Gleichungen Eine Gleichung besteht aus zwei Termen die durch ein Gleichheitszeichen (=) verbunden sind. Eine Zahl, die man für eine Variable einsetzen kann, sodass man auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens dasselbe Ergebnis erhält, heißt Lösung der Gleichung. Alle möglichen Lösungen einer Gleichung werden in der Lösungsmenge angeschrieben. z.B. Die Gleichung x _ 3 – 14 = 0 besitzt die Lösungsmenge L = { 42 }, weil man für x die Zahl 42 einsetzen kann, um eine richtige Aussage zu erhalten. Äquivalenzumformungen Die Lösungen einer Gleichung kann man mit Hilfe von Äquivalenzumformungen bestimmen. Bei einer Äquivalenzumformung wird – a uf beiden Seiten der Gleichung derselbe Term addiert bzw. subtrahiert. – auf beiden Seiten der Gleichung mit derselben Zahl (≠ 0) multipliziert bzw. durch dieselbe Zahl (≠ 0) dividiert. Durch Äquivalenzumformungen bleibt die Lösungsmenge einer Gleichung unverändert. 9 x – 13 = 23 | + 13 9 x = 36 | : 9 x = 4 Tipps zum Lösen von Gleichungen 1. Schreibe in jede Zeile nur eine Gleichung und untereinander. 2. Vereinfache als erstes die Terme auf beiden Seiten so weit, wie möglich. 3. Bringe alle Monome mit Variablen auf die eine und alle Zahlen auf die andere Seite. Notiere alle Äquivalenzumformungen sorgfältig. 4. Vergiss nicht, am Ende das Ergebnis mit einer Probe zu überprüfen. 3 e + 8,5 – e = (2 e – 0,5) · 3 2 e + 8,5 = 6 e – 1,5 | – 6 e – 4 e + 8,5 = – 1,5 | – 8,5 – 4 e = – 10 | : (– 4) e = + 2,5 w L = {2, 5} Probe: 3 · 2,5 + 8,5 – 2,5 = (2 · 2,5 – 0,5) · 3 13,5 = 13,5 ✓ Lösungsfälle Eine lineare Gleichung ist eine Gleichung, die man durch Äquivalenzumformungen auf die Form a x + b = 0 mit a ≠ 0 bringen kann. Eine lineare Gleichung besitzt immer genau eine Lösung. Es kann aber auch passieren, dass die Variable durch Äquivalenzumformungen wegfällt. Dann spricht man nicht mehr von einer linearen Gleichung. Die Gleichung kann dann auch keine oder unendlich viele Lösungen haben. eindeutige Lösung: 3 x + 2 = 14 x = 4 w L = { 4 } keine Lösung: (3 x + 2) · 2 = 6 x + 14 4 ≠ 14 w L = { } unendlich viele Lösungen: (3 x + 2) · 2 = 6 x + 4 4 = 4 w L = ℝ Formeln Eine Formel ist eine besondere Gleichung und beschreibt den Zusammenhang zwischen mehreren Variablen, die für Größen stehen. Durch Äquivalenzumformungen kann jede Variable durch die andere ausgedrückt werden. V = a2 · h | : a2 V _ a2 = h Bruchgleichungen Eine Gleichung, die Bruchterme enthält, nennt man Bruchgleichung. Die unbekannte Variable kommt in einem Nenner vor. Da der Nenner nie null sein darf, muss vor dem Lösen die Definitionsmenge angegeben werden. Die Definitionsmenge gibt alle reellen Zahlen an, die für die Variable eingesetzt werden dürfen. 7 = 16 _ x – 3 x − 3 ≠ 0 w x ≠ 3 w D = ℝ\{3} „Die Definitionsmenge sind die reellen Zahlen ohne 3.“ 122 Zusammenfassung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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