einblicke in die Geschichte der Mathematik. ] Dieses Würfel-­ Symbol zeigt, dass die Aufgabe ein Rätsel ist. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

G Funktionen Reden wir darüber … Kennst du bereits eindeutige Zuordnungen? Hast du den Begriff „Funktion“ schon einmal gehört? Wenn ja, in welchem Zusammenhang? Funktionen werden oft auch in Zusammenhang mit Modellen genannt. Was versteht man dabei unter einem Modell? Wofür benötigt man Modelle? Welche Voraussetzungen werden bei Modellen getroffen? Mit Funktionen versucht man, die Wirklichkeit abzubilden und Entwicklungen vorherzusagen. Betrachte z.B. die beiden Graphen in den linken Abbildungen. In diesen Graphen wird versucht, die Anzahl von mit einem Virus neu infizierten Personen zu modellieren. Was sagst du zu den beiden Verläufen? Welcher der beiden Funktionsgraphen führt zu einer rascheren Verbreitung des Virus? Abbildung von 2 Funktionsgraphen x f(x) 200 400 600 800 1 000 1 200 1 2 3 4 5 6 7 8 9 f 0 x f(x) 100 200 300 400 500 600 1 2 3 4 5 6 7 8 9 f 0 In diesem Abschnitt lernst du eines der wichtigsten Werkzeuge der Mathematik kennen – die Funktionen. Mit ihrer Hilfe kann man Zusammenhänge zwischen zwei verschiedenen Größen beschreiben und versuchen, die Wirklichkeit berechenbar zu machen. Funktionen sind eindeutige Zuordnungen. Mit diesen hast du im Laufe deiner Schulzeit schon gearbeitet: ¥ Der Uhrzeit wird an einem bestimmten Ort die dort herrschende Temperatur zugeordnet. ¥ Einem Zeitpunkt wird die Anzahl der Menschen zugeordnet, die in einer Stadt leben. ¥ Jedem Menschen wird eine Sozialversicherungsnummer zugeordnet. Weiters hast du dich schon mit direkt und indirekt proportionalen Zusammenhängen beschäftigt. ÓLesetext rz5pz3 ÓSprachaufgabe ry9g8f 152 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

ææ Ich weiß, wie Zusammenhänge zwischen zwei Größen angegeben werden können. ææ Ich kann anhand der Graphen von Zuordnungen Wertetabellen und Pfeildiagramme erstellen und umgekehrt. Die getankte Menge Benzin und der Preis, der dafür zu bezahlen ist, hängen voneinander ab. Jeder Menge Benzin wird genau ein bestimmter Preis zugeordnet (verbale Beschreibung der Zuordnung). Diese Zuordnung kann auch in Form einer Tabelle geschrieben werden. Kostet ein Liter Benzin 1,60 €, ergibt sich folgende Tabelle: Benzin‑ menge in l 1 10 15 55 Preis in € 1,60 1,60 · 10 = 16 1,60 · 15 = 24 1,60 · 55 = 88 Statt einer Tabelle kann die Zuordnung auch durch ein Pfeildiagramm veranschaulicht werden: Wird jedes der Zahlenpaare (Liter | Euro), (1 | 1,60), (10 | 16), (15 | 24), (55 | 88) usw. als Punkt im Koordinatensystem dargestellt, erhält man die graphische Darstellung (den Graphen) der Zuordnung. Auf der waagrechten Achse wird die Menge in Liter angegeben, auf der senkrechten Achse der jeweils zugeordnete Preis in Euro. Daraus kann man Informationen ablesen: Es kosten z. B. 25 Liter Benzin 40 €. Umgekehrt ist ein Preis von 80 € für 50 Liter Benzin zu bezahlen. Angabe einer Zuordnung Werden zwei Größen (z.B. Menge – Preis) einander zugeordnet, kann diese Zuordnung 1) verbal 3) mit einem Pfeildiagramm 2) mit einer Werteabelle 4) mit einem Graphen angegeben werden. In manchen Fällen ist die Darstellung durch eine Formel möglich. Menge 1 l 10 l 15 l 55 l 1,6 € 16 € 24 € 88 € Preis Menge in Liter Preis in Euro 20 40 60 80 100 5 1015202530354045505560 80 € 40 € 25 l Benzin 50 l Benzin 0 Merke ÓArbeitsblatt rz9p5u Das Ablesen von Informationen aus dem Graphen kann nicht immer ganz exakt erfolgen. ÓErklärvideo s25q9w 24 Zusammenhänge aus dem Alltag Bertram ist mit seinem Vater an der Tankstelle und beobachtet die Anzeige. Die Anzeigen für die Menge des getankten Benzins und des zu bezahlenden Preises ändern sich dabei laufend. Bertram denkt sich: „An der großen Tafel bei der Einfahrt steht der Preis für einen Liter Benzin. Da kann ich mir doch für jede getankte Menge Benzin schon im Vorhinein den Betrag ausrechnen, den Papa bezahlen muss.“ 153 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Gegeben ist der Graph einer Zuordnung: a) Jedem Monat eines Jahres wird an einem bestimmten Ort die durchschnittliche Temperatur zugeordnet. b) 697 Im Laufe eines bestimmten Tages wird an einem Ort die Lufttemperatur in °C gemessen. Der Graph der Zuordnung ist gegeben. 698 Es sollen Wände neu gestrichen werden. Gegeben ist der Graph einer Zuordnung. 