520 Für einen Klassenausflug fallen Buskosten von insgesamt 240 € an. Es fahren n Schülerinnen und Schüler und zwei Begleitpersonen mit. Jeder Fahrgast hat jeweils a € zu bezahlen. Mit welcher Gleichung lässt sich dieser Text beschreiben? æ 240 _ a − 2 = n æ n + 2 _ 240 = a æ 240 _ n + 2 = a æ 240 _ a + 2 = n æ a _ n + 2 = 240 521 Für einen Museumsbesuch sammeln die Lehrerin von jedem Kind x Euro ein. In die Klasse gehen m Mädchen und 12 Burschen. Insgesamt muss die Klasse 142 € bezahlen. Welche Gleichung passt zu diesem Text? æ 142 _ x + m = 12 æ x = 142 _ m + 12 æ 142 – 12 _ x = m æ 12 m + x = 142 æ m + x _ 142 = 12 Löse die Gleichung: 6 _ x = 8 _ x + 1 . 1. Schritt: Zuerst bestimmt man die Definitionsmenge. Die beiden Nenner dürfen nicht Null sein, daher ist x ≠ 0 und x + 1 ≠ 0 w x ≠ –1. Also gilt: D = ℝ \ { – 1; 0 } 2. Schritt: Um die Gleichung lösen zu können, muss man die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen: 6 _ x = 8 _ x + 1 | · x Als Abkürzung kann man sich Folgendes merken: 6 = 8 _ x + 1 · x | · (x + 1) a _ b = c _ d | · b · d (kreuzweises Multiplizieren) 6 · (x + 1) = 8 · x a · d = b · c 6 x + 6 = 8 x | – 6 x 6 = 2 x | : 2 3 = x 3. Schritt: Abschließend muss immer überprüft werden, ob die Lösung auch wirklich in der Definitionsmenge liegt. In diesem Fall ist 3 in der Definitionsmenge enthalten, also ist x = 3 wirklich die Lösung der Gleichung. w L = { 3 } 522 Ordne die äquivalenten Bruchgleichungen einander zu. Ein Buchstabe kann zweimal auftreten. a) 70 _ x = 14 _ x + 2 A 70 · 14 = (x + 2) x b) x _ 2 = 5 _ 9 – x A 5 x = 2 (9 – x) x + 2 _ 70 = 14 _ x B 70 · (x + 2) = 14 x 5 _ x = 2 _ 9 – x B (9 – x) x = 5 · 2 70 _ 14 = x + 2 _ x C (x + 2) · 14 = 70 x 2 _ x = 5 _ 9 – x C 2 x = (9 – x) · 5 x _ 70 = 14 _ x + 2 5 _ 2 = 9 – x _ x 523 Bestimme die Definitionsmenge dieser Bruchgleichung und gib die Lösungsmenge an. a) 18 _ 2 = 3 _ x b) 70 _ x = 14 _ 2 c) 5 _ 2 = 45 _ 9 x d) 1 _ 2 x = 3 _ 18 e) 42 _ 2 x = 14 _ 2 f) 6 _ 42 = 10 _ 5 x 524 Gib die Definitionsmenge an und löse die Bruchgleichung. Mache auch die Probe. a) a _ a – 1 = 2 b) f – 2 _ f = 2 c) 4 _ t = 2 _ t – 1 d) 3 _ 2 k – 3 = 1 _ k + 1 e) 4 = 2 x _ x – 2 f) 3 – n _ n = 5 g) 8 _ u = 16 _ u – 4 h) 9 _ 2 v – 5 = 1 _ v + 1 DI DI Muster Ó Erklärvideo 7pj4f5 DI O O Falls der gefundene x-Wert nicht in der Definitionsmenge ist, dann ist die Lösungsmenge leer. Z.B. 3 _ x – 2 = x + 1 _ x – 2 w x = 2 aber x + D = ℝ \ { 2 } w L = { } 115 E Gleichungen und Bruchgleichungen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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