Reden wir darüber … Kennst du Zahlen, die man nicht als Bruch darstellen kann? Gibt es mehr ganze Zahlen als natürliche Zahlen? Zwischen zwei ganzen Zahlen können nur endlich viele ganze Zahlen liegen. Gilt diese Eigenschaft auch für die Menge der rationalen Zahlen? Durch welche Eigenschaften unterscheiden sich die Menge der natürlichen Zahlen und die Menge der ganzen Zahlen? ÓSprachaufgabe qp9tt3 ÓLesetext qq943t Schreibe jeweils vier Zahlen an, die man in der Lupe sehen kann. Beschrifte alle Markierungen auf den Zahlengeraden. Zeichne die periodische Zahl 0,333 3… möglichst genau auf einer Zahlengeraden ein. Wie viele Lupen müsste man zusätzlich zu diesen vier verwenden, um die Zahl 0,000 0001 als markierten Schritt zu sehen? A Die reellen Zahlen Du hast bereits die ganzen Zahlen als Erweiterung der natürlichen Zahlen kennengelernt. Diese wurden dann zu den rationalen Zahlen erweitert. Du wirst lernen, dass sich nicht alle Zahlen als Bruch darstellen lassen. Es wird die Menge der rationalen Zahlen zu der Menge der reellen Zahlen erweitert. Es gibt Zahlen, die unendlich viele Nachkommastellen besitzen, aber nicht periodisch sind. z.B. 9 _ 2= 1,414 213 562 4… oder 9 __ 13= 3,605 551 275 5… Ihre Nachkommastellen gehen unendlich weiter. Es wäre unmöglich alle unendlich vielen Nachkommastellen anzuschreiben oder aufzuzählen. In der Mathematik nennt man sie irrationale Zahlen. 012345678910 0 0,1 0,5 1 0 0,01 0,05 0,1 0 0,001 0,01 0 Früher dachten die Pythagoreer, dass alle Längenverhältnisse durch Brüche (also durch ganze Zahlen) dargestellt werden können. Doch ein Mann namens Hippasos, selbst ein Pythagoreer, entdeckte zu Beginn des 5. Jahrhunderts vor unserer Zeit, dass das bei einem regelmäßigen Fünfeck nicht stimmt: Die Länge einer Diagonale im Vergleich zur Seite ergibt keinen Bruch – das Verhältnis ist „irrational“. Das war ein großer Schock für die damalige Mathematik. Später zeigte Sokrates in einem Gespräch, dass ein Quadrat mit der Seitenlänge 2 einen Flächeninhalt von 4 hat. Daraus ergibt sich die Frage: „Welche Seitenlänge muss ein Quadrat haben, damit es genau den doppelten Flächeninhalt dieses Quadrats besitzt?“ Gesucht ist also ein Quadrat mit dem Flächeninhalt 8. Diese Seitenlänge liegt zwischen 2 und 3, denn bei 2 Metern Seitenlänge hat das Quadrat 4m2 Flächeninhalt, bei 3 Metern schon 9 m2. Euklid bewies schließlich, dass die gesuchte Seitenlänge – 9_ 8 bzw. 2 · 9 _ 2 – irrational ist, ein wichtiges Ergebnis der Mathematik. Irrationale Zahlen sind Zahlen, die unendlich viele Nachkommastellen besitzen, aber nicht periodisch sind und sich nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen lassen. 4 m2 8 m2 9 m2 6 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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