30 Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen graphisch lösen ææ Ich kann lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen graphisch lösen. ææ Ich kann verschiedene Lösungsfälle für lineare Gleichungssysteme angeben und erkennen. Markus besitzt 1 €- und 2 €-Münzen. Insgesamt hat er 6 € und fünf Münzen. Wie viele 1 €- und 2 €-Münzen besitzt er? Diese Aufgabe könnte man durch Ausprobieren lösen. Man kann aber auch zwei Gleichungen mit zwei Variablen aufstellen: x …… Anzahl der 1 €-Münzen und y …… Anzahl der 2 €-Münzen Gleichung I: 1 x + 2 y = 6 (da es 6 € sind) Gleichung II: x + y = 5 (da es fünf Münzen sind) Da es sich um zwei Gleichungen handelt, werden diese mit I und II beschriftet. Die beiden Gleichungen zusammen bilden ein Gleichungssystem. Um das Gleichungssystem graphisch zu lösen, bringt man jede Gleichung auf die Form y = k x + d und zeichnet die Geraden in ein Koordinatensystem ein. Wenn die beiden Geraden einen Schnittpunkt S besitzen, hat man eine gemeinsame Lösung für beide Gleichungen gefunden: I: y = – x _ 2 + 3 w k = – 1 _ 2 , d = 3 II: y = – x + 5 w k=–1,d=5 Zeichnet man nun diese beiden Geraden in das Koordinatensystem ein, erhält man einen Schnittpunkt: S = (4 | 1) w x = 4, y = 1 Für die Lösung des Gleichungssystems schreibt man daher L = {(4|1)}. Markus besitzt vier 1 €-Münzen und eine 2 €-Münze. Beachte, dass man die Geraden eigentlich nicht zeichnen dürfte, da nur natürliche Zahlen als Lösung möglich sind. Hier ist das Zeichnen der Gerade hilfreich, um den gemeinsamen Schnittpunkt zu erhalten. Lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen besteht aus zwei linearen Gleichungen. Jede Lösung des Gleichungssystems muss Lösung beider linearen Gleichungen sein. 867 Gegeben ist ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen. Kreuze an, welches der gegebenen Zahlenpaare Lösung des Gleichungssystems ist. a) I: – 2 x + 3 y = 1 II: 4 x + y = 5 æ (– 2 | – 1) æ (2 | – 3) æ (1 | 1) æ (0 | 0) b) I: – 4 x + 5 y = 7 II: 3 x – 2 y = 0 æ (– 3 | – 1) æ (2 | 3) æ (4 | 6) æ (7 | 7) c) I: x – 2 y = 1 II: 8 x – 2 y = 8 æ (1 | 0) æ (7 | 3) æ (5 | 2) æ (6 | 20) ÓErklärvideo s8y9sy Merke Ó Arbeitsblatt s9473j Setze zur Probe das Zahlenpaar in beide Gleichungen ein. DI Was sagst du zu der Unterhaltung der beiden Jugendlichen? Hat Maria recht oder hat sie etwas übersehen? Welche Lagebeziehung können zwei Geraden in der Ebene haben? Wann besitzen sie einen gemeinsamen Punkt? 0 x y 2 4 6 1 3 5 S I II 2 4 6 1 –1 3 5 Max Maria Jede Lösung einer linearen Gleichung mit zwei Variablen liegt auf einer Geraden. Das ist cool. Dann haben zwei lineare Gleichungen vielleicht immer eine gemeinsame Lösung? 198 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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