Löse die Bruchgleichung a) 8 _ 2 z + 2 + 4 _ z – 1 = 5 _ z2 – 1 b) x _ x2 – 4 x – 1 _ x = 5 __ x2 – 4 x + 4 . Achte beim Faktorisieren auf binomische Formeln. a) faktorisieren erweitern mit b) faktorisieren erweitern mit 1. Nenner 2 z + 2 = 2 · (z + 1) · (z – 1) x2 – 2 x = x · (x – 2) · (x – 2) 2. Nenner (z – 1) · 2 (z + 1) x = x · (x – 2) · (x – 2) = (x – 2)2 3. Nenner (z2 – 1) = (z + 1) · (z – 1) · 2 x2 – 4 x + 4 = (x – 2)2 = (x – 2) (x – 2) · x Hauptnenner 2 · (z + 1) · (z – 1) w D = R \ {– 1; + 1} x · (x – 2) · (x – 2) w D = R \ {0; 2} 8 _ 2 z + 2 + 4 _ z – 1 = 5 _ z2 – 1 | · 2 · (z + 1) (z – 1) x _ x2 – 2 x – 1 _ x = 5 __ x2 – 4 x + 4 | · HN 8 · (z – 1) + 4 · 2 · (z + 1) = 5 · 2 x · (x – 2) – 1 · (x – 2)2 = 5 · x 8 z – 8 + 8 z + 8 = 10 x2 –2 x – x2 + 4 x – 4 = 5 x 16 z = 10 | : 16 2 x – 4 = 5 x | – 2 x z = 5 _ 8 * D w L = { 5 _ 8 } – 4 = 3 x | : 3 – 4 _ 3 = x * D w L = { – 4 _ 3 } 529 Gib die Definitionsmenge an und löse die Bruchgleichung. a) 4 x _ x2 – 4 = 2 _ x2 + 2 x – 24 __ 4 x2 + 8 x b) 2 _ y2 – 16 = 1 _ y – 4 + 1 _ 3 y – 12 c) 1 _ a2 – 4 = 3 _ 2 a – 4 – 4 _ 3 a – 6 d) 3 _ x2 – 3 x – 1 _ x = 2 x __ x2 – 6 x + 9 e) 13 _ 4 b2 – 9 + 5 – 3 b _ 2 b + 3 = 3 · (1 – b) __ 2 b – 3 f) p + 1 _ p – 5 – p + 17 _ p – 5 = 60 __ p2 – 10 p + 25 g) 2 _ x – 2 _ x2 – 2 x = 2 x __ x2 – 4 x + 4 h) y + 1 _ y – 5 – y + 13 _ y + 5 = 120 _ y2 – 25 i) 2 _ z – 3 _ z – 1 = 6 _ z2 – z 530 Gib die Definitionsmenge an und löse die Bruchgleichung. Gib an, welcher Lösungsfall vorliegt. a) 4 __ x2 – 6 x + 9 = 2 x _ x – 3 – 2 x _ x – 3 b) 4 _ y2 – 2 y + 1 _ y = 2 y __ y2 – 4 y + 4 c) 3 a + 23 __ a + 4 = – 88 _ a2 – 16 + 3 a – 1 _ a – 4 d) 2 _ f (f – 5) – 2 _ f (f – 5) = 4 __ f2 – 10 f + 25 e) 9 u + 22 __ u + 2 – 2(3 u – 1) __ u – 1 = 3 f) 3 _ v + 2 = 7 v + 2 _ v2 – 4 – 4 _ v – 2 Gecheckt? ææ Ich weiß, was eine Bruchgleichung ist und kann ihre Definitionsmenge bestimmen. 531 Gegeben sind drei Gleichungen. i) Zwei Gleichungen sind Bruchgleichungen. Gib ihre Definitionsmengen an. ii) Warum handelt es sich bei der dritten Gleichung um keine Bruchgleichung? a _ 2 – a – a _ 6 = 3 _ 4 a a _ 6 = 3 _ 4 a a _ 6 = 3 a _ 4 D = D = D = ææ Ich kann Bruchgleichungen mit Äquivalenzumformungen lösen. 532 Gib die Definitionsmenge an und löse die Bruchgleichung. Überprüfe die Lösung mit der Probe. x + 5 _ x – 8 – x – 5 _ x + 8 = 42 _ x2 – 64 Muster Ó Erklärvideo rh7b62 O Eine Gleichung kann auch keine oder unendlich viele Lösungen haben. O, DI Ó durchgerechnete Lösungen rh8yn8 O, DI, V O Ó Arbeitsblatt ri2n9k 117 E Gleichungen und Bruchgleichungen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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