699 Gegeben ist der Graph einer Zuordnung. Muster Monat Durchschnittstemperatur °C 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 0 Jan Feb Mrz Apr Mai Juni Juli Aug Sep Okt Nov Dez a) Beschreibe die Zuordnung verbal. b) Erstelle eine Wertetabelle, in der du die Temperatur in jedem Monat einträgst. Monat Jän. Feb. März Apr. Mai Juni Juli Aug. Sept. Okt. Nov. Dez. Temp. in °C 0 1 5 10 14 18 21 20 14 12 6 4 DI Uhrzeit in Stunden Lufttemperatur in °C 6 12 18 24 4 8 12162024 0 a) Ergänze die Wertetabelle. Uhrzeit 0 6 12 16 20 24 Lufttemperatur in °C b) Stelle die Wertetabelle als Pfeildiagramm dar. O, DI Wandfläche (in m2) Farbe (in Liter) 2 4 6 8 0 102030405060 a) Beschreibe die Zuordnung in Worten. b) Erstelle eine Wertetabelle. Wandfläche in m2 10 20 30 40 50 Farbe in Liter c) Stelle die Wertetabelle als Pfeildiagramm dar. O, DI 0 Wochen Höhe in cm 30 60 90 1 2 3 4 a) Beschreibe die Zuordnung verbal. Gib einen Kontext an, in dem eine solche Zuordnung vorkommen könnte. b) Erstelle eine Wertetabelle und ein Pfeildiagramm, wo du die Höhe nach Woche 0,5; 1,5; 2; 3 und 4 einträgst.  Sprachliche Bildung und Lesen 154 24 Zusammenhänge aus dem Alltag Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

700 In der Graphik sind im zeitlichen Abstand von zwei Monaten die weltweiten monatlichen Besuche auf youtube.com (in Milliarden) von Mai 2019 bis September 2023 veranschaulicht. (Quelle: Statista, 2024) 701 In der Graphik ist der durchschnittliche Pro-Kopf-Verbrauch von Fleisch (in Kilogramm) in Österreich von 1950 bis 2022 dargestellt. (Quelle: Statista, 2024) 702 In der Graphik ist der Bioanteil (in Prozent) ausgewählter Fairtrade-Produkte in Deutschland in den Jahren 2018 bis 2024 angegeben. Kreuze die zutreffenden Aussagen an. (Quelle: Statista, 2025) Der Anteil an Bio-Schokolade ist von 2018 bis 2023 gesunken. æ Im Jahr 2022 war der Anteil von Bio-Kaffee höher als im Jahr 2024. æ Im betrachteten Zeitraum gibt es kein Jahr, in dem kein Bio-Honig auf dem Markt war. æ In den Jahren 2023 und 2024 war der Anteil des Bio-Tees über 85 %. æ Der Anteil des Bio-Zuckers hat nie 5 % überstiegen. æ O, DI Anzahl der Visits in Milliarden 26 28 30 32 34 36 38 Mai '19 Jul '19 Sep '19 Nov '19 Jan '20 Mär '20 Mai '20 Jul '20 Sep '20 Nov '20 Jan '21 Mär '21 Mai '21 Jul '21 Sep' 21 Nov '21 Jan '22 Mär '22 Mai '22 Jul '22 Sep '22 Nov '22 Jan '23 Mär '23 Mai '23 Jul '23 Sep '23 Nov '23 a) Beschreibe die Zuordnung in Worten. b) Erstelle eine Wertetabelle, in der du den angegebenen Monaten im Jahr 2023 die entsprechende Besucheranzahl zuordnest. c) In welchem der angegebenen Monate war im Zeitraum von 2019 bis 2023 das geringste bzw. das größte Besucheraufkommen und wie hoch war es? O, DI 1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005 2010 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 Verbrauch pro Kopf in kilogramm 0 10 20 30 40 50 60 70 Schwein Rind- und Kalbfleisch Geflügel 0,5 12,5 22,9 31,75 37,73 42,09 46,81 54,05 59,29 57,7 56,8 60,7 56,3 55,7 55,5 54,2 52,7 52,8 51,7 50,3 48,5 47,5 16,4 18,11 22,97 26,04 25,07 19,519,6 0,9 2,98 6,26 8,44 8,91 10,93 13,81 15,3 18 18,2 20,9 17,2 17,4 17,9 17,9 17,716,2 15,515,4 18 21 21,2 20,8 21,7 20,9 21,5 21,8 21 a) Beschreibe die Zuordnungen jedes Graphen in Worten. b) Erstelle drei Tabellen, in denen du den Jahren 2018 bis 2022 den Pro-KopfVerbrauch der jeweiligen Fleischsorte zuordnest. c) B eschreibe die Entwicklungen des Pro-Kopf-Verbrauchs für die drei Fleischsorten von 2018 bis 2022 in Worten. Der Ausdruck Prozentpunkte ist die Differenz zwischen zwei Prozentwerten. DI Trends der Produkte (in %) 2018–2024 40 80 2018 20 60 100 2019 2020 2021 2022 2023 2024 0 Reis Kakao/Trinkschokolade Tee Kaffee Südfrüchte Schokolade Süßwaren (ohne Schokolade und Eiscreme) Honig Zucker Eiscreme  Sprachliche Bildung und Lesen 155 G Funktionen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

