Lösungswege 4, Schulbuch

1. Auflage (Druck 0001) © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2026 www.oebv.at Alle Rechte vorbehalten. Jede Art der Vervielfältigung, auch auszugsweise, gesetzlich verboten. Redaktion: Melanie Zimmermann, Wien Herstellung: Bianca Mannsberger, Wien Umschlaggestaltung: Petra Michel, Essen Layout: Petra Michel, Essen Illustrationen: Angelika Citak, Wipperfürth Satz: Da-TeX Gerd Blumenstein, Leipzig Druck: Ferdinand Berger & Söhne Ges.m.b.H., Horn ISBN 978-3-209-12254-4 (Die Lösungswege US SB 4 + E-Book) ISBN 978-3-209-12258-2 (Die Lösungswege US SB 4 mit E-BOOK+) ISBN 978-3-209-13063-1 (Die Lösungswege US SB 4 E-Book Solo) ISBN 978-3-209-13067-9 (Die Lösungswege US SB 4 E-BOOK+ Solo) Lösungswege 4, Schulbuch + E-Book Schulbuchnummer: 225480 Lösungswege 4, Schulbuch mit E-BOOK+ Schulbuchnummer: 225482 Lösungswege 4, Schulbuch E-Book Solo Schulbuchnummer 225483 Lösungswege 4, Schulbuch E-BOOK+ Solo Schulbuchnummer 225485 Mit Bescheid des Bundesministeriums für Bildung vom 09. Dezember 2025, Geschäftszahl: 2025-0.209.674, gemäß § 14 Absatz 2 und 5 des Schulunterrichtsgesetzes, BGBl. Nr. 472/86, und gemäß den derzeit geltenden Lehrplänen als für den Unterrichtsgebrauch für die 4. Klassen an Mittelschulen im Unterrichtsgegenstand Mathematik (Lehrplan 2023) und für die 4. Klassen an allgemein bildenden höheren Schulen – Unterstufe im Unterrichtsgegenstand Mathematik (Lehrplan 2023) geeignet erklärt. Dieses Werk wurde auf der Grundlage eines zielorientierten Lehrplans verfasst. Konkretisierung, Gewichtung und Umsetzung der Inhalte erfolgen durch die Lehrerinnen und Lehrer. Liebe Schülerin, lieber Schüler, du bekommst dieses Schulbuch von der Republik Österreich für deine Ausbildung. Bücher helfen nicht nur beim Lernen, sondern sind auch Freunde fürs Leben. Kopierverbot Wir weisen darauf hin, dass das Kopieren zum Schulgebrauch aus diesem Buch verboten ist – § 42 Abs. 6 Urheberrechtsgesetz: „Die Befugnis zur Vervielfältigung zum eigenen Schulgebrauch gilt nicht für Werke, die ihrer Beschaffenheit und Bezeichnung nach zum Schul- oder Unterrichtsgebrauch bestimmt sind.“ Data-Mining-Verbot Die Nutzung der Inhalte dieses Werkes für Text- und Data-Mining im Sinne des § 42h Abs. 6 UrhG ist ausdrücklich vorbehalten und daher verboten. Die Inhalte dieses Werkes dürfen auch nicht zur Entwicklung, zum Training und/oder zur Anreicherung von KI-Systemen, insbesondere von generativen KI-Systemen, verwendet werden. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Mathias Bortenschlager Andreas Fischer Max Koller Julia Marsik Markus Olf Markus Wittberger Lösungswege Mathematik 4 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

A Die reellen Zahlen..................... 6 Die Menge der rationalen Zahlen.. . . . . . . . . . . . 7 Die Menge der reellen Zahlen.. . . . . . . . . . . . . . . 14 Rechnen mit Quadratwurzeln.. . . . . . . . . . . . . . . . 20 Rechnen mit Kubikwurzeln .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Zusammenfassung .......................... 28 Selbstkontrolle.............................. 29 DIGI Rechnen mit reellen Zahlen............ 32 B Der Lehrsatz des Pythagoras .. . . . . . . . 34 Der Lehrsatz des Pythagoras im rechtwinkligenDreieck....................... 35 Satz des Pythagoras in ebenen Figuren anwenden.................................. 40 Satz des Pythagoras in Quadern und Würfeln anwenden................................... 48 Satz des Pythagoras in quadratischen Pyramidenanwenden........................ 52 Zusammenfassung.......................... 56 Selbstkontrolle.............................. 57 DIGI Der Satz des Pythagoras mit Geogebra. . . 60 C Terme und Bruchterme. . . . . . . . . . . . . . . 62 Terme aufstellen und interpretieren.. . . . . . . . . . 63 RechnenmitTermen......................... 68 FaktorisierenvonTermen.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Bruchterme.................................. 78 Zusammenfassung .......................... 84 Selbstkontrolle.............................. 85 D Statistik................................ 88 Statistische Kennzahlen und Häufigkeitsverteilungen.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Kreuztabellen................................ 96 Zusammenfassung .......................... 100 Selbstkontrolle.............................. 101 E Gleichungen und Bruchgleichungen . . 104 Lineare Gleichungen in einer Variablen .. . . . . . 105 Formeln..................................... 110 Bruchgleichungen........................... 114 Textgleichungen............................. 118 Zusammenfassung .......................... 122 Selbstkontrolle.............................. 123 F Der Kreis................................ 126 DerUmfangdesKreises...................... 127 Der Flächeninhalt des Kreises . . . . . . . . . . . . . . . . 132 DerKreisring................................ 136 Der Kreissektor und der Kreisbogen.. . . . . . . . . . 140 Zusammengesetzte Figuren.. . . . . . . . . . . . . . . . . 144 Zusammenfassung .......................... 148 Selbstkontrolle.............................. 149 G Funktionen .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 Zusammenhänge aus dem Alltag.. . . . . . . . . . . . 153 Funktionen – Grundbegriffe.. . . . . . . . . . . . . . . . . 160 DarstellenvonFunktionen.. . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 LineareFunktionen.......................... 170 NichtlineareFunktionen.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 Zusammenfassung .......................... 186 Selbstkontrolle.............................. 187 DIGI Analyse von Funktionen mit Excel .. . . . . 190 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2 Inhalt Zahlen und Maße Variablen und Funktionen Figuren und Körper Daten und Zufall Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

H Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 Lineare Gleichung mit zwei Variablen.. . . . . . . . 193 Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen graphisch lösen.. . . . . . . . . . . . . . 194 Rechnerische Lösungsverfahren .. . . . . . . . . . . . . 202 Textaufgaben zu linearen Gleichungs- systemen mit zwei Variablen.. . . . . . . . . . . . . . . . 208 Zusammenfassung .......................... 216 Selbstkontrolle.............................. 217 DIGI Lösen von Gleichungssystemen mit Geogebra............................ 220 I Drehzylinder und Drehkegel.......... 222 Das Volumen des Drehzylinders.. . . . . . . . . . . . . . 223 Die Oberfläche des Drehzylinders.. . . . . . . . . . . . 226 Das Volumen des Drehkegels.. . . . . . . . . . . . . . . . 230 Die Oberfläche des Drehkegels .. . . . . . . . . . . . . . 234 Zusammengesetzte Körper.. . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 Zusammenfassung .......................... 240 Selbstkontrolle.............................. 241 J Wahrscheinlichkeitsrechnung .. . . . . . . . . 244 Wahrscheinlichkeitsrechnung – Wiederholung und Vertiefung .. . . . . . . . . . . . . . . 245 Wahrscheinlichkeit bei zweistufigen Zufallsexperimenten......................... 250 Zusammenfassung .......................... 258 Selbstkontrolle.............................. 259 K Wiederholung der Inhalte der Sekundarstufe 1 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 Arbeiten mit Zahlen und Maßen.. . . . . . . . . . . . . 263 Arbeiten mit Variablen und Funktionen . . . . . . . 266 Arbeiten mit Proportionalitäten, Daten undZufall................................... 268 Arbeiten mit Figuren und Körpern .. . . . . . . . . . . 270 Themenzentrierte Aufgaben.. . . . . . . . . . . . . . . . . 272 Anhang Lösungen der Selbstkontrollaufgaben . . . . . . . . 276 Sachregister................................ 285 Bildnachweis............................... 287 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 3 1. Scanne den QR-Code und lade die App auf dein Smartphone oder dein Tablet. 2. Scanne deinen Buchumschlag oder wähle dein Schulbuch in der App-Medienliste aus. 3. Scanne eine mit gekennzeichnete Buchseite oder wähle ein Audio/Video aus der App-Medienliste aus. 4. Spiele das Audio/Video ab. QuickMedia App Android iOS Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

4 12 Bruchterme æ Ich kann Bruchterme definieren und ihre die Definitionsmenge bestimmen. æ Ich kann mit Bruchtermen rechnen. Definition Bruchterm Einen Bruch, bei dem im Nenner mindestens eine Variable steht, nennt man Bruchterm. Z.B. 5 _ x ; 1 _ a + 1 ; b + 1 _ b + 2 374 Kreise alle Bruchterme ein. a) b) 375 Erstelle zum Text einen passenden Bruchterm. a) Ein Gewinn von 100 € wird auf x Personen aufgeteilt. w ___ Zwei Personen wollen ihren Anteil nicht. w ___ Es kommen weitere 20 € zum Gewinn dazu. w ___ b) Ein 80 cm langes Brett soll in s gleich lange Stücke geteilt werden. w ___ Die Anzahl der verkürzten Stücke s wird verdoppelt. w ___ Das Brett wird zuerst an einem Ende um t cm gekürzt. w ___ Definitionsmenge von Termen Eine Definitionsmenge beschreibt alle Zahlen, die für eine Variable eingesetzt werden dürfen. Ein Bruch ist eine Division. Da man nicht durch 0 dividieren kann, darf auch der Nenner in einem Bruchterm nicht 0 sein. Somit werden bestimmte Zahlen für die Definitionsmenge ausgeschlossen. Bestimme die Definitionsmenge des Bruchterms 1 _ x – 1 . x – 1 = 0 | +1 Wird für x die Zahl 1 eingesetzt, dann wird der Nenner 0. Somit muss 1 aus der x = 1 Definitionsmenge ausgeschlossen werden: „Die Definitionsmenge sind alle reellen Zahlen ohne 1.“ Man schreibt dies in der Sprache der Mathematik so an: ⅅ = R\{1} Merke Ó Erklärvideo r6f6ed DI x _ 2 5 1 _ 3 z2 7 _ 8 1 _ a 2 v _ 10 3 (a + 2) __ 4 a + b _ 5 x + y _ x – y y 3 __ 2 (x + 0) b2 __ 2 (3 + 1) 5 t _ 5 1 _ 3 f + 1 1 _ i 2 _ 3 k3 _ 2 k + 1 _ k – 1 k _ p DI Merke Muster Ó Erklärvideo r6ie4h Für eine Exkursion in ein Museum werden die Bus- und Eintrittskosten auf die Schülerinnen und Schüler aufgeteilt. Die Busfahrt kostet 450 € und der Eintritt kostet für die gesamte Gruppe 120 €. Evita stellt für die Reisekosten R eine Formel auf, wenn n Jugendliche mitfahren. R = 450 + 120 __ n Dann meint Evita: „Jetzt kann die Lehrerin für jede beliebige Anzahl an Teilnehmenden die Reisekosten berechnen.“ Ihre Sitznachbarin Aleyna sagt daraufhin: „Alle Zahlen darf sie für n aber nicht einsetzen!“ Weißt du, was Aleyna damit meint? ÓArbeitsblatt r6d374  Sprachliche Bildung und Lesen 78 Umkehraufgaben Gegeben ist der Umfang eines Kreises mit u = 5,0 m. Berechne den Radius und den Durchmesser des Kreises. Kreis u = d ∙ π | : π oder u = 2 ∙ r ∙ π | : 2 | : π u = 5,0 m u _ π = d r = d _ 2 u _ 2 ∙ π = r d = 2 ∙ r d ≈ ? d = 5 _ π r = 1,5915… __ 2 r = 5 _ 2 ∙ π d = 2 ∙ 0,7957… r ≈ ? d = 1,5915… ≈ 1,6 m r = 0,7957… ≈ 0,8 m r = 0,7957… ≈ 0,8 m d = 1,5915… ≈ 1,6 m 585 Berechne den Radius und den Durchmesser des Kreises. a) u = 3,0 cm b) u = 5,3 m c) u = 4,8 mm d) u = 0,12 km e) u = 36,1 m f) u = 2,5 dm g) u = 0,41 m h) u = 17,8 mm 586 Kreuze die Lücken so an, dass eine richtige Aussage entsteht. Ein Kreis mit einem Umfang von  , hat einen Durchmesser von  a)   b)   1 _ π Meter æ π Meter æ π Meter æ 1 _ π Meter æ 1 Meter æ 1 Meter æ 1 _ π Meter æ 2 π Meter æ π Meter æ 3,14 Meter æ 1 Meter æ 3 Meter æ Textaufgaben 587 Ein Kreis hat einen Radius von 5,0 m. a) Berechne seinen Umfang. b) Um das Wievielfache ändert sich der Umfang, wenn man den Radius i) verdoppelt? ii) verdreifacht? iii) halbiert? iv) verzehnfacht? 588 Gegeben sind ein Kreis mit dem Durchmesser d und ein Quadrat mit der Seitenlänge d. d = 10 cm b) d = 15 m c) d = 35 mm d) d = 0,8 m i) Um wie viel Meter ist der Umfang des Quadrates länger als jener des Kreises? ii) Um wie viel Prozent ist der Umfang des Quadrates länger als jener des Kreises? 589 Von einem runden Besprechungstisch ist die Länge des Durchmessers gegeben. a) d = 1,8 m b) d = 2,4 m c) d = 155 cm Wie viele Laufmeter Umleimer sind für den Besprechungs- tisch nötig? 590 Ein Rasensprinkler hat eine Reichweite von 4 m. Sebastian läuft 5-mal so um den Sprinkler, dass ihn das Wasser nicht berührt. Wie weit ist Sebastian dabei mindestens gelaufen? 591 Das größte Riesenrad der Welt steht in Dubai und hat einen Durchmesser von 250 m. Das Riesenrad im Wiener Prater hat einen Durchmesser von 56 m. Um wie viele Meter legt man im Riesenrad in Dubai pro Runde mehr zurück als in jenem in Wien? Muster Rechne mit dem Taschen- rechnerwert weiter. O DI M, O M, O M, O Umleimer sind Beschichtungen, die man an Seitenkanten von Platten anbringt. M, O M, O So arbeitest Du mit Lösungswege 4 Die Lernziele eines Kapitels stehen direkt unter der Überschrift. Jedes Kapitel beginnt mit einer Aufgabe, die zeigt, wie die Inhalte des Kapitels mit Bereichen des täglichen Lebens in Zusammenhang stehen. Merke Im Merke-Kasten, befindet sich die wichtigste Theorie, mit der die folgenden Aufgaben gut zu lösen sind. Muster Ein Muster-Beispiel zeichnet einen möglichen Rechenweg vor, der zum Lösen der folgenden Aufgaben genutzt werden kann. 198 200 203 202 Eine grün markierte Aufgabennummer bedeutet, dass die Aufgabe dabei hilft, die Sprache der Mathematik zu erlernen. Sternchen verweisen auf die Übergreifende Kompetenz der Aufgabe. Der Code bei diesem Symbol führt zu zusätzlichen Materialien ins Digitale Zusatzmaterial. Ó pk6ht7 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