703 Gegeben ist der Graph einer Zuordnung, die der Zeit in Minuten die Wasserhöhe in cm zuordnet. 704 Timea wandert gerne. Gegeben ist das Zeit-Ort-Diagramm einer ihrer Wanderungen. Kreuze die zutreffenden Aussagen an. Es gibt zwei Zeitintervalle, in denen Timea eine Pause macht. æ Am Ende der Wanderung ist Timea 10 km vom Ausgangspunkt entfernt. æ Timea legt bei ihrer Wanderung in einer Stunde 4 km zurück. æ Nach einer Stunde ist Timea halb so weit vom Ausgangspunkt entfernt wie nach sechs Stunden. æ Timea wandert insgesamt 8 km. æ 705 Die Geschwindigkeit v (in km/h) eines Formel-1-Autos in Abhängigkeit von der Zeit t (in Sekunden) ist graphisch dargestellt. a) Beschreibe den Graphen in Worten. b) Gib die ungefähre Geschwindigkeit des Rennautos nach 5 Sekunden, 20 Sekunden und 40 Sekunden an. 706 Gegeben ist der Graph einer Zuordnung, der von 1960 bis 2024 die Jahresmitteltemperatur in Deutschland zuordnet. Kreuze die zutreffenden Aussagen an. (Quelle: Statista, 2024) O, DI 0 Zeit in Minuten Wasserhöhe in cm 2 3 4 5 6 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a) Gib einen Kontext an, in dem eine solche Zuordnung vorkommen könnte. b) Gib die Wasserhöhen nach 1 Minute, 3 Minuten, 4 Minuten sowie 8 Minuten an. c) Was bedeutet es, wenn in bestimmten Bereichen der Graph waagrecht verläuft? O, DI 0 Zeit in h Entfernung vom Start in km 1 2 3 4 5 6 7 8 12345678910 O, DI Zeit in Sekunden Geschwindigkeit in km/h 50 100 150 200 250 300 350 5 10152025303540455055606570 0 DI Die Temperatur im Jahr 2024 ist höher als im Jahr 2020. æ Im Jahr 2021 misst man die tiefste Temperatur im ganzen Zeitraum. æ Von1960 bis 1975 steigt die Jahresmitteltemperatur um etwas mehr als 0,5 °C. æ Die Durchschnittstemperatur ist im Jahr 2000 deutlich höher als 1960. æ Man erkennt im Graphen einen deutlichen Anstieg der Jahresmitteltemperatur zwischen den Jahren 1985 und 1995. æ Jahresmitteltemperatur in Grad Celsius 7 °C 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 7,5 °C 8 °C 8,5 °C 9 °C 9,5 °C 10 °C 10,5 °C 11 °C  Sprachliche Bildung und Lesen 156 24 Zusammenhänge aus dem Alltag Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Ist eine Zuordnung als Wertetabelle gegeben, können die Zahlenpaare als Punkte in ein Koordinatensystem eingezeichnet und so der Graph der Zuordnung erstellt werden. 707 In der Wertetabelle ist der durchschnittliche Treibstoffpreis (in Euro) in den Jahren 2011 bis 2021 gegeben. Erstelle den Graphen für die Preisentwicklung in diesem Zeitraum. Verbinde die Punkte durch Strecken, um die Preisentwicklung besser zu veranschaulichen. Jahr 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 a) Diesel 1,33 1,41 1,38 1,30 1,12 1,03 1,11 1,22 1,21 1,05 1,24 b) Normalbenzin 1,36 1,45 1,39 1,35 1,20 1,11 1,17 1,26 1,24 1,08 1,28 (Quelle: Statista, 2025) a) b) 708 Die Tabelle zeigt die Entwicklung der Kaufkraft in Deutschland, Österreich und der Schweiz (DACH‑Länder) von 2012 bis 2024. Stelle die Entwicklung der Kaufkraft in diesem Zeitraum für i) Österreich, ii) Deutschland graphisch dar. Verbinde die Punkte durch Strecken, um die Entwicklung besser zu veranschaulichen. (Runde die Werte auf Tausender) i) ii) O Jahr Preis in € 0,90 0,80 1,00 1,10 1,20 1,30 1,40 Dieselpreis in Euro 1,50 2011 2013 2015 2017 2019 2021 Jahr Preis in € 0,90 0,80 1,00 1,10 1,20 1,30 1,40 Normalbenzinpreis in Euro 1,50 2011 2013 2015 2017 2019 2021 O Kaufkraft je Einwohnor in den DACH‑Ländern bis 2024 Kaufkraft je Einwohner in Deutschland, Österreich und der Schweiz von 2012 bis 2024 Schweiz Österreich Deutschland 2012 31 666 20 613 20 014 2013 36 351 21 295 20 621 2014 37 153 21 891 21 579 2015 43 514 22 067 21 449 2016 42 300 22 536 21 879 2017 42 142 22 597 22 239 2018 40 456 23 282 22 949 2019 42 067 24 067 23 779 2020 41 998 23 585 22 388 2021 40 739 24 232 23 637 2022 41 758 24 759 24 807 2023 49 592 26 671 26 271 2024 52 566 29 266 27 548 (Quelle: Statista, 2025) Jahr € 20 000 2012 21 000 22 000 23 000 24 000 25 000 26 000 27 000 28 000 29 000 2022 2024 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2023 Jahr € 20 000 2012 21 000 22 000 23 000 24 000 25 000 26 000 27 000 28 000 29 000 2022 2024 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2023 Kaufkraft = Durchschnittswert, der angibt, wie viel Euro die Menschen ungefähr pro Jahr zur Verfügung haben, um sich Dinge leisten zu können. 157 G Funktionen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