5 592 Ein Pferd läuft an einer x Meter langen Voltigierleine. Wie viele Runden muss das Pferd laufen, damit es eine Gesamtstrecke von einem Kilometer zurücklegt? a) x = 3 m b) x = 5 m c) x = 2 m 593 Ein Seil wird entlang des Äquators um die Erde (Erdradius: 6 378 km) gespannt. a) Wie lang müsste dieses Seil sein? b) Wie viele Zentimeter von der Erde entfernt wäre das Seil, wenn man es um 100 m verlängert? c) Wie lang müsste das Seil sein, damit Amira mit einer Größe von 1,70 m aufrecht darunter durchgehen kann? 594 Bei einem Traktor sind die Vorder- und Hinterreifen unterschiedlich groß. i) Welche Strecke legt der Vorder- bzw. der Hinterreifen pro Umdrehung zurück? ii) Wie oft muss sich der Vorderreifen drehen, bis sich der Hinterreifen einmal gedreht hat? a) vorne: d = 80 cm; hinten: d = 120 cm b) vorne: d = 60 cm; hinten: d = 180 cm 595 Tarek und Naomi laufen auf der Laufbahn in Laufhausen. Die Laufbahn hat die Maße wie im Bild. Naomi läuft auf der innersten Linie und Tarek läuft auf der äußersten Linie. Um wie viele Meter muss Tarek mehr laufen, wenn die vier Bahnen je 0,6 m breit sind? 596 Evas Schulweg ist 2,8 km lang. Wie oft dreht sich das Rad ihres Fahrrads dabei um die eigene Achse, wenn es a) 16 Zoll hat? b) 18 Zoll hat? c) 21 Zoll hat? Gecheckt? æ Ich kenne die Kreiszahl π und ihre Eigenschaften. 597 Vervollständige den Lückentext. Der U in einem Kreis ist immer ca. 3, -mal so lang wie sein D . æ Ich kann den Umfang eines Kreises berechnen. 598 Berechne den Umfang des Kreises mit a) d = 5,4 m b) r = 22,3 mm. æ Ich kann Umkehraufgaben zum Umfang des Kreises lösen. 599 Berechne den Radius und den Durchmesser eines Kreises mit einem Umfang von 78 cm. æ Ich kann Textaufgaben zum Umfang des Kreises lösen. 600 Ein Rad hat einen Durchmesser von 18 Zoll (1 Zoll š 2,54 cm). Wie viele Meter legt das Rad zurück, wenn es sich 15-mal dreht? Beim Voltigieren führt man auf dem Rücken eines Pferdes turnerische Übungen aus. M, O M, O M, O 36,50 m 84,40 m M, O Mit der Zollangabe wird der Raddurchmesser angegeben. 1 Zoll š 2,54 cm M, O Ó durchgerechnete Lösungen rp26ux DI O O M, O Ó Arbeitsblatt rp58zn Tipp: Rechne immer mit den genauen Zahlen weiter. 131 F Der Kreis Eine WortspeicherBox gibt Auskunft darüber, warum manche Worte in der Mathematik genutzt werden oder erklärt schwierige Begriffe. Eine Check-it-Box gibt nützliche Tipps, um die Aufgabe zu lösen. 198 200 203 202 Die Kästchen neben den Aufgabennummern geben an, wie schwer die Aufgabe ist. Ein Kästchen bedeutet leicht, zwei Kästchen bedeuten mittel und drei Kästchen bedeuten schwer. Der Gecheckt?- Bereich ist der Abschluss eines Kapitels. Hier kann man überprüfen, ob der Inhalt des Kapitels verstanden wurde. Prozesse des Kompetenzmodells – M Modellieren und Problemlösen – O Operieren (Rechnen und Konstruieren) – DI Darstellen und Interpretieren – V Vermuten und Begründen Die History-Box bzw. eine derart formatierte Aufgabe geben Einblicke in die Geschichte der Mathematik. ] Dieses Würfel- Symbol zeigt, dass die Aufgabe ein Rätsel ist. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Reden wir darüber … Kennst du Zahlen, die man nicht als Bruch darstellen kann? Gibt es mehr ganze Zahlen als natürliche Zahlen? Zwischen zwei ganzen Zahlen können nur endlich viele ganze Zahlen liegen. Gilt diese Eigenschaft auch für die Menge der rationalen Zahlen? Durch welche Eigenschaften unterscheiden sich die Menge der natürlichen Zahlen und die Menge der ganzen Zahlen? ÓSprachaufgabe qp9tt3 ÓLesetext qq943t Schreibe jeweils vier Zahlen an, die man in der Lupe sehen kann. Beschrifte alle Markierungen auf den Zahlengeraden. Zeichne die periodische Zahl 0,333 3… möglichst genau auf einer Zahlengeraden ein. Wie viele Lupen müsste man zusätzlich zu diesen vier verwenden, um die Zahl 0,000 0001 als markierten Schritt zu sehen? A Die reellen Zahlen Du hast bereits die ganzen Zahlen als Erweiterung der natürlichen Zahlen kennengelernt. Diese wurden dann zu den rationalen Zahlen erweitert. Du wirst lernen, dass sich nicht alle Zahlen als Bruch darstellen lassen. Es wird die Menge der rationalen Zahlen zu der Menge der reellen Zahlen erweitert. Es gibt Zahlen, die unendlich viele Nachkommastellen besitzen, aber nicht periodisch sind. z.B. 9 _ 2= 1,414 213 562 4… oder 9 __ 13= 3,605 551 275 5… Ihre Nachkommastellen gehen unendlich weiter. Es wäre unmöglich alle unendlich vielen Nachkommastellen anzuschreiben oder aufzuzählen. In der Mathematik nennt man sie irrationale Zahlen. 012345678910 0 0,1 0,5 1 0 0,01 0,05 0,1 0 0,001 0,01 0 Früher dachten die Pythagoreer, dass alle Längenverhältnisse durch Brüche (also durch ganze Zahlen) dargestellt werden können. Doch ein Mann namens Hippasos, selbst ein Pythagoreer, entdeckte zu Beginn des 5. Jahrhunderts vor unserer Zeit, dass das bei einem regelmäßigen Fünfeck nicht stimmt: Die Länge einer Diagonale im Vergleich zur Seite ergibt keinen Bruch – das Verhältnis ist „irrational“. Das war ein großer Schock für die damalige Mathematik. Später zeigte Sokrates in einem Gespräch, dass ein Quadrat mit der Seitenlänge 2 einen Flächeninhalt von 4 hat. Daraus ergibt sich die Frage: „Welche Seitenlänge muss ein Quadrat haben, damit es genau den doppelten Flächeninhalt dieses Quadrats besitzt?“ Gesucht ist also ein Quadrat mit dem Flächeninhalt 8. Diese Seitenlänge liegt zwischen 2 und 3, denn bei 2 Metern Seitenlänge hat das Quadrat 4m2 Flächeninhalt, bei 3 Metern schon 9 m2. Euklid bewies schließlich, dass die gesuchte Seitenlänge – 9_ 8 bzw. 2 · 9 _ 2 – irrational ist, ein wichtiges Ergebnis der Mathematik. Irrationale Zahlen sind Zahlen, die unendlich viele Nachkommastellen besitzen, aber nicht periodisch sind und sich nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen lassen. 4 m2 8 m2 9 m2 6 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

ææ Ich kenne die rationalen Zahlen und kann diese beschreiben. ææ Ich kann rationale Zahlen als Dezimalzahlen und Bruchzahlen anschreiben. ææ Ich kenne die Zusammenhänge zwischen den Zahlenmengen und kann diese beschreiben. In den letzten Jahren hast du schon einige verschiedene Zahlenmengen kennen gelernt: ℕ, Z und Q. Zahlenmengen Die Menge der natürlichen Zahlen: ℕ = { 0, 1, 2, 3, … } Die Menge der ganzen Zahlen: ℤ = { …, –3, –2, –1, 0, +1, +2, +3, … } Die Menge der rationalen Zahlen ℚ: Jede Zahl, die man als Bruch ganzer Zahlen anschreiben kann, nennt man rationale Zahl. Jede rationale Zahl kann man als endliche (z.B. 3,0; 4,23; …) oder als periodische Dezimalzahl (z.B. 2,3˙ ) anschreiben. Rechnen mit rationalen Zahlen in Dezimaldarstellung 1 Male alle Zahlen, die keine ganzen Zahlen sind, an. Gib die rationale Zahl als Dezimalzahl an. a) − 2 _ 6 b) − 1 _ − 5 a) − 2 _ 6 = − (2 : 6) = − 0,333 3… = − 0,3˙ b) − 1 _ − 5 = (− 1) : (− 5) = + (1 : 5) = 0,2 2 Schreibe den Bruch als Dezimalzahl an, und gib an, ob es sich um eine endliche oder periodische Dezimalzahl handelt. a) − 4 _ 15 b) + 5 _ 9 c) – 3 _ 8 d) − 2 _ 9 e) – 5 _ – 3 f) – 2 _ 3 g) 3 _ 4 h) − 12 _ – 9 i) + 8 _ – 25 j) 1 _ 7 k) + 5 _ – 7 l) – 3 _ – 7 m) 5 _ 6 n) 23 _ 125 Stelle die rationale Zahl als Bruch dar. a) 1,2 b) − 0,205 Achte auf den Stellenwert der kleinsten Nachkommastelle und kürze dann. a) 1,2 = 12 Zehntel = 12 _ 10 = 1 1 _ 5 b) − 0,205 = − 205 Tausendstel = − 205 _ 1 000 = − 41 _ 200 3 Stelle die rationale Zahl als Bruch dar. a) 0,4 b) – 0,021 c) – 2,4 d) – 42,42 e) 0,0012 f) 0,25 g) 0,05 ÓArbeitsblatt qr33rs Q Z N 42 – 42 – 0,7 – 0,25 – 3 – 101 1 205 13 13 _ 6 1, 3˙ 101 _ 500 – 2 _ 3 Merke Ó Erklärvideo qr52fr DI 5 _ 4 2 _ 1 22 3 _ 4 42 1,25 0,75 10 _ 5 (− 3)2 Muster O, DI Muster O, DI 1 Die Menge der rationalen Zahlen Elvira und Benji unterhalten sich darüber, was sie schon über Zahlen- mengen und Zahldarstellungen gelernt haben. Benji: „Wir wissen schon, dass periodische Zahlen als Bruch dargestellt werden können. z.B. 0,1˙ = 1 _ 9 und 0,9˙ = 9 _ 9 . Aber 9 _ 9 = 1.“ Elvira: „Stimmt! Aber ist dann 0,9˙ eine rationale Zahl? Oder eine natürliche? Oder beides?“ Benji: „Hmm. Ist es ein entweder oder? In der Mathematik gibt es oft mehrere Schreibweisen für die selbe Zahl. 1 und 0,9˙ sind zwei Schreibweisen für dieselbe Zahl.“ 7 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

4 Gegeben sind rationale Zahlen in Bruch- bzw. Dezimalschreibweise. Ergänze die fehlende Darstellung. Bruchdarstellung 1 _ 10 3 _ 4 2 _ 5 1 _ 2 − 3 _ 100 Dezimaldarstellung 0,25 0,125 1,5 – 0,001 5 Gegeben sind rationale Zahlen in Bruch- bzw. Dezimalschreibweise. Ergänze die fehlende Darstellung. Bruchdarstellung 7 _ 9 − 31 _ 40 20 _ 55 101 _ 200 − 7 _ 20 Dezimaldarstellung 0,3 0,05 − 1,044 − 0,302 6 Stelle die Zahl 1,9˙ als Bruch dar und kürze vollständig. Welche Zahl erhältst du? In welche Zahlenmenge gehört daher die Zahl 1,9˙ ? (¥ Einstiegsaufgabe) Bringe die Rechnung auf die Kurzform und berechne sie. a) (– 0,3) + (– 1,07) b) (+ 12) – (+ 0,005) a) (– 0,3) + (– 1,07) = NR: 0,30 b) (+ 12) – (+ 0,005) = NR: 12,000 1,07 – 0,005 = – 0,3 – 1,07 = – 1,37 1,37 = 12 – 0,005 = 11,995 11,995 7 Bringe die Rechnung auf die Kurzform und berechne sie. a) (– 0,02) + (– 42,2) = b) (– 12,3) − (− 13,01) = c) (+ 102) – (– 3,04) = d) (– 1,4) – (– 42,2) = e) (+ 12,3) – (+ 13,01) = f) (– 102) + (– 3,04) = 8 Setze <, > oder = ein. a) (– 0,2) + (– 42,2) (– 0,2) – (– 42,2) b) (+ 1,5) – (– 3,4) (– 1,5) – (– 3,4) c) (+ 2,0) + (– 5,0) (– 2,0) – (+ 5,0) d) (– 1,8) + (– 6,2) (+ 1,8) – (– 6,2) 9 Bringe die Rechnung auf die Kurzform und berechne sie. Kürze das Ergebnis so weit wie möglich. a) − 2 _ 3 – (– 5 _ 3 ) = b) − 3 _ 4 + (– 5 _ 4 ) = c) + 7 _ 8 – (+ 5 _ 8 ) = d) (– 2 _ 3 ) – (+ 7 _ 3 ) = e) (+ 5 _ 12 ) + (– 11 _ 12 ) = f) (– 3 _ 18 ) + (– 5 _ 18 ) = g) (– 34 _ 17 ) + (– 8 _ 17 ) = h) + ( 7 _ 5 ) – (+ 24 _ 5 ) = i) (– 11 _ 6 ) + (+ 13 _ 6 ) = 10 Berechne und kürze das Ergebnis so weit wie möglich. a) − 2 _ 3 – (– 5 _ 6 ) = b) − 3 _ 8 + (– 5 _ 4 ) = c) + 7 _ 10 – (+ 5 _ 8 ) = d) − 2 _ 7 – (+ 7 _ 3 ) = e) + 5 _ 12 + (– 1 2 _ 9 ) = 11 Male den passenden Text, die Rechnung und das Ergebnis in derselben Farbe an. Welches Ergebnis bleibt übrig? O, DI O, DI O, DI Muster 1 1 1 Kurzformen: a + (+ b) = a + b a + (– b) = a – b a – (+ b) = a – b a – (– b) = a + b Achte auf die Stellenwerte! O, DI DI O, DI O, DI Bringe die Brüche zunächst auf den gleichen Nenner und addiere anschließend. DI − 33,47 + 62,71 = Der Inhaber eines Kontos mit einem Saldo von – 33,47€ erhält eine Gutschrift in der Höhe von 62,71 €. − 96,18 − 29,24 33,47 – 62,71 = + 13,24 − 62,71 – 33,47 = Bei einem Kontostand von − 62,71 € wird die Handyrechnung in der Höhe von 33,47€ abgezogen. Auf einem Konto mit 33,47€ Guthaben wird eine Gasrechnung in der Höhe von 62,71 € verbucht. + 29,24 8 1 Die Menge der rationalen Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