709 In der Tabelle ist der Anteil (in Prozent) von Fairtrade-Reis in Deutschland in den Jahren 2013 bis 2023 angegeben. Stelle die Entwicklung des Bioanteils graphisch dar. Verbinde die Punkte durch Strecken. Jahr 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 Bioanteil in % 64 68 77 61 84 81 93 96 98 99,5 100 (Quelle: Statista, 2024) 710 In der Tabelle sind die Facebook-Nutzerzahlen (in Millionen) in Österreich für den Monat September von 2018 bis 2024 gegeben. Stelle die Entwicklung der Nutzerzahlen graphisch dar. Jahr 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 Facebook-Nutzerzahlen in Millionen 3,78 4,38 4,61 4,90 5,12 5,20 5,41 (Quelle: Statista, 2024) 711 Ein Unternehmen verkauft im ersten Halbjahr des Jahres 2025 pro Monat die in der Tabelle angegebenen Stückzahlen eines Produkts. i) Zeichne ein Koordinatensystem und stelle die Entwicklung der Verkaufszahlen graphisch dar. Verbinde die Punkte durch Strecken. Was fällt dir auf? ii) Beschreibe die Entwicklung der Verkaufszahlen in Worten. Monat Jänner Februar März April Mai Juni Stückzahl eines Produkts 1 000 1 200 1 400 1 600 1 800 2 000 O, DI Jahr % 10 0 100 20 30 40 50 60 70 80 90 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 O, DI Jahr Millionen 1 2018 0 2 3 4 5 6 2019 2020 2021 2022 2023 2024 O, DI 158 24 Zusammenhänge aus dem Alltag Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

712 In der Wertetabelle ist der Pro-Kopf-Konsum von Brot, Feinbackwaren und Konditoreiartikel (auf Kilogramm gerundet) in Österreich von 2005 bis 2022 gegeben. Erstelle den Graphen für die Konsumwicklung in diesem Zeitraum. Verbinde die Punkte durch Strecken, um die Entwicklung besser zu veranschaulichen. Jahr 2005 2010 2015 2020 2022 Pro-Kopf-Konsum in kg 42 44 51 50 51 (Quelle: Statista, 2025) 713 Die Wertetabelle zeigt die durchschnittlichen Temperaturen (in °C) in Wien von 2014 bis 2024. Erstelle einen Graphen für die Durchschnittstemperaturen in diesem Zeitraum. Verbinde die Punkte durch Strecken, um die Entwicklung besser zu veranschaulichen. Jahr 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 durchschn. Temperatur in °C 12,50 12,60 12 12,20 13 13 12,30 11,10 12,20 13,10 13,60 (Quelle: Statista, 2025) Gecheckt? ææ Ich weiß, wie Zusammenhänge zwischen zwei Größen angegeben werden können. ææ Ich kann anhand der Graphen von Zuordnungen Wertetabellen und Pfeildiagramme erstellen und umgekehrt. 714 Der Graph zeigt die Schneehöhe (in cm) an einem bestimmten Ort zu bestimmten Uhrzeiten. i) Ergänze die Wertetabelle. ii) Stelle die Wertetabelle als Pfeildiagramm dar. 715 Die Wertetabelle zeigt die Entwicklung der Lehrlingszahlen (auf Hunderter gerundet) in der Hotellerie in Österreich von 2014 bis 2024. Erstelle einen Graphen, der jedem Jahr die Anzahl der Lehrlinge zuordnet. Verbinde die Punkte durch Strecken, um die Entwicklung besser zu veranschaulichen. Jahr 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 Lehrlinge 5 200 4 900 4 700 4 800 4 900 4 800 4 200 3 700 3 600 3 800 4 000 (Quelle: Statista, 2025) O O Ó durchgerechnete Lösungen s288p6 DI Uhrzeit Schneehöhe in cm 10 0 20 30 40 50 60 70 80 8 9 10111213141516171819202122 Uhrzeit 8:00 9:30 16:00 17:00 Schneehöhe in cm O, DI Ó Arbeitsblatt s2d6fk Jahr Anzahl Lehrlinge 1 000 2 000 3 000 4 000 5 000 6 000 Lehrlinge in der Hotellerie 2014 2016 2018 2020 2022 2024 159 G Funktionen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

25 Funktionen – Grundbegriffe ææ Ich weiß, was Funktionen sind und kann den Definitionsbereich und den Wertebereich einer Funktion angeben. ææ Ich weiß, was man unter einem Argument (einer Stelle) einer Funktion versteht. ææ Ich weiß, was man unter dem Funktionswert versteht. ææ Ich kann Funktionen in mathematischer Schreibweise angeben und in Kontexten deuten. Abhängigkeit von Größen In Flugzeugen sind Instrumente verbaut, die zu jedem Zeitpunkt die aktuelle Höhe aufzeichnen. Die Zuordnung „Zeit ¥ aktuelle Flughöhe“ ist graphisch veranschaulicht: 716 s(t) beschreibt den Weg in Metern, den ein Auto in t Sekunden zurücklegt. Interpretiere die Aussage im gegebenen Kontext. a) s(2) = 28 b) s(10) > s(12) c) s (8) d) s(5) < s(6) e) s(10) – 80 = s(4) 717 h(t) beschreibt die Höhe eines Ballons über dem Boden in Metern nach t Minuten. Interpretiere die Aussage im gegebenen Kontext. a) h(1) = 180 b) h(8) – h(5) = 540 c) h(30) = 0 d) h(20) < h(25) 718 Gegeben ist die Zuordnung s. Der Ausdruck s(t) gibt den von einem Fahrzeug zurückgelegten Weg (in Meter) nach t Sekunden an. Kreuze die richtigen Aussagen an. ÓArbeitsblatt s2f8mv Flugzeit t in min Flughöhe h(t) in m 100 200 300 400 500 600 700 800 Flugbarogramm 0 102030405060 Da die Flughöhe h (in Meter) von der Zeit t (in Minuten) abhängt, schreibt man auch h (t) (sprich: „h von t“). Somit bedeutet h(25) = h(60) = 500, dass nach 25 Minuten bzw. 60 Minuten Flugzeit die Höhe des Flugzeugs 500 m beträgt. Zusammenhänge lassen sich so kürzer und übersichtlicher beschreiben. DI, V DI, V DI s(3) = 11 m æ Das Fahrzeug legt in 11 Sekunden einen Weg von 16 m zurück. æ Das Fahrzeug steht zwischen der 6. und 9. Sekunde still. æ s(6) – s(2) = 4 m æ s(1) = 6 m æ 0 t s(t) 2 4 6 8 10 12 14 16 18 1234567891011 s Tina und Bärbel sprechen über die letzte Mathematikstunde. „Wir haben eine Möglichkeit kennengelernt, mit der wir die Geschwindigkeit eines Autos nach einer bestimmten Zeit berechnen konnten.“, sagt Tina, „Das find ich interessant.“ Darauf meint Bärbel: „Ja schon, aber könnte man dann auch der Geschwindigkeit des Autos die Zeit zuordnen, zu der das Auto eine bestimmte Geschwindigkeit hatte?“ Tina erwidert: „Kann man die Zeit eindeutig angeben? Das Auto könnte ja dieselbe Geschwindigkeit zu unterschiedlichen Zeiten gehabt haben.“ 160 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

719 Gegeben ist die Zuordnung v. Der Ausdruck v(t) gibt die Geschwindigkeit (in m/s) eines Körpers nach t Sekunden an. i) Gib die Geschwindigkeit nach 8 Sekunden an. ii) In welchen Zeitintervallen wird der Körper schneller? iii) Gib das Zeitintervall an, in dem der Körper langsamer wird. iv) Beschreibe die Geschwindigkeit von der 3. bis zur 6. Sekunde. v) Gib den Wert v(0) an und deute ihn im gegebenen Kontext. vi) Nach welcher Zeit hat der Körper die Geschwindigkeit 30 m/s? Funktion und Funktionsgraph Eine eindeutige Zuordnung zwischen zwei Größen wird als Funktion bezeichnet. Die erste Größe ist die unabhängige Variable, sie wird als Stelle oder Argument bezeichnet (z. B. x, t, …). Die zweite Größe ist die abhängige Variable, sie wird als Funktionswert bezeichnet. Man schreibt allgemein f(x) = y und sagt: Der Funktionswert an der Stelle x ist y. Jedem x-Wert (jeder Stelle) wird genau ein y-Wert (Funktionswert) zugeordnet. Das Schaubild einer Funktion wird als (Funktions-) Graph bezeichnet und mit dem Namen der Funktion (v, f, usw.) beschriftet. Die waagrechte Achse wird mit der unabhängigen Variable beschriftet, die senkrechte mit der abhängigen. Begründe, ob es sich bei der gegebenen Zuordnung, um eine Funktion handelt oder nicht. a) b) c) a) Die Zuordnung ist keine Funktion, da dem Wert 2 sowohl –1 als auch 0 zugeordnet wird. Die Zuordnung ist nicht eindeutig. b) Die Zuordnung ist eine Funktion, da jedem x genau ein f(x) zugeordnet wird. Die Zuordnung ist eindeutig. c) Die Zuordnung ist keine Funktion, da z.B. dem Wert 2 sowohl 1 als auch 3 zugeordnet wird. Die Zuordnung ist nicht eindeutig. 720 Begründe, ob es sich um bei der Zuordnung um eine Funktion handelt oder nicht. a) x –3 –1 0 5 b) x –1,5 –1 0 1,5 f (x) 1 1 2 6 f (x) –2 –1 0 2 c) x 1 2 3 4 d) x –3,5 –3,5 –2,5 –1,5 f (x) –3 –3 –3 –3 f (x) –1 –2 –3 –3 DI 0 t v(t) 5 10 15 20 25 30 35 12345678910 v Merke 0 x f(x) f(x) abhängige Variable (Funktionswert) unabhängige Variable (Stelle, Argument) x f Graph Muster x 1 2 2 3 f(x) –3 –1 0 1 x f (x) 3 5 – 3 – 2 – 2 3 0 x f(x) 1 2 3 4 1 2 3 4 Ó Erklärvideo s2p3ps DI, V  Sprachliche Bildung und Lesen 161 G Funktionen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

721 Kreuze die Funktionsgraphen an und begründe deine Entscheidung. f(x) x f(x) x f(x) x f(x) x f(x) x æ æ æ æ æ 722 Welcher der Graphen gehört zu einer Funktion? Kreuze an. Begründe deine Entscheidung. f(x) x f(x) x f(x) x f(x) x f(x) x æ æ æ æ æ 723 Begründe, ob es sich bei der Zuordnung um eine Funktion handelt oder nicht. a) b) c) d) e) f) g) h) 724 In der Wertetabelle wird für das Jahr 2024 die Anzahl der Sonnenstunden (in 1 000) in ausgewählten österreichischen Städten angegeben. Entscheide, ob die den Städten zugeordneten Sonnenstunden eine Funktion darstellen, und begründe deine Entscheidung. DI, V DI DI, V x f f (x) – 3 0 3 1 2 3 x f (x) 1 2 3 4 5 6 f x f (x) – 1 2 3 4 – 3 – 2 5 f x f (x) – 2 – 1 0 1 4 0 2 f x f f (x) 5 1 2 3 x f (x) 3 4 5 – 1 f x f (x) – 3 5 7 8 – 1 – 2 0 1 f x f (x) – 2 2 – 3 – 2 1 3 f DI, V Stadt Anzahl der Sonnenstunden (gerundet auf Hunderter) Eisenstadt 2,2 Wien (Hohe Warte) 2,1 Graz (Universität) 2,1 St. Pölten 1,9 Innsbruck (Flughafen) 1,9 Klagenfurt (Flughafen) 1,9 Linz 1,8 Salzburg (Freisaal) 1,6 Bregenz 1,5  Sprachliche Bildung und Lesen 162 25 Funktionen – Grundbegriffe Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Gegeben ist der Graph der Funktion f, die jeder Stelle x den Funktionswert f(x) zuordnet. i) Beschrifte die Achsen mit der unabhängigen bzw. abhängigen Variable sowie den Funktionsgraphen. ii) L ies aus dem Graphen die Funktionswerte f(– 2) und f(4) ab, beschreibe die Zuordnung in Worten. iii) Beschreibe f(0) < f(2) in Worten. i) Beschrifte die waagrechte Achse mit x und die senkrechte Achse mit f(x). Der Graph wird mit f bezeichnet. ii) f(– 2) = 1 und f(4) = 4 w Der Funktionswert an der Stelle – 2 ist 1 und der Funktionswert an der Stelle 4 ist 4. iii) Der Funktionswert an der Stelle 0 ist kleiner als der Funktionswert an der Stelle 2. 