12 Auf dem Konto von Max waren vor einer Woche 536,20 €. Folgende Transaktionen fanden statt: • Eine Abbuchung von 76,80 € von der Tankstelle und eine weitere von 39,90 € vom Telefonanbieter. • Für die Strom- und Gasrechnung wurden 74,33 € abgezogen. • Einkäufe mit der Kreditkarte belasteten das Konto mit weiteren 632,47 €. • Dafür bekam Max Einkünfte für ein Buch in der Höhe von 295,40 €. Wie lautet sein Kontostand nach diesen Geldbewegungen? 13 Yehias Kontostand betrug – 350 Euro bevor die Transaktionen in der Abbildung stattfanden. Berechne den Kontostand nach diesen Abbuchungen bzw. Gutschriften. a) b) c) Schreibe die Rechnung in Kurzform an a) (– 3 _ 4 ) · (– 2 _ 9 ) = b) (– 2 _ 5 ) : (+ 6 _ 10 ) = c) (– 1,2) : (– 0,4) = und berechne. Überlege zuerst, welches Vorzeichen das Ergebnis haben muss. Z.B. (–) · (–) = (+) Schreibe die Rechnung in Kurzform und kürze so früh wie möglich. a) (– 3 _ 4 ) · (– 2 _ 9 ) = b) (– 2 _ 5 ) : (+ 6 _ 10 ) = c) (– 1,2) : (– 0,4) = + (1,2 : 0,4) = = + ( 3 _ 4 · 2 _ 9 ) = + 1 _ 6 = – ( 2 _ 5 · 10 _ 6 ) = – 2 _ 3 = + (12 : 4) = + 3 14 Schreibe die Rechnung in Kurzform an und berechne. Kürze so weit, wie möglich. a) (– 12 _ 7 ) · (+ 14 _ 10 ) = b) (– 2 _ 3 ) : (+ 8 _ 9 ) = c) (– 13 _ 11 ) · (– 77 _ 26 ) = d) (+ 15 _ 16 ) : (+ 5 _ 8 ) = e) (+ 14 _ 8 ) : (– 4 _ 16 ) = f) (– 7 _ 8 ) · (– 10 _ 35 ) = 15 Schreibe die Rechnung in Kurzform an und berechne. a) (– 13,2) : (+ 3,2) = b) (– 3,05) · (– 4,2) = c) (– 0,72) : (+ 3,2) = d) (+ 0,005) · (+ 0,01) = e) (– 42) : (– 1,4) = f) (– 13,2) · (– 4,2) = 16 Berechne. a) (− 13,2) : (+ 14 _ 10 ) = b) (− 2 _ 3 ) · (− 4,2) = c) (− 0,72) : (− 13 _ 11 ) = d) (− 4 _ 16 ) · (+ 0,01) = e) (− 42) : (+ 5 _ 8 ) = f) (− 13,2) · (− 10 _ 35 ) = O Eine Transaktion bedeutet hier, dass Geld auf dein Konto kommt oder von deinem Konto weggeht. O E§3 € 500,00 € 100,00 -€ 441,90 Weihnachtsgeld Oma 14.06.2024 (Sonstiges Einkommen) Weihnachtsgeld Tante Susanne 14.06.2024 (Sonstiges Einkommen) Playstation 13.06.2024 Rechnung Nr. 42412133 (Unkategorisiert) @ -€ 14,80 □ •>) �Q -€ 5,00 □ •>) �Q -€ 1,30 □ •>) Geschäft GmbH 13.06.2024 Bezahlung mit Karte 1 am 12. J... (Trafik, Rauchen) Restaurant 12.06.2024 Bezahlung mit Karte 1 am 11. Ju... (Restaurant, Kaffeehaus, Heuriger) Buffet 12.06.2024 Bezahlung mit Karte 1 am 11. Ju... (Restaurant, Kaffeehaus, Heuriger) Neue Überweisung E§3 @ eBank -€ 911,97 E§] € 6,00 -€ 50,00 .. _ 0 -€ 24,90 @) -€ 43,49 -€ 117,23 04.06.2024 s Kreditkartenrechnung Mai... (Kreditkarten Rechnung) Freundschaftsüberweisung 04.06.2024 (Sonstiges Einkommen) Bankomatauszahlung 04.06.2024 Abhebung mit Karte 1 am 3. J... (Barbehebungen) Fitnesscenter Beitrag 03.06.2024 (Hobbies, Sport) Eintritt Konzert 03.06.2024 (Versicherungsprämien) Fahrrad 03.06.2024 Neue Überweisung 0 -€ 1.035,35 -€ 17,90 E-Scooter 17.05.2024 so 241763675160 (Unkategorisiert) Bäckerei 17.05.2024 bl • > > Bezahlung mit Karte 1 am 16.... -€ 7,00 bl • > > E[) € 200,00 ( Spieleautomat 17.05.2024 Bezahlung mit Karte 1 am 15. M... (Parken) Geburtstagsgeld Oma 17.05.2024 Beleg 0358 0037043402 2024 (Sonstiges Einkommen) -€ 420,00 G, € 845,00 Konsole mit Spiel 15.05.2024 Miete (Miete, Pacht) Gehalt erialob 15.05.2024 (Gehalt/Lohn) Neue Überweisung E[) @ @ @ Muster 1 2 3 1 1 1 3 2 O, DI O, DI O, DI  Wirtschafts-, Finanz- und Verbraucher/innenbildung 9 A Die reellen Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Zusammenhänge zwischen den Zahlenmengen 17 Gib alle ganzen Zahlen an, die man für x einsetzen kann. a) – 3 < x < 5 b) – 4,5 < x ≤ 0 c) – 13 _ 2 < x < 2,5 Die Abbildung rechts zeigt, wie die bereits bekannten Zahlenmengen N, Z, Q zusammenhängen. Es gilt: Jede natürliche Zahl ist auch eine ganze Zahl. Jede ganze Zahl ist auch eine rationale Zahl. Jede natürliche Zahl ist auch eine rationale Zahl. Aber: Nicht jede ganze Zahl ist auch eine natürliche Zahl, Nicht jede rationale Zahl ist auch eine ganze Zahl. Nicht jede rationale Zahl ist auch eine natürliche Zahl. Es gibt rationale Zahlen, die auch ganze Zahlen sind. Z.B. –1 = –1 _ 1 * ℚ und – 1 * ℤ aber z.B. – 1 _ 3 * ℚ und – 1 _ 3 + ℤ Man sagt zu –1 * ℤ: „–1 ist ein Element der Menge der ganzen Zahlen.“ 18 Kreuze jeweils alle Zahlenbereiche an, in denen die gegebene Zahl liegt. 2 – 2,5 3 _ 7 − 30 _ 5 1 _ 2 42 _ 14 5 _ 100 − 2,3˙ − 3 ℕ æ æ æ æ æ æ æ æ æ ℤ æ æ æ æ æ æ æ æ æ ℚ æ æ æ æ æ æ æ æ æ 19 Setze * bzw. + ein. 1 _ 2 ℕ − 2 ℕ 2 ℕ − 4 _ 2 ℕ − 0,3 ℕ 0,25 ℕ 1 _ 2 ℤ − 2 ℤ 2 ℤ − 4 _ 2 ℤ − 0,3 ℤ 0,25 ℤ 1 _ 2 Q − 2 Q 2 Q − 4 _ 2 Q − 0,3 Q 0,25 Q 20 Kreuze alle Zahlen an, die ganze, aber keine natürlichen Zahlen sind. æ 42 æ – 42 æ 13 æ – 13 æ – 7 æ – 16 21 Kreuze alle Zahlen an, die rationale, aber keine ganzen Zahlen sind. æ 10 _ 5 æ – 42 _ 21 æ 7 _ 3 æ – 13 _ 2 æ – 7 _ 1 æ – 16 _ 42 Zeige anhand von zwei Rechnungen, dass die Differenz zweier rationaler Zahlen eine ganze Zahl sein kann, aber nicht sein muss. 0,4 – 1,4 = –1 w – 1 * Z w Die Differenz zweier rationaler Zahlen kann eine ganze Zahl sein. 0,4 – 1,3 = – 0,9 w – 0,9 + Z w Die Differenz zweier rationaler Zahlen muss keine ganze Zahl sein. 22 Zeige anhand von zwei Rechnungen, dass die Summe zweier rationaler Zahlen eine ganze Zahl sein kann, aber nicht sein muss. 23 Zeige anhand von zwei Rechnungen, dass die Differenz zweier ganzer Zahlen eine natürliche Zahl sein kann, aber nicht sein muss. Q Z N 42 – 42 – 0,7 – 0,25 – 3 – 101 1 205 13 13 _ 6 1, ˙ 3 101 _ 500 – 2 _ 3 DI Merke ÓErklärvideo qr65wh DI DI DI DI Muster DI, V DI, V  Sprachliche Bildung und Lesen 10 1 Die Menge der rationalen Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