725 Beschrifte die Achsen mit der unabhängigen bzw. abhängigen Variable sowie den Funktionsgraphen. a) f (x) b) v (t) c) g (r) d) h (d) 726 Korrigiere die falsche Beschriftung des Funktionsgraphen bzw. der Achsen. a) b) c) d) 727 Schreibe die in Tabellenform gegebene Funktion in der Form f(x) = y an und formuliere den Zusammenhang in Worten. Verwende dabei die Begriffe Stelle und Funktionswert. a) b) c) 728 Gib in mathematischer Schreibweise an. a) Die Funktion f hat an der Stelle – 2 den Funktionswert 12. b) An der Stelle 5 hat die Funktion g den Funktionswert – 5. c) Die Funktion h nimmt für das Argument 0 den Funktionswert – 0,5 an. d) Die Funktion f nimmt an den Stellen – 2 und 3 jeweils den Funktionswert 1,4 an. 729 Kreuze die richtigen Aussagen an. f(3) ist der Funktionswert an der Stelle 3. g(4) = – 2 beschreibt den Funktionswert an der Stelle – 2. H(2) wird als unabhängige Variable bezeichnet. x = – 0,5 wird als Stelle oder Argument bezeichnet. x = – 1 nennt man abhängige Variable. æ æ æ æ æ Muster 0 1 2 3 4 5 1 –5 –4 –3 –2 –1 2 3 4 5 6 0 x f(x) 1 2 3 4 5 1 –5 –4 –3 –2 –1 2 3 4 f f(4) = 4 f(–2) = 1 5 6 ÓErklärvideo s3282w DI DI x g g(x) h x h(x) t s s(t) v u u(v) M x – 2 0 3 f (x) 4 0 9 x – 1 1 2 f (x) – 4 4 8 x – 4 – 2 – 1 f (x) –2 –1 –0,5 M, DI DI  Sprachliche Bildung und Lesen 163 G Funktionen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

730 Gegeben ist der Graph einer Funktion. 731 Gegeben ist der Graph der Funktion f. Kreuze die richtigen Aussagen an. 732 Beschreibe in Worten. Verwende die Begriffe Stelle und Funktionswert. a) f(3) = 6 b) g(–1) > g(1) c) h(5) = h(10) d) z(7) < z(8) 733 Gegeben ist die Funktion v. Der Ausdruck v(t) gibt die Geschwindigkeit (in m/s) eines Körpers nach t Sekunden an. Kreuze die richtigen Aussagen an. Definitionsmenge und Wertemenge Unter der Definitionsmenge D einer Funktion f versteht man die Menge aller x-Werte, denen eindeutig ein Wert f(x) zugeordnet wird. Die Menge aller f(x)-Werte wird als Wertemenge W bezeichnet. DI 0 x f(x) 1 2 3 4 –1 1 2 3 4 –4 –3 –2 –1 f i) Gib den Funktionswert an der Stelle 4 an. ii) Bestimme f(– 3), f(–1) und f(1). iii) An welchen Stellen ist der Funktionswert 2? iv) Für welche x gilt f(x) = 1? v) Gib zwei Argumente an, wo der Funktionswert jeweils 3 ist. vi) An welcher Stelle schneidet der Graph die waagrechte Achse? DI 0 x f(x) 1 2 3 4 –1 –2 –3 1 2 3 4 –4 –3 –2 –1 f Die Funktionswert an der Stelle 1 ist – 2. æ f (2) = 0 æ Der Funktionswert an der Stelle 0 ist 2. æ Der Funktionswert an der Stelle 2 ist größer als der Funktionswert an der Stelle 0. æ f(1) < f(2) æ DI DI 0 t v(t) 5 10 15 20 25 30 35 12345678910 v Es gibt ein Zeitintervall, in dem Geschwindigkeit des Körpers konstant ist. æ Der Funktionswert an der Stelle 3 ist kleiner als der Funktionswert an der Stelle 9. æ v(30) = 10 æ Nach 1,5 und 6,5 Sekunden beträgt die Geschwindigkeit jeweils 20 m/s. æ Für das Argument 0 beträgt der Funktionswert 10. æ 0 x f(x) 1 2 3 4 –1 –2 1 –1 2 3 4 5 6 7 f D W Betrachtet man den Graphen der Funktion f, sieht man, dass jeder reellen Zahl von –1 bis 7 genau ein Wert im reellen Zahlenbereich von 0 bis 4 zugeordnet wird. Die Menge der Zahlen von –1 bis 7 wird als Definitionsmenge D der Funktion f bezeichnet. Die Menge der Zahlen von 0 bis 4 heißt Wertemenge W der Funktion f. Merke Ó Erklärvideo s37ka5  Sprachliche Bildung und Lesen 164 25 Funktionen – Grundbegriffe Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