24 Hilf Iliriana dabei, ihre Antwort zu begründen. 25 Welches der drei Diagramme setzt die Zahlenmengen sinnvoll in Beziehung? Begründe deine Antwort. 26 Trage die gegebenen Zahlen an der richtigen Stelle im Diagramm ein. a) − 1,25; – 4 _ 2 ; 16 _ 4 ; 2 _ 5 ; – 4,5; – 42 _ 14 b) − 1,05; – 2; 27 _ 9 ; 1 _ 4 ; 14; 12 _ 13 c) − 100; – 8 _ 2 ; 16 _ 3 ; 1 _ 5 ; 2,5; – 420 _ 10 27 Trage die Ergebnisse der Rechnung an der richtigen Stelle im Diagramm rechts ein. a) 3 _ 5 + 2 _ 5 = b) 1 _ 2 + 3 _ 8 = c) 1 _ 3 – 6 _ 3 = d) – 4 + 3 _ 4 = e) − 4 · 3 _ 4 = f) − 12 _ 15 · 5 _ 4 = g) 1 _ 2 : 1 _ 8 = h) 3 _ 10 : – 6 _ 40 = i) 1 _ 3 – 8 _ 6 = Aussagen über Zahlenmengen Wenn man entscheiden soll, ob eine mathematische Aussage wahr oder falsch ist, hilft es oft, sich einfache Gegenbeispiele zu überlegen. Der Satz: „Jede ganze Zahl ist auch eine natürliche Zahl.“ ist falsch, weil man ein einfaches Gegenbeispiel nennen kann: „Die Zahl – 3 ist eine ganze, aber keine natürliche Zahl.“ Finde ein Gegenbeispiel um zu zeigen, dass folgende Aussage falsch ist: „Der Quotient zweier ganzer Zahlen ist immer auch eine ganze Zahl.“ Der Quotient ist das Ergebnis einer Division. Suche ein Beispiel mit einfachen ganzen Zahlen als Divisor und Dividend, sodass das Ergebnis keine ganze Zahl ist. z.B. 1 : 2 = 1 _ 2 = 0,5 und 0,5 + Z w Die Aussage ist falsch, denn der Quotient zweier ganzer Zahlen muss nicht immer eine ganze Zahl sein. 28 Finde ein Gegenbeispiel, um zu zeigen, dass folgende Aussage falsch ist: „Die Differenz zweier natürlicher Zahlen ist immer auch eine natürliche Zahl.“ DI, V DI, V Q Z N Q Z N N Z Q DI Q Z N Q Z N Q Z N Q Z N DI Muster DI, V Z N Z N Ich hab ein Rätsel für dich. „Jede natürliche Zahl ist auch eine ganze Zahl?“ Welches der beiden Bilder ist passend?  Sprachliche Bildung und Lesen 11 A Die reellen Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

29 Kreuze an. Gib bei falschen Aussagen ein Gegenbeispiel als Begründung an. Aussage richtig falsch Gegenbeispiel Jede rationale Zahl ist auch eine natürliche Zahl. æ æ Jede rationale Zahl ist auch eine ganze Zahl. æ æ Jede ganze Zahl ist auch eine rationale Zahl. æ æ Jede ganze Zahl ist auch eine natürliche Zahl. æ æ Jede natürliche Zahl ist auch eine rationale Zahl. æ æ Jede natürliche Zahl ist auch eine ganze Zahl. æ æ 30 Kreuze an. Gib bei falschen Aussagen ein Gegenbeispiel als Begründung an. Aussage richtig falsch Gegenbeispiel Das Produkt zweier natürlicher Zahlen ist immer eine natürliche Zahl. æ æ Der Quotient zweier natürlicher Zahlen ist immer eine natürliche Zahl. æ æ Die Summe zweier natürlicher Zahlen ist immer eine natürliche Zahl. æ æ Die Summe zweier ganzer Zahlen ist immer eine natürliche Zahl. æ æ Das Produkt zweier rationaler Zahlen ist immer eine ganze Zahl. æ æ Die Differenz zweier rationaler Zahlen ist immer eine rationale Zahl. æ æ 31 Kreuze die Lücken so an, dass eine richtige Aussage entsteht. Die Differenz zweier  Zahlen ist immer eine  Zahl.   ungerader æ gerade æ natürlicher æ ungerade æ rationaler æ natürliche æ 32 Kreuze die Lücken so an, dass eine richtige Aussage entsteht. Die Differenz zweier  ist immer ein Vielfaches  .   ungerader ganzer Zahlen æ von 4 æ Vielfachen von 3 æ von 3 æ gerader ganzer Zahlen æ von 5 æ 33 Kreuze die Lücken so an, dass eine richtige Aussage entsteht. Die Differenz zweier  Zahlen ist immer eine  Zahl.   ganzer æ negative rationale æ positiver rationaler æ ganze æ negativer rationaler æ natürliche æ DI, V DI, V DI DI DI 12 1 Die Menge der rationalen Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

34 Yousef und Louise unterhalten sich über die verschiedenen Zahlenmengen. Yousef ist dabei etwas aufgefallen. Gibst du den beiden recht? Begründe deine Antwort. Gecheckt? ææ Ich kenne die rationalen Zahlen und kann diese beschreiben. 35 Diese Definition der rationalen Zahlen ist durcheinander geraten. Bringe die Satzbausteine wieder in die richtige Reihenfolge. ææ Ich kann rationale Zahlen als Dezimalzahlen und Bruchzahlen anschreiben. 36 Stelle die rationale Zahl i) 0,25 als Bruch ii) – 3 _ 7 als Dezimalzahl dar. ææ Ich kenne die Zusammenhänge zwischen den Zahlenmengen und kann diese beschreiben. 37 Trage die Zahlen – 1 _ 2 ; 0,2; – 12; – 6,2; 10; 4; – 6,8˙ ; in die Abbildung ein. 38 Kreuze an. Gib bei falschen Aussagen ein Gegenbeispiel als Begründung an. Aussage richtig falsch Gegenbeispiel Das Produkt zweier ganzer Zahlen ist immer eine ganze Zahl. æ æ Das Produkt zweier rationaler Zahlen ist immer eine natürliche Zahl. æ æ Das Produkt zweier natürlicher Zahlen ist immer eine rationale Zahl. æ æ Die Differenz zweier rationaler Zahlen ist immer eine ganze Zahl. æ æ DI, V Yousef Louise Stimmt! Zwischen zwei rationalen Zahlen sind immer unendlich viele andere rationale Zahlen! Zwischen 0 und 0,1 ist zum Beispiel 0,01 und 0,001 und immer so weiter! Louise! Die rationalen Zahlen sind schon anders als die natürlichen und die ganzen Zahlen. Denn zwischen zwei natürlichen Zahlen gibt es immer nur endlich viele natürliche Zahlen. Zum Beispiel sind zwischen 7 und 13 genau fünf natürliche Zahlen. Dasselbe gilt für die ganzen Zahlen. Aber nicht für die rationalen! Ó durchgerechnete Lösungen qs252a DI ganzer Zahlen darstellen aus allen Zahlen, welche man Zahlen der rationalen Die Menge besteht Bruch zweier kann. als O Q Z N O, DI DI, V ÓArbeitsblatt qs68vw  Sprachliche Bildung und Lesen 13 A Die reellen Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

2 Die Menge der reellen Zahlen ææ Ich kann die Menge der reellen Zahlen angeben und beschreiben. ææ Ich kenne die Beziehungen zwischen verschiedenen Zahlenmengen. Quadratwurzelziehen Wird eine Zahl mit sich selbst multipliziert, so nennt man diesen Rechenvorgang quadrieren. Zum Beispiel: 4 · 4 = 42 = 16. Wird umgekehrt eine positive Zahl in zwei gleich große Faktoren aufgeteilt, nennt man diesen Rechenvorgang Quadratwurzelziehen. Zum Beispiel gilt: 9 __ 16= 4, weil 4·4 = 16 Quadratzahl und Quadratwurzel Eine Zahl a ≥ 0 heißt Quadratwurzel einer Zahl x ≥ 0, wenn a hoch 2 wieder x ergibt. Man schreibt: 2 9_ x= a, weil a2 = x. Statt 2 9_ xschreibt man auch kurz 9_ x . Das Quadrat einer natürlichen Zahl nennt man auch Quadratzahl. Die Quadratwurzel einer Quadratzahl ergibt wieder eine natürliche Zahl. Beispiel: Die Quadratzahlen sind 1; 4; 9; … weil 12 = 1; 22 = 4; 32 = 9; … Für alle Zahlen a ≥ 0 ist das Quadratwurzelziehen die entgegengesetzte Rechenart zum Quadrieren und umgekehrt: 39 Ergänze die Lücken. a) 9 __ 100 = , da 102 = ist. b) 9 __ 81 = , da = ist. c) 9 __ 25 = , da = ist. d) 9 __ 49 = , da = ist. e) 9 __ 64 = , da = ist. f) 9 __ 121 = , da = ist. 40 Kreuze die Lücken so an, dass eine richtige Aussage entsteht. Es gilt  , weil  ist. a)   b)   9 __ 144 = 12 æ 132 = 144 æ 9 __ 169 = 12 æ 132 = 169 æ 9 __ 144 = 13 æ 122 = 144 æ 9 __ 169 = 13 æ 122 = 169 æ 9 __ 144= 144 æ 1442 = 144 æ 9 __ 169= 169 æ 1692 = 169 æ 41 Ergänze die Tabelle. a 0 3 5 9 13 0,5 0,2 a2 9 __ a2 ÓArbeitsblatt sz94sv Merke Quadrieren Quadratwurzelziehen a a2 a 9_ a Quadratwurzelziehen Quadrieren O, DI DI O Conny möchte für ihr Meerschweinchen Toni im Garten ein quadratisches Gehege einzäunen. Damit Toni genug Platz hat, soll er 4 m2 Auslauf haben. Conny überlegt, wie lang eine Seitenlänge des Auslaufs sein muss. 14 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

42 Schreibe die ersten 15 Quadratzahlen auf, indem du die natürlichen Zahlen 1 bis 15 quadrierst. 43 Berechne ohne Taschenrechner. a) 9 __ 42 = b) 9 __ 72 = c) 9 ___ 0,222 = d) 9 __ 642 = e) 9 __ 132 = f) 9 __ 0,42 = g) 9 ____ 0,0032 = h) 9 ___ 1332 = 44 Bestimme die Quadratwurzel. Kontrolliere mit dem Taschenrechner. a) 9 _ 4  = b) 9 __ 49  = c) 9 __ 100  = d) 9 __ 64  = e) 9 __ 289  = f) 9 __ 484  = g) 9 __ 529  = h) 9 __ 361  = 45 Bestimme die Quadratwurzel mit dem Taschenrechner. a) 9 ___ 2 500 = b) 9 ___ 6 400 = c) 9 ____ 14 400 = d) 9 ___ 8 281 = e) 9 ___ 27,04= f) 9 ___ 70,56= 46 Gegeben ist der Flächeninhalt eines Quadrats. Bestimme die Seitenlänge des Quadrats. a) A = 12,25 cm2 b) A = 1 024m2 c) A = 0,81 m2 d) A = 1,69 m2 e) A = 210,25 m2 f) A = 1764dm2 g) A = 17,64 cm2 h) A = 110,25 m2 i) A = 216,09 m2 j) A = 2,56 m2 47 Wer hat recht? Kannst du mit diesem „Trick“ auch die Quadratwurzel aus i) 0,36, ii) 0,25 und iii) 0,01 berechnen? iv) Funktioniert der Trick auch mit 0,016? Wenn ja warum bzw. wenn nein, warum nicht? 48 Ziehe die Quadratwurzel und überprüfe das Ergebnis anschließend mit dem Taschenrechner. a) 9 ___ 0,36  = b) 9 ___ 0,25  = c) 9 ___ 0,09  = d) 9 ___ 0,04  = e) 9 ___ 0,81  = f) 9 ___ 0,64  = g) 9 ___ 12,25= h) 9 ___ 30,25= i) 9 ___ 1 024 = j) 9 ___ 6 561 = k) 9 ___ 16,81= l) 9 ___ 10,24= Irrationale Zahlen (Löcher in Q) Die Menge der rationalen Zahlen besteht aus allen Zahlen, die sich als Bruch ganzer Zahlen schreiben lassen. Dazu gehören alle endlichen und alle periodischen Dezimalzahlen. Man kann jedoch auch Dezimalzahlen finden, die nicht endlich oder periodisch sind gehören und sich daher nicht als Bruch schreiben lassen. Eine Methode, eine solche Zahl zu finden, ist ihre Erzeugung mithilfe eines regelmäßigen Musters. Die Zahl 0,101 001 000100 001 000 001… erhält man, indem man zwischen zwei Einsern jeweils eine Null mehr dazuschreibt. Sie ist nicht periodisch, da die Einser immer durch eine unterschiedliche Anzahl an Nullen getrennt sind. Diese Zahl ist weder endlich noch periodisch und kann daher keine rationale Zahl sein. Es gilt also 0,101 001 000100 001 000 001… + Q. Man kann auch zeigen, dass 9 _ 2 = 1,414 213 562… + Q, also ebenfalls keine rationale Zahl ist. Diese Zahlen sind Beispiele aus der Menge der irrationalen Zahlen, die man mit I bezeichnet. Sie bilden sozusagen „Lücken“ auf der Zahlengeraden der rationalen Zahlen. Erweitert man die rationalen Zahlen um die irrationalen Zahlen, erhält man die Menge der reellen Zahlen R. Die Menge der reellen Zahlen besteht somit aus allen Dezimalzahlen: den endlichen, den periodischen und den unendlichen, aber nicht periodischen Dezimalzahlen. O O O O O A = a2 O, V Sareyla Anton Nein es ist 0,4 weil 0,4 · 0,4 = 0,16. Die Quadratwurzel aus 0,16 ist 0,04 weil die Quadratwurzel aus 16 ist 4. O Mit diesen beiden Tasten kannst du am Taschenrechner die Quadratwurzel ziehen: 1. 2. 15 A Die reellen Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Irrationale Zahlen Irrationale Zahlen sind unendliche, nicht periodische Dezimalzahlen. Sie lassen sich nicht als Bruch ganzer Zahlen anschreiben. Die Menge der irrationalen Zahlen wird mit I abgekürzt. Die Quadratwurzel jeder natürlichen Zahl, die keine Quadratzahl ist, ist eine irrationale Zahl: z.B. 9 _ 2 , 9 __ 13 , 9 __ 42 … Reelle Zahlen Die Menge der rationalen Zahlen zusammen mit der Menge der irrationalen Zahlen nennt man die Menge der reellen Zahlen. Man kürzt sie mit R ab. 49 Berechne folgende Quadratwurzeln und ordne sie passend zu. 9 _ 2 ; 9 _ 3 ; 9 _ 4 ; 9 _ 8 ; 9 _ 9 ; 9 __ 10 ; 9 __ 12 ; 9 __ 16 ; 9 __ 19 ; 9 __ 20 ; 9 __ 25 ; 9 __ 27 ; 9 __ 28 ; 9 __ 29 ; 9 __ 31 ; 9 __ 36 ; 9 __ 42 ; 9 __ 49 Rationale Zahlen: Irrationale Zahlen: 50 Gib drei Zahlen an, i) die rational sind und zwischen 1,3 und 1,9 liegen. ii) die natürliche Zahlen sind und deren Quadratwurzel wieder eine natürliche Zahl ist. iii) die rationale Zahlen sind und deren Quadratwurzel eine irrationale Zahl ist. 51 Kreise alle irrationalen Zahlen ein. 9 __ 16  9 __ 13  9 __ 26  9 __ 42  9 __ 69  9 __ 144 9 __ 250 9 __ 121 9 __ 12  9 __ 19  9 __ 36  9 __ 25  9 __ 84  9 __ 75 52 Kreuze die richtigen Aussagen an. Die Quadratwurzel einer Quadratzahl ist eine irrationale Zahl. æ Die Quadratwurzel einer Quadratzahl ist eine rationale Zahl. æ Die Quadratwurzel einer natürlichen Zahl, die keine Quadratzahl ist, ist eine irrationale Zahl. æ Die Quadratwurzel einer Zahl, die keine Quadratzahl ist, ist eine rationale Zahl. æ 53 Kreuze die rationalen Zahlen an. a) − 1 _ 2 æ b) 9_ 7 _ 7 æ c) − 42 æ d) − 5 _ 2 æ 3, 5˙  æ 1 _ 9 æ 14,13 _ 12 æ 9 _ 3 _ 6 æ 9 _ 5 æ 9 __ 13 æ 9 _ 8 æ 9 _ 5 æ 9_ 2 _ 4 æ – 9 __ 16 _ 4 æ 9 _ 3 _ 3 æ 3, 8˙  æ 54 Trage die gegebenen Zahlen an der passenden Stelle im Diagramm ein. a) b) Q R I – 1,5 0,101001… 9_ 2 3 _ 4 – 42 _ 100 0, _ 27 Merke Ó Erklärvideo qs79kt O, DI DI DI DI Quadratzahlen sind jene Zahlen, die entstehen, wenn man natürliche Zahlen quadriert: 12 = 1, 22 = 4, … Also: 1, 4, 9, 16, … DI DI Q I R 9 _ 2 ; 9 __ 16 ; 9 __ 36 ; 9_ 2 _ 2 ; 1 _ 2 ; 4 _ 9 ; 0,121221222…; 0, _ 35; 9 __ 15 Q I R 9 __ 15 ; 9 __ 49 ; 9 __ 144 ; 9 __ 84 ; 12 _ 42 ; 9 __ 42 _ 3 4 _ 12 ; 9 _ 3 _ 3 ; 16; 9__ 16 16 2 Die Menge der reellen Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