734 Beschreibe den Definitionsbereich D und den Wertebereich W der Funktion f in Worten. a) b) c) d) 735 Die Funktion s beschreibt den Weg s(t) in Kilometer, den eine Radfahrerin t Stunden nach dem Start zurückgelegt hat. Beschreibe den Definitionsbereich D und den Wertebereich W von s in Worten. a) b) c) d) Die Funktion g ordnet jeder Person in einer Gruppe die Körpergröße in cm zu. Interpretiere die Aussagen im Kontext. i) g(Simon) = g(Hubert) ii) g(Eva) > g(Erika) iii) g(Susi) + 3 = g(Simon) i) Simon und Hubert haben dieselbe Körpergröße. ii) Eva ist größer als Erika. iii) Susi ist um 3 cm kleiner als Simon. 736 Die Funktion h ordnet jeder Schülerin/jedem Schüler einer Schule ihre/seine Haarfarbe zu. a) Interpretiere die Aussagen im Kontext. i) h(Susi) = blond ii) h(Herbert) = h(Susi) iii) h(Timo) = h(Gerda) = braun b) Beschreibe die Definitionsmenge D und Wertemenge W der Funktion h in Worten. c) Es wird die Haarfarbe einer Person zugeordnet. Begründe, dass diese Zuordnung keine Funktion ist. Gecheckt? ææ Ich weiß, was Funktionen sind und kann den Definitionsbereich und Wertebereich angeben. 737 Kreuze die beiden Funktionen an. æ æ æ æ æ ææ Ich weiß, was man unter einem Argument (einer Stelle) einer Funktion versteht. 738 Gegeben ist die Funktion w(c) = p. Benenne die Teile der Funktion. a) w b) c c) w (c) d) p ææ Ich weiß, was man unter dem Funktionswert versteht. ææ Ich kann Funktionen in mathematischer Schreibweise angeben und in Kontexten deuten. 739 h(t) beschreibt die Höhe (in m) eines senkrecht nach oben geworfenen Balls nach t Sekunden. Interpretiere den Ausdruck. a) h (2) b) h(3) > h(1) c) h(1) = h(3) d) h(1) + 2,5 = h(2) DI, V 0 x f(x) 1 –1 –2 2 1 2 f –3 –2 –1 0 x f(x) 1 –1 –2 2 1 2 f 3 3 –1 0 x f(x) 1 –1 –2 2 1 2 f –3 –2 –1 3 0 x f(x) 1 –1 –2 2 1 2 f 3 –2 –1 DI, V 0 t s(t) 10 20 s 1 2 3 0 t s(t) 10 20 s 1 2 3 0 t s(t) 10 20 s 1 2 3 0 t s(t) 10 20 s 1 2 3 Muster M, DI, V Ó durchgerechnete Lösungen s3a86a DI D W 0 – 1 4 6 – 1 0 1 2 D W – 3 – 1 4 5 – 6 D W 1 5 1 – 5 2 5 3 – 5 D W D W DI, V DI, V Ó Arbeitsblatt s3g99f  Sprachliche Bildung und Lesen 165 G Funktionen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

26 Darstellen von Funktionen ææ Ich weiß, was Funktionsgleichungen sind. ææ Ich kann Funktionswerte bestimmen und Wertetabellen aufstellen. ææ Ich kann den Graphen einer Funktion zeichnen. ææ Ich kann zu Funktionswerten passende Stellen ermitteln. Zuordnungen bzw. Funktionen (eindeutige Zuordnungen) können oft auch formelhaft dargestellt werden. Eine Funktionsgleichung beschreibt den Zusammenhang zwischen einer unabhängigen Variablen x und dem zugeordnetem Funktionswert f(x) (oder y) durch einen Term. Beispiel: Für die Funktion „Dividiere das Quadrat einer Zahl x durch zwei.“ lautet die Funktionsgleichung: f (x) = ​​x​ 2​ _ 2 ​ oder y = ​ x2 _ 2 ​. Der Ausdruck rechts vom Gleichheitszeichen, hier ​ x2 _ 2 ​, heißt Funktionsterm. 740 Kreuze alle Funktionsgleichungen an. g(x)=7x−2 y = ​x​2 ​+ 1 ​x​3 ​− 2 x 2 − 6 x H (x) = ​8 ​x​ 3​ _ 5 ​ æ æ æ æ æ 741 Gib die Funktionsgleichung für x * R an. a) Funktion f: „Eine Zahl aus R wird verdoppelt und um eins verkleinert.“ f (x) = b) Funktion h: „Das Quadrat einer Zahl aus R wird verdreifacht.“ c) Funktion g: „Eine Zahl aus R wird vervierfacht und um drei vergrößert.“ d) Funktion z: „Die dritte Potenz der Zahl wird halbiert.“ ÓArbeitsblatt s3mg56 Merke Ó Erklärvideo s3ns48 DI DI In Europa brennt es in den heißen und trockenen Sommermonaten immer öfter. In der Graphik ist u.a. die in der Europäischen Union von Waldbränden betroffene Fläche für die Jahre 2022 und 2023 veranschaulicht. Wie viel Hektar Fläche waren 2022 Ende Juli ungefähr betroffen? Wann ist es 2022 in der EU auf ungefähr 600 000 Hektar zu Waldbränden gekommen? Wie viel Hektar Fläche waren Anfang April 2023 ungefähr betroffen? Waldbrandjahr 2023 – über Durchschnitt, unter Vorjahr Von Waldbränden betroffene Fläche (kumuliert) in der EU (in Hektar)* * erfasst werden nur Feuer mit einer betroffenen Fläche von 30+ Hektar Quelle: European Forest Fire Information Systems 2023 Jan CC = Feb Mrz statista Apr Mai Jun Jul Aug Sep Okt Nov Dez 2022 Mittelwert 2006–2022 800 000 600 000 400 000 200 000 0 346 295 259 919 785 553 Eine Mathematikerin modelliert den Mittelwert 2006–2022 mit der Formel 31 481 · (x – 1). Setzt man für x die Werte 1, 2, …, 12 ein, soll man die jeweiligen Mittelwerte für Jänner, Februar, …, Dezember erhalten. Berechne für x = 6 und x = 8 die jeweiligen Werte und vergleiche mit den ungefähren Werten, die man aus dem Graphen ablesen kann. Wie gut ist das Modell der Mathematikerin? Kann man eine Zuordnung immer sinnvoll durch eine Formel beschreiben? 166 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Gegeben ist die Funktion f: „Einer ganzen Zahl wird die Hälfte dieser Zahl zugeordnet.“ i) Gib die Funktionsgleichung an. ii) Erstelle für die Argumente x * {– 3; − 2; 0} eine Wertetabelle. i) f(x) = ​x _ 2 ​ ii) Berechnung der Funktionswerte: f(–3) = −​ 3 _ 2 ​= − 1,5 f(–2) = −​2 _ 2 ​= − 1 f(0) = ​0 _ 2 ​= 0 Wertetabelle: 742 Gib die Funktionsgleichung an und erstelle für die x-Werte –1, – 0,5, 0, 1, 4 eine Wertetabelle. a) f: „Einer Zahl x wird das Doppelte dieser Zahl zugeordnet.“ b) g: „Einer Zahl x wird das Quadrat dieser Zahl zugeordnet. c) h: „Einer Zahl x wird ein Drittel dieser Zahl zugeordnet.“ d) j: „Einer Zahl x wird die um 8 verkleinerte Zahl zugeordnet.“ e) t: „Einer Zahl x wird dieselbe Zahl zugeordnet.“ 743 Gegeben ist die Funktionsgleichung f(x) = − ​x _ 2 ​+ 1 mit x * {−4, −3, −2, −1, 0, 1, 2}. Kreuze die richtigen Aussagen an. Die Zahlenpaare in der Wertetabelle können als Punkte in einem Koordinatensystem eingezeichnet werden. Unterscheide dabei den Funktionswert f(x) = y und den Punkt mit den Koordinaten (x|y) = (x|f(x)). Funktionsgraph Ist f eine Funktion, die jedem x den Wert f(x) zuordnet, so bilden alle Punkte mit den Koordinaten (x | f(x)) den Graphen der Funktion. Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = ​x + 1 _ 2 ​. Berechne den Funktionswert f(−7) und gib die Koordinaten des Punktes auf dem Graphen von f an. f(−7) = ​ (− 7) + 1 __ 2 ​= − ​ 6 _ 2 ​= −3. Der Punkt (−7|−3) liegt auf dem Graphen von f. 744 Bestimme den Funktionswert an der gegebenen Stelle und gib die Koordinaten des Punktes auf dem Funktionsgraphen an. a) f(x) = −5x, f(4) b) h(x) = ​x + 1 _ 4 ​, h (3) c) s(x) = ​ ​x​2​ _ 2 ​, x = 6 d) g(x) = 2x − 1, g(–1) e) f(x) = ​x​2​, f(– 7) f) h(x) = −​x​2 ​+ 1, x = − 3 Muster x f (x) – 3 – 1,5 – 2 – 1 0 0 O, DI DI Der Funktionswert an der Stelle 0 ist – 1. æ Es gibt kein Argument, das kleiner als – 2 ist. æ An der Stelle 2 ist der Funktionswert 0. æ Die Funktionswerte liegen zwischen 0 und 3. æ Es gibt eine Stelle x, für die x = – f(x) gilt. æ Merke Ó Erklärvideo s3qq3n 0 x f(x) f(x3) f(x2) (x1 | f(x1)) (x2 | f(x2)) (x3 | f(x3)) f f(x1) x1 x2 x3 Muster DI 167 G Funktionen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = ​​x​2​ _ 2 ​und D = ℝ. Erstelle eine Wertetabelle und zeichne den Graphen von f. 1. Schritt: Erstelle für beliebige ausgewählte reelle Argumente eine Wertetabelle. 2. Schritt: Zeichne die Zahlenpaare aus der Wertetabelle als Punkte in ein Koordinatensystem und verbinde sie zu einer glatten Kurve. 745 Zeichne die gegebenen Punkte A = (– 4 | yA), B = (– 2 | yB), C = (0 | yC), D = (4 | yD), E = (6 | yE) in den Graphen ein. Gib die jeweiligen ganzzahligen Funktionswerte an. a) b) 746 Erstelle eine Wertetabelle und zeichne den Graphen. a) f(x) = x b) h(x) = 2x c) t(x) = 3x –1 d) h(x)=−x+1 e) f(x) = –3x + 2 f) g(x) = 2x – 4 g) h(x) = ​x​2​ h) s(x) = ​x​2 ​+ 1 i) t(x) = x2 − 1 j) r(x) = ​ 3 x _ 5 ​ k) w(x) = ​ ​x​2​ _ 2 ​ l) f(x) = ​ ​x​3​ _ 2 ​ Gegeben ist die Funktion g mit g(x) = 3 x2 – 1 und die Punkte P = (–3|26) und Q = (–1|–2). Überprüfe, ob die Punkte auf dem Graphen der Funktion liegen. Liegt ein Punkt auf dem Graphen einer Funktion, muss man für den gegebenen x-Wert den entsprechenden y-Wert erhalten. Punkt P überprüfen: Man setzt für x den Wert – 3 ein, d.h. g(– 3) = 3 · (– 3)2 – 1 = 3 · 9 – 1 = 27 – 1 = 26. Da 26 die y-Koordinate des Punkts P ist, liegt der Punkt P auf dem Graphen von g. Punkt Q überprüfen: Man setzt für x den Wert –1 ein, d. h. g(– 1) = 3 · (– 1)2 – 1 = 3 · 1 – 1 = 3 – 1 = 2. Da 2 ≠ – 2 (= y-Wert des Punktes Q), liegt der Punkt Q nicht auf dem Graphen von g. 747 Überprüfe, ob der gegebene Punkt P auf dem Graphen der Funktion liegt. a) f(x) = −4x +1, P = (−3|13) b) h(x) = 3x − ​x​2​, P = (2 | 2) c) z(x) = ​2 − x _ 3 ​, P = (− 4 | 2) d) g(x) = −​ ​x​2​ _ 2 ​, P = (− 3 | 4,5) e) w(x) = ​x​3 ​− 1, P = (−1|0) f) u(x) = ​1 − ​x​ 2​ _ 4 ​, P = ​2 1 | ​ 1 _ 4 ​3​ Muster Ó Erklärvideo s3s99g x f (x) – 3 ​ (– 3)2 _ 2 ​= 4,5 w (– 3 | 4,5) – 2 ​ (– 2)2 _ 2 ​= 2 w (– 2 | 2) – 1 0,5 w (– 1 | 0,5) 0 0 w (0 | 0) 1 0,5 w (1 | 0,5) 2 2 w (2 | 2) 3 4,5 w (3 | 4,5) 0 x f(x) 1 2 f 3 4 1 2 3 –1 –2 –3 DI 0 x f(x) 1 2 –1 –2 –3 –4 –5 –6 1 2 f 3 4 5 6 7 8 –4 –3 –2 –1 0 x f(x) 1 2 –1 –2 –3 –4 –5 –6 1 2 f 3 4 5 6 –6 –5 –4 –3 –2 –1 O, DI Setze für x verschiedene Werte ein. Muster O, DI Berechne an der gegebenen Stelle den Funktionswert. 168 26 Darstellen von Funktionen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

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