55 Setzte ein * oder + ein. 9 __ 16 ℝ 9 ___ 0,25 ℝ 9 __ 0,5 ℝ 9 __ 13 ℝ 9 _ 3 _ 3 ℝ 0, 7˙  ℝ 2 _ 9 ℝ 9 __ 16 I 9 ___ 0,25 I 9 __ 0,5 I 9 __ 13 I 9 _ 3 _ 3 I 0, 7˙  I 2 _ 9 I 56 Magda erzählt ihrer Freundin: „9 _ 2ist keine rationale, sondern eine irrationale Zahl.“ Ihre Freundin möchte nun wissen, warum 9 _ 2keine rationale Zahl ist. Welche der folgenden Argumente sind zutreffend, welche nicht? Kreuze an. richtig falsch 9 _ 2ist keine rationale Zahl, weil die Quadratwurzel einer Zahl nie rational ist. æ æ 9 _ 2ist keine rationale Zahl, weil man 9 _ 2nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen schreiben kann. æ æ 9 _ 2ist keine rationale Zahl, weil die Quadratwurzel einer natürlichen Zahl niemals eine rationale Zahl sein kann. æ æ 9 _ 2ist keine rationale Zahl, weil 9 _ 2in Dezimalschreibweise unendlich, aber nicht periodisch, ist. æ æ 57 Für Zahlen gibt es verschiedene Darstellungsmöglichkeiten. So ist etwa 1 _ 2 = 0,5 als endliche Dezimalzahl oder 1 _ 6 = 0,16˙ als periodische Dezimalzahl darstellbar. Unten sind Aussagen zur Darstellungsmöglichkeiten verschiedener Zahlen gegeben. Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an. æ J ede rationale Zahl lässt sich als endliche Dezimalzahl oder als periodische Dezimalzahl darstellen. æ Jede reelle Zahl kann als Bruch zweier ganzer Zahlen dargestellt werden. æ Jeder Bruch zweier ganzer Zahlen kann als endliche Dezimalzahl dargestellt werden. æ Es gibt rationale Zahlen, die man nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen kann. æ Es gibt Quadratwurzeln natürlicher Zahlen, die nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen dargestellt werden können. 58 In der Abbildung rechts siehst du das Ergebnis einer Rechnung auf einem Taschenrechnerdisplay. Matthias behauptet: „Das Ergebnis ist eine rationale Zahl, weil der Taschenrechner die Zahl als endliche Dezimalzahl darstellt.“ Stimmst du seiner Argumentation zu? Begründe deine Antwort. Für positive Zahlen ist das Ziehen der Quadratwurzel die Umkehrung des Quadrierens. Die Quadratwurzel aus einer negativen Zahl kann in den reellen Zahlen nicht gezogen werden, da das Produkt aus zwei gleichen reellen Zahlen nie negativ sein kann. Z.B. 9 __ – 4kann nicht (– 2) sein, weil (– 2)2 = + 4. Es kann auch nicht (+ 2) sein, weil (+ 2)2 = + 4. Daher ist die Rechenoperation „Quadratwurzelziehen“ vorerst auf die Menge der positiven reellen Zahlen ℝ+ und 0 beschränkt. Es gilt: 9 __ – 4 + ℝ und damit auch 9 __ – 4 + ℚ und 9 __ – 4 + I. 59 Eva hat 9 __ – 9in die Mengenabbildung eingezeichnet. Stimmst du ihr zu? Begründe, dass 9 __ – 9nicht in der Menge der reellen Zahlen liegen kann. 60 In welchen Mengen liegen diese Zahlen? Kreuze alle entsprechenden Mengen an. − 9 _ 4 * æ ℝ æ ℚ æ I 9 __ – 4 * æ ℝ æ ℚ æ I 9 _ 2 * æ ℝ æ ℚ æ I DI ÓErklärvideo qs7jx4 DI, V 9 _ 2 = 1.414 213 562 37… DI 2nd % +/– M+ C/AC 4 · = 6,92820 9 _ 3 DI, V ÓErklärvideo qt36yr DI, V I 9__ – 9 Q Z N R DI  Sprachliche Bildung und Lesen 17 A Die reellen Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Übersicht über die Zahlenmengen Die Graphik rechts zeigt, wie die Zahlenmengen ℕ, ℤ, ℚ, I, ℝ zusammenhängen. Alle Zahlen, die in ℕ liegen, sind auch in ℤ enthalten. Alle Zahlen, die in ℤ liegen, sind auch in ℚ enthalten. Die Menge der Zahlen I, also Zahlen, die eine unendliche und nicht periodische Dezimaldarstellung haben, liegen außerhalb von ℚ. Die Zahlenmenge ℝ entsteht, indem man ℚ und I zusammenfügt. 61 Trage die gegebenen Zahlen an der passenden Stelle im Diagramm ein. a) b) 62 In der folgenden Tabelle sind verschiedene Zahlen gegeben. Kreuze in jeder Spalte alle Zahlenmengen an, in der die Zahl enthalten ist. 1 – 1 2 _ 3 9_ 3  0,4 9_ 1  − 4 9_ 4 9 _ 2 4 _ 2 9__ 12   9_ 4 _ 9 _ 9 9 __ 42  9 _ 3 _ 3 9__ 25  9_ 4 _ 3 − 9__ 49  ℕ ææææææææææææææææ æ ℤ ææææææææææææææææ æ ℚ ææææææææææææææææ æ I ææææææææææææææææ æ ℝ ææææææææææææææææ æ 63 Kreuze die Lücken so an, dass eine richtige Aussage entsteht. Die Zahl – 9_ 2 _ 4 ist eine  Zahl, weil die Darstellung  .   rationale æ ein Bruch ist æ irrationale æ ein Wurzelzeichen enthält æ ganze æ als Bruch zweier ganzer Zahlen nicht möglich ist æ 64 Welche Aussagen sind richtig? Gib bei falschen Aussagen jeweils ein Gegenbeispiel an. a) Aussage b) Aussage Jede reelle Zahl ist eine irrationale Zahl. æ Jede reelle Zahl ist eine rationale Zahl. æ Jede rationale Zahl ist eine reelle Zahl. æ Jede ganze Zahl ist eine reelle Zahl. æ Jede rationale Zahl ist eine ganze Zahl. æ Jede ganze Zahl ist eine natürliche Zahl. æ Jede rationale Zahl ist eine natürliche Zahl. æ Jede rationale Zahl ist eine irrationale Zahl. æ Jede natürliche Zahl ist eine reelle Zahl. æ Jede reelle Zahl ist eine natürliche Zahl. æ Q Z N 1 – 42 0,25 0,3 – 5 13 I 0,1010010001… 3,141592… 0, 4˙ 9__ 16 3 _ 1 – 9 _9 – 6 _ 2 1 _ 2 1 _ 9 42 _ 4 9_ 3 9___ 0,25 9_ 2 _ 3 9__ 20 R Merke Ó Erklärvideo qt3ym3 DI Q Z N I R Q Z N I R DI DI DI 9 _ 3 ; 9 __ 16 ; – 4,5; 1 _ 3 ; – 4 _ 2 ; 9_ 2 _ 2 ; – 9_ 9 ; – 0,4˙ ; – 16 _ 4 ; 42; 9__ 42 ; – 3 _ 7 ; – 3 _ 9 _ 7 9 _ 9 ; 9 __ 25 ; 1 _ 2 ; – 9 _ 3 ; 9 _ 2 _ 4 ; – 9 _ 2 ; 4; 16 _ 2 ; 9 __ 36 _ 6 ; 9__ 13 ; – 2 _ 7 ; – 9_ 4 _ 2 ; 9__ 144 18 2 Die Menge der reellen Